1、第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、数与矩阵乘法二、数与矩阵乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、矩阵的转置四、矩阵的转置2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义 1 设两个nm矩阵 (),()i ji jabAB，将矩阵A与B对应位置元素相加得到的nm矩阵 ()i ji jab，称为矩阵A与B的和，记作AB，即 111112121121212222221122+()nnnnijijmmmmmnmnababababababababababABLLMMML 注：只有当行数形同,列数也相同时才能相加 设矩阵OCBA,均为nm矩阵，则矩阵的加法满足下列运算规律：(1)交换律：AB
2、BA(2)结合律：)()(CBACBA(3)AOOAA(4)设()i jaA，称矩阵()i ja为矩阵A的负矩阵，记为A，则有()AAO 矩阵的减法：()ABAB，即()ijijabAB 例 设矩阵 230321A，035234B，求BABA,26511502)3(350233241BA解 由矩阵加法和减法定义可得20555302)3(350233241BA二、数与矩阵乘法定义 2 设nm矩阵()i jaA，k为任意数，以数k乘矩阵A中的每一个元素所得到的矩阵叫作数k与矩阵A的乘法，记为Ak，即 111212122212nnmmmnkakakakakakakkakakaALLMMML 注：数k
3、乘矩阵A要乘矩阵A的每一个元素 数与矩阵的乘法具有下列运算规律：(1)BABAkkk)(;(2)()khkhAAA(3)()(AAhkkh;(4)OAAA0,1(5)若OA ,0k，则OA k 例 设矩阵 864297510213A，612379154257B，已知BXA 2，求X 解 由等式 ABX2，得)(21ABX 75243120232215197157922112321624681 217 21X 三、矩阵的乘法 引例 某企业有两个工厂、，生产甲、乙、丙三种类型的产品，生产每种类型产品的数量如表1，生产每种产品的单位价格和单位利润如表2所示试求各工厂的总收入和总利润甲乙丙a11a12
4、a13a21a22a23单位价格单位利润b11b12b21b22b31b32表1表2甲乙丙a11a12a13a21a22a23单位价格单位利润b11b12b21b22b31b32 解 依题意，两个工厂的总收入和总利润为 总收入总利润a11 b11+a12 b21+a13b31a11 b12+a12 b22+a13b32a21 b11+a22 b21+a23 b31a21 b12+a22 b22+a23 b32将上述3个表中的数据分别用矩阵表示，有232221131211aaaaaaA323122211211bbbbbbB3223222212213123212211213213221212113
5、11321121111babababababababababababaC11122122cccc矩阵C由矩阵BA,确定，即矩阵C中第i行第j列的元素为jic 是由A中第i行按列序排列的每个元素与B中第j列按行序排列每个元素对应相乘后再相加得到的 jijijiijbababac332211)2,1,(ji定义 3 设ms矩阵()ijm saA，sn矩阵()ijs nbB，则由元素 1 11sijijissjikkjkca ba ba bL(1,2,imL 1,2,)jnL 构成的m n矩阵()ijm ncC称为A与B的乘积，记为CAB 12*iiism saaaLMMMLMMML12*jjsjs
6、 nbbbLLLLMMMLL1*sikkjkm na bLLMMMLLMMMLL矩阵乘积有以下要点：(1)左矩阵A的列数必须等于右矩阵B的行数，矩阵A与B才可以相乘，即AB才有意义；否则AB没有意义(2)矩阵A与B的乘积C的第 i 行、第 j 列的元素jic 等于左矩阵A的第i行按列序排列的每个元素与右矩阵B中第j列按行序排列每个元素对应乘积之和 12*iiism saaaLMMMLMMML12*jjsjs nbbbLLLLMMMLL1*sikkjkm na bLLMMMLLMMMLL(3)矩阵smA与nsB相乘所得的矩阵C的行数等于左矩阵A的行数m，列数等于右矩阵B的列数n，即nmnssm
7、CBA 2 33 42 412naaaAL12nbbbBMABBA例 设 ,求 和解 由矩阵乘积定义，得12121 122()nnnnbbaaaaba ba bbABLLM1 112112122221212nnnnnnnnbabababb ab ab abaaabb ab ab aBALLLMMMML例 设矩阵 2142A，6342B，4088C，求AB、BA、AC 解 由矩阵乘积定义，得168321663422142AB000021426342BA168321640882142AC由此例可以看到矩阵乘法的两个重要特点：(1)矩阵乘法不满足交换律即一般情况下BAAB (2)矩阵乘法不满足消去律
8、即从OA 和ACAB 不能推得CB 特别地，当OBA 时，不能断定OA 或者OB 矩阵的乘积运算规律：(1)乘法结合律：)()(BCACAB(2)分配律：BCACCBA)(CBCABAC)(3)数乘结合律：)()()(BABAABkkk（k常数）如果矩阵A,B满足BAAB，那么称A,B是可可交换交换的 例 设矩阵 ，求所有与矩阵A可交换的矩阵1201A解 由矩阵乘积定义知，与A可交换的矩阵必须为二阶方阵，设其为 22211211xxxxX22122111121122211211221201xxxxxxxxxxAX22222112121122211211221201xxxxxxxxxxXA由XA
9、AX 可得221112,0 xxx且2111,xx可取任意值，即 1121110 xxxX定义 4 设A是n阶方阵，k是正整数，k个A连乘称为A的k次幂，记为kA即 kAA AAL（k个A乘积）方阵的幂有下列性质 lklkAAA，lklkAA)(，其中,k l是自然数 当同阶方阵A,B可交换时，即BAAB，则kkkBAAB)(例 设 ，求241030123AEAAA432)(2PEAA432410301232410301232)(P100010001424103012333650905482160130130131429解四、矩阵的转置定义 5 将nm矩阵()ijaA的行与列互换，所得到的mn
10、矩阵称为矩阵A的转置矩阵，简称为A的转置，记为TA，即 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaALLMMML，112111222212mmTnnmnaaaaaaaaaALLMMML 转置矩阵有如下性质：(1)AATT)(2)TTTBABA)(3)TTkkAA)(4)TTTABAB)(5)1212()TTTTnnAAAAAALL(6)1221()TTTTnnA AAAA ALL 例 设1342A，2142B,计算T)(AB，TTAB和TTBA.212307()4241014TTTABB A2321168414242TTA B此例说明，一般情况下()TTTABA B 对称矩阵与反对
11、称矩阵的两个性质：(1)n阶方阵A是对称矩阵的充分必要条件是AA T;(2)n阶方阵A是反对称矩阵的充分必要条件是AAT.例 设 计算TAA和AAT.231102A解 14005213012231102TAA560693035231102213012AAT因为TTTAAAA)(，AAAATTT)(，所以上例所求的两个矩阵都是对称矩阵.例 已知n阶方阵A是对称矩阵，n阶方阵B是反对称矩阵，证明：BAAB是反对称矩阵 证 显然BAAB是n阶方阵，由A是对称矩阵，B是反对称矩阵，有 AAT，BBT 于是()()()TTTTTTTABBAABBAB AA B()()()BAABBAABABBA 所以，BAAB是反对称矩阵
