1、第二节第二节 二次型的标准形与规范形二次型的标准形与规范形一、二次型的标准形与标准化方法一、二次型的标准形与标准化方法二、二次型的规范形与惯性定理二、二次型的规范形与惯性定理 二次型理论研究和应用的一个主要内容二次型理论研究和应用的一个主要内容就是探讨是否存在可逆的线性变换，通过该就是探讨是否存在可逆的线性变换，通过该变换将二次型化为简化的标准形和规范形变换将二次型化为简化的标准形和规范形.2 二次型的标准形与规范形一、二次型的标准形与标准化方法定义定义 1 1 如果如果二次型二次型12(,)Tnf x xx x AxL经过经过可逆线性变换可逆线性变换Cyx 化成只含平方项的二次型化成只含平方
2、项的二次型2221122 (1)nnd yd yd yL,则 称则 称(1)(1)式 为 二 次 型式 为 二 次 型12(,)nf x xxL的的标准形标准形.在在标准形中非零系数标准形中非零系数(1)idin 的个数的个数()rRA，标准形的矩阵是对角矩阵标准形的矩阵是对角矩阵12(,)ndiag d ddL.问题问题：一个二次型能否找到：一个二次型能否找到一个可逆线性变换一个可逆线性变换将其将其化成标准形化成标准形？即？即对于二次型矩阵对于二次型矩阵A是否存在是否存在可逆矩阵可逆矩阵C，使得，使得ACCT为对角矩阵为对角矩阵？也即对称矩也即对称矩阵阵A是否合同于一个对角矩阵是否合同于一个
3、对角矩阵.1.1.用正交变换法化二次型为标准型用正交变换法化二次型为标准型 定理定理 1 1 对于对于实二次型实二次型12(,)Tnf x xx x AxL，一定存在一个正交线性变换一定存在一个正交线性变换xQy，使得二次型化，使得二次型化为标准形为标准形2221122nnyyyL，其中其中(1,2,)iinL是是二次型矩阵二次型矩阵A的特征值的特征值.证证 因为二次型的矩阵因为二次型的矩阵A为实对称矩阵，所以为实对称矩阵，所以存在正交矩阵存在正交矩阵Q(1 QQT)，使得，使得 112(,)Tndiag Q AQQ AQL 作正交线性变换作正交线性变换xQy，则，则 ()()()x AxQy
4、A QyyQ AQ yy yTTTTTf 2221122nnyyyL 用正交线性变换化二次型为标准形的步骤：用正交线性变换化二次型为标准形的步骤：(1)(1)求出二次型矩阵的全部特征值求出二次型矩阵的全部特征值12,n L；(2)(2)求出属于不同特征值的两两正交单位向量；求出属于不同特征值的两两正交单位向量；(3)(3)以这些特征向量为列作正交矩阵以这些特征向量为列作正交矩阵Q，使，使12(,)Tndiag Q AQL；(4)(4)作正交线性变换作正交线性变换,xQy12(,)Tny yyyL，则，则将二次型将二次型Tf x Ax化化为标准形为标准形2221122nnyyyL.例例 用正交线
5、性变换将用正交线性变换将二次型化二次型化 222123123121323(,)2448f x xxxxxx xx xx x 为标准形，并写出所作的正交线性变换为标准形，并写出所作的正交线性变换.解解 二次型化的矩阵为二次型化的矩阵为222214241A矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式 )6()3(1424122222EA 令令0 AE得得A的的特征值为特征值为6,3321 对对321，解，解方程组方程组(3)AE x 0 得基础解得基础解系系T)0,1,2(1，T)1,0,2(2.将将21,正交化，有正交化，有 T)0,1,2(11 ；2122111(,)42 4(2,0,1)(2,1,0)
6、,1(,)55 5 TTT 再将再将21,单位化，得单位化，得 111121,0,55T T535,534,5321222 令矩阵令矩阵123(,)Q，(3,3,6)diag 则则Q为为正交矩阵正交矩阵，作正交变换作正交变换xQy，则原二次型，则原二次型化为标准形化为标准形222123336yyy 对对63，解解方程组方程组(6)0 AE x得基础解系得基础解系T)2,2,1(3，将其单位化，将其单位化得得T32,32,311333 2.2.用配方法化二次型为标准型用配方法化二次型为标准型(1)二次型中含有平方项二次型中含有平方项例例 用配方法化二次型化用配方法化二次型化 2221231231
7、21323(,)25228f x xxxxxx xx xx x 为标准形，并写出所作的可逆线性变换为标准形，并写出所作的可逆线性变换.解解 先将含有先将含有1x的各项并在一起，并配成完全的各项并在一起，并配成完全平方项平方项 22212311232323(,)2()258f x xxxx xxxxx x 222221123232323232()()()258xx xxxxxxxxx x 2221232233()64xxxxx xx 再对后三项中含再对后三项中含2x的项配方，有的项配方，有 222212312322333(,)()(69)5f x xxxxxxx xxx 222123233()(
8、3)5xxxxxx 令令 112322333 3 yxxxyxxyx即即 1123223332 3 xyyyxyyxy112233112013,001xyxyxy11201310001C 作可逆变换作可逆变换二次型的标准形为二次型的标准形为2221235yyy.xCy即即(2)(2)二次型中不含有平方项二次型中不含有平方项例例 用配方法化二次型化用配方法化二次型化 123121323(,)226f x xxx xx xx x 为标准形，并写出所作的可逆线性变换为标准形，并写出所作的可逆线性变换.若若二次型中只有混合项二次型中只有混合项没有平方项，没有平方项，先作一个先作一个辅助变换使其出现平方
9、项，转化为辅助变换使其出现平方项，转化为(2)(2)的形式，再的形式，再用配方法用配方法.解解 作变换作变换11221233,xyyxyyxy112233110110001xyxyxy即即 二次型化为二次型化为12121231232()()2()6()fyyyyyyyyyy221132232428yy yyy y2221323232()228yyyyy y222132332()2(2)6yyyyy再令再令 11322333 2 zyyzyyzy112233101012001zyzyzy即即 则原二次型化为标准形则原二次型化为标准形 222123226zzz所作变换为所作变换为 11223311
10、0110001xyxyxy123113111001zzz 问题：一个二次型可以用不同的可逆线性问题：一个二次型可以用不同的可逆线性变换化成不同的标准形，虽然二次型的标准形变换化成不同的标准形，虽然二次型的标准形并不唯一，但是，同一个二次型在化为标准形并不唯一，但是，同一个二次型在化为标准形后，标准形中所含正、负平方项的个数却是相后，标准形中所含正、负平方项的个数却是相同的，下面给出二次型的规范形概念同的，下面给出二次型的规范形概念.二、二次型的规范形与惯性定理二、二次型的规范形与惯性定理定义定义 2 2 如果如果二次型二次型12(,)Tnf x xx x AxL（其中（其中AA T），经过可逆
11、线性变换可以化为），经过可逆线性变换可以化为 222211ppryyyyLL()(1)prn 则称则称(1)(1)式为二次型式为二次型f的规范形的规范形.规范形的矩阵是对角矩阵规范形的矩阵是对角矩阵 prpEEO定理定理 2 2（惯性定理）（惯性定理）任一实任一实二次型二次型 12(,)Tnf x xx x AxL（其中（其中AA T），），都可以经过可逆线性变换化为规范形都可以经过可逆线性变换化为规范形 222211ppryyyyLL ()prn 且规范形是唯一的，其中且规范形是唯一的，其中()rRA是二次型的秩是二次型的秩.推论推论 1 1 任意任意n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，存在可逆矩
12、阵，存在可逆矩阵C使得使得ACCT.其中其中(),rRAO为为rn 阶零矩阵阶零矩阵.为为对角阵对角阵，即，即 prpEEO定义定义 3 3 在实在实二次型的规范形中，正项的个数二次型的规范形中，正项的个数p称为它的称为它的正惯性指数正惯性指数，负项的个数，负项的个数pr 称为它的称为它的负负惯性指数惯性指数.二次型的正惯性指数与负惯性指数的和恰好二次型的正惯性指数与负惯性指数的和恰好等于二次型的秩等于二次型的秩()rRA.推论推论 2 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的正惯性指数和秩是它们有相同的正惯性指数和秩.确定二次型的规范形的方法：确定二次型的规范形的方法：(1)(1)先求二次型先求二次型Tf x Ax的的标准形标准形 22221111,pppprrd yd ydyd yLL0(1,2,)idirL (2)(2)再作可逆线性变换再作可逆线性变换 1111111,rrrrnnryzyzyzyzddLL 则原二次型化为规范形则原二次型化为规范形 222211pprzzzzLL
