1、第三节第三节 正定二次型正定二次型正定二次型概念正定二次型概念正定二次型判别法正定二次型判别法3 正定二次型定义定义 1 1 设实二次型设实二次型12(,)Tnf x xx x AxL（其（其中中AA T），如果对于任意的），如果对于任意的12(,)Tnx xxx0L，有有12(,)0Tnf x xxx AxL,则称该二次型为正定二则称该二次型为正定二次型，并称对称矩阵次型，并称对称矩阵A为正定矩阵为正定矩阵.问题问题：二次型的规范形是唯一的，因此可以利二次型的规范形是唯一的，因此可以利用二次型的规范形（也可用标准形）将二次型进行用二次型的规范形（也可用标准形）将二次型进行分类分类.在各种分类
2、中，最重要的一类二次型，就是在各种分类中，最重要的一类二次型，就是正定二次型正定二次型.例例 二次型二次型222123123(,)23f x xxxxx是正定的；是正定的；而而二次型二次型222123123(,)g x xxxxx不是正定的不是正定的.解解 因为对于任意的因为对于任意的123(,)Tx xxx0，都有，都有 222123123(,)230f x xxxxx.所以所以二次型二次型222123123(,)23f x xxxxx是正定的；是正定的；而而对于对于(0,0,1)0Tx，有，有(0,0,1)10g ，所以，所以222123123(,)g x xxxxx不是正定的不是正定的.
3、问题问题：由二次型的标准形或规范形可以很容易由二次型的标准形或规范形可以很容易的判别它的正定性的判别它的正定性.那么通过可逆线性变换将二那么通过可逆线性变换将二次型化为标准形或规范形是否改变二次型的正定次型化为标准形或规范形是否改变二次型的正定性呢？有下面定理性呢？有下面定理.定理定理 1 1 可逆线性变换不改变二次型可逆线性变换不改变二次型Tf x Ax的正定性的正定性.证证 设二次型设二次型12(,)Tnf x xx x AxL为正定二次为正定二次型，经可逆线性变换型，经可逆线性变换xCy，二次型化为，二次型化为 ()TTTTf x AxyC AC yy By 其中其中TBC AC，下面证
4、，下面证Ty By仍是正定二次型仍是正定二次型.对于任意对于任意12(,)Tny yyy0L，因为，因为C可逆，可逆，由由xCy知知12(,)Tnx xxx0L 而而12(,)Tnf x xx x Ax为正为正定二次型，故定二次型，故0 x Ax T 因此因此 ()0TTTTy ByyC AC yx Ax，即二次型，即二次型Ty By仍是正定二次型仍是正定二次型.问题问题：既然可逆线性变换不改变二次型的正定既然可逆线性变换不改变二次型的正定性，因此，可以先利用可逆线性变换将二次型化为性，因此，可以先利用可逆线性变换将二次型化为标准形或规范形，再利用二次型的标准形或规范形标准形或规范形，再利用二
5、次型的标准形或规范形的正定性来判别二次型的正定性的正定性来判别二次型的正定性.定理定理 2 2 实二次型实二次型12(,)Tnf x xx x AxL为正定为正定的充的充要条件是：它的标准形要条件是：它的标准形2221 122nnfd yd yd yL的的系数系数0(1,2,)idinL；即它的规范形的；即它的规范形的n个系数全个系数全为为 1 1；也即它的正惯性指数等于；也即它的正惯性指数等于n.证证 设经可逆线性变换设经可逆线性变换xCy，将二次型，将二次型12(,)Tnf x xx x AxL化为标准形化为标准形 2221122()TTTnnfd yd yd yx AxyC AC yL
6、充分性充分性 设标准形设标准形的系数的系数0(1,2,)idin，对，对任意任意0 x，则，则1yCx0，因此，因此 2221122()0TTTnnfd yd yd yx AxyC AC yL 所以实二次型所以实二次型12(,)Tnf x xx x AxL为正定的为正定的.必要性必要性 用反证法用反证法.假设有假设有0sd，则当，则当(0,0,1,0,0)TssyeLL时，时，有有sxCe0，使得，使得0Tsfdx Ax，这与，这与Tf x Ax正定矛盾，所以，正定矛盾，所以，标准形标准形的系数的系数0(1,2,)idinL.定理定理 3 3 设设A为为n阶实阶实对称矩阵，下列命题等价对称矩阵
7、，下列命题等价 (1)(1)A是正定矩阵；是正定矩阵；(2)(2)A的特征值均大于零；的特征值均大于零；(3)(3)A与同阶单位矩阵与同阶单位矩阵E合同；合同；(4)(4)存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，使，使PPAT.定理定理 3 3 设设A为为n阶实阶实对称矩阵对称矩阵，下列命题等价下列命题等价 (1)(1)A是正定矩阵；是正定矩阵；(2)(2)A的特征值均大于零；的特征值均大于零；(3)(3)A与同阶单位矩阵与同阶单位矩阵E合同；合同；(4)(4)存在可逆矩阵存在可逆矩阵P，使，使PPAT.证证 设实对称矩阵设实对称矩阵A对应的二次型为对应的二次型为Tf x Ax (1)(2)对于对于实实二
8、次型二次型Tf x Ax，存在正交变换，存在正交变换xQy，使，使Tf x Ax2221122nnyyyL 其中其中(1,2,)iinL是是A的特征值，因为的特征值，因为A是正定矩是正定矩阵，由定理阵，由定理 2 2 知知0(1,2,)iin.(2)(3)由于由于A的特征值均大于零，所以的特征值均大于零，所以A的正的正惯性指数等于惯性指数等于n，则，则存在存在可逆矩阵可逆矩阵P，使，使EAPPT，即即A与与E合同合同.(3)(4)因为因为A与与E合同，即存在可逆矩阵合同，即存在可逆矩阵Q，使 得使 得EAQQT，即，即1111)()(QQQQATT，令，令1 QP，则矩阵，则矩阵P可逆，且使可
9、逆，且使PPAT.(4)(1)任取任取0 x，因为，因为P为可逆矩阵，为可逆矩阵，0Px，于是于是()()0 x Axx P PxPxPxTTTTf，所以所以A是正是正定矩阵定矩阵.定理定理 3 3 实二次型实二次型12(,)Tnf x xx x AxL（其中（其中AA T）是正定的充分必要条件是矩阵）是正定的充分必要条件是矩阵()ijn naA的的各阶顺序主子式各阶顺序主子式(1,2,)iA inL均大于零均大于零.即即 1110,Aa1112221220,aaAaa111,111,11,10,nnnnnaaAaaLMML0nA A 注注：此定理说明实二次型的正定性可以用行列式来：此定理说明
10、实二次型的正定性可以用行列式来判别判别.例例 判断判断222123132454fxxxx x的正定性的正定性.解解 方法方法 1 1：用配方法将二次型化为标准形：用配方法将二次型化为标准形 222123132454fxxxx x 22221133232(2)43xx xxxx22213232()43xxxx 由此得二次型的标准形为由此得二次型的标准形为 222123243fyyy，因为因为正惯性指数为正惯性指数为 3 3，故二次型为正定二次型，故二次型为正定二次型.方法方法2 2：二次型的矩阵为：二次型的矩阵为 202040205A矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为 所以所以A的特征值为的
11、特征值为1231,4,6均大于零，因均大于零，因此，此，二次型为正定二次型二次型为正定二次型.方法方法 3 3：矩阵：矩阵A的顺序主子式为的顺序主子式为 120,A 22080,04A 3202040240205A因此，二次型为正定二次型因此，二次型为正定二次型.202040(1)(4)(6)205AE 例例 设二次型设二次型 222123123121323(,)5224f x xxxxxtx xx xx x 试问试问t为何值时，该二次型为正定二次型为何值时，该二次型为正定二次型.解解 二次型的矩阵二次型的矩阵A为为 1112125Att当当A的各阶顺序主子式均大于零时的各阶顺序主子式均大于零
12、时A为正定矩阵为正定矩阵 由由 11,A 22110,1tAtt 31112(54)0125tAttt 解得解得054t.即当即当054t时，时，为正定二次型为正定二次型.在二次型分类中，除了正定二次型之外，类似在二次型分类中，除了正定二次型之外，类似的还有负定二次型、半正定二次型、半负定二次型的还有负定二次型、半正定二次型、半负定二次型等概念等概念及判定定理及判定定理.定义定义 2 2 设实二次型设实二次型Tf x Ax（其中（其中AA T），），如果对于任意的如果对于任意的x0，有，有 (1)(1)0Tf x Ax则称该二次型为则称该二次型为负定二次型负定二次型.(2)(2)0Tf x A
13、x则称该二次型为则称该二次型为半正定二次型半正定二次型.(3)(3)0Tf x Ax则称该二次型为则称该二次型为半负定二次型半负定二次型.定理定理 3 3 对于实二次型对于实二次型Tf x Ax（其中（其中AA T），下列命题是等价的：下列命题是等价的：(1)(1)Tf x Ax负定的；负定的；(2)(2)Tf x Ax的负惯性指数为的负惯性指数为n；(3)(3)实对称矩阵实对称矩阵A的特征值均小于零；的特征值均小于零；(4)(4)实对称矩阵实对称矩阵A与同阶矩阵与同阶矩阵E合同；合同；(5)(5)实对称矩阵实对称矩阵A的奇数阶顺序主子式小于零，的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零偶数阶顺序主子式大于零.
