1、第五节第五节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构5 线性方程组解的结构回顾：线性方程组有解的判定准则：(1)对于n元线性齐次方程组 0Ax有非零解的充分必要条件是()A Rn.(2)对于n元线性非齐次方程组Axb有解的充分必要条件是()()RRAA，且当()()RRnAA时，线性方程组有唯一的解；当()()RRrnAA时，线性方程组有无穷多个解.问题：线性方程组在有无穷多个解的情况下，这些解之间的关系和解的结构如何？一、齐次线性方程组解的结构设n元齐次线性方程组 11 1122121
2、122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL L L L L L L L L L L LL其矩阵方程形式为 0Ax，其中()ijm naA，12(,)Tnx xxxL,(0,0,0)TL0.性质 1 若21,是齐次线性方程组 0Ax的解，则21 也是它的解.证 因为21,是齐次线性方程组 0Ax的解，因此有 1A 0，2 0A 于是 0002121)(AAA 即21 也是齐次线性方程组 0Ax的解.性质 2 若 是齐次线性方程组 0Ax的解，则对任意常数c，c也是它的解.证 因为 是齐次线性方程组 0Ax的解，因此有A 0，于是()()c
3、cAA0 即 c也是齐次线性方程组 0Ax的解.性质 3 若12,s L是齐次线性方程组 0Ax的解，则它们的线性组合 1122sscccL（12,sc ccL为任意常数）也是齐次线性方程组 0Ax的解.概括：当齐次线性方程组 0Ax有非零解时，如果能够确定其解向量组的秩并求出该解向量组的一个极大线性无关组，就可以通过这个极大无关组表示出方程组的全部解，也就掌握了该方程组解的结构.为此，引入基础解系的概念.定义 1 设12,s L是齐次线性方程组 0Ax的一组解向量，若(1)12,s L线性无关；(2)齐次线性方程组 0Ax的任意一个解向量 都可以由12,s L线性表示，即 1122ssccc
4、L 则称12,s L为方程组 0Ax的一个基础解系.且当12,sc ccL为任意常数时，称 1122sscccL 为齐次线性方程组 0Ax的通解.结论：齐次线性方程组 0Ax的一个基础解系，其实就是方程组 0Ax全体解向量的一个极大无关组.当齐次线性方程组 0Ax的系数矩阵的秩nR)(A（n为未知量的个数）时，齐次线性方程组仅有零解，此时方程组不存在基础解系，而当nR)(A时，有下面定理.定理 1 若齐次线性方程组 0Ax的系数矩阵的秩nrR)(A，则齐次线性方程组存在基础解系，且它的任一基础解系中解向量的个数为rn.定理 1 若齐次线性方程组 0Ax的系数矩阵的秩nrR)(A，则齐次线性方程
5、组存在基础解系，且它的任一基础解系中解向量的个数为rn.证 因为nrR)(A，不妨设A的左上角的r阶子式不为零，对A实施初等行变换，将A化为行最简形矩阵.111,212,1,1000100010000000000n rn rrr n rkkkkkkALLLLMMMMMLLLLMMMMMLL对应的齐次线性方程组11111221,22112222,1122,rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxk xk xkxxk xk xkxxk xk xkx LLL L L L L L L L LL与原方程组 0Ax同解 1,rnxxL为自由未知量 令rn 个自由未知量12,rrnxxxL分别取 1
6、2100010,001rrnxxx LMMMM可得齐次方程组 0Ax的rn 个解 11121,21222,12,12,100010001n rn rrrr n rn rkkkkkkkkkMMMLMMM11111221,22112222,1122,rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxk xk xkxxk xk xkxxk xk xkx LLL L L L L L L L LL下面证明解向量组12,n r L就是齐次线性方程组的基础解系.(1)先证12,n r L线性无关.因为如下rn 个rn 维向量组 100010,001 LMMM 线性无关，所以在每个向量前添加r个分量而得到的rn
7、 个n维向量12,n r L也线性无关.(2)再证齐次线性方程组的任意一个解都可以由向量组12,n r L线性表示.设121(,)Trrn LL为方程组 0Ax的任意解，则 11111221,22112222,1122,rrn rnrrn rnrrrrrr n rnkkkkkkkkk LLL L L L L L L L LL 在上式中加上等式1122,rrrrnnL并将其写成向量形式为 111121,221222,12,1212100010001n rn rrrrr n rrrnrrnkkkkkkkkkMMMMLMMMM即 1 122rrnn rL 也即方程组 0Ax的任意解可以由向量组12,
8、n r L线性表示.综上所述，向量组12,n r L为齐次线性方程组 0Ax的一个基础解系.说明：定理 1 的证明过程给出了求齐次线性方程组基础解系的方法.且求出方程组的一个基础解系12,n r L后，齐次线性方程组 0Ax的通解就可表示为1122n rn rcccL 其中12,n rc ccL为任意常数.这种求基础解系的方法，实质上就是本章第一节介绍的用消元法求方程组通解的方法，只是通解用基础解系表示而已，需要指明的是方程组的基础解系不是唯一的，方程组的任意rn 个线性无关的解都可以作为方程组的基础解系.例 求齐次方程组123451235234512345 032 30 2360543260
9、 xxxxxxxxxxxxxxxxxx的一个基础解系及通解.解 将系数矩阵A化为行最简形矩阵.1111111111321030123601236012365432601231 A11111012360000100000 11111012360000000007 11110012300000100000 10120012300000100000 23136rrrr214135rrrr3242rrrr2434(1)7rrrr 12rr同解方程组为1342345 2230 xxxxxxx（34,x x为自由未知量）令34xx分别取10,01 ，得基础解系 121223,100100所以原方程组的通解
10、为 2211 cc（21,cc为任意常数）*例 设,A B分别为m n和ns矩阵，且OAB.证明：()()RRnAB.证 将矩阵B按列分块为12(,)sBb bbL，由OAB,得0jAb（sj,2,1）即B的每一列都是Ax0的解，而Ax0的基础解系含有)(ARn个解.即Ax0的任何一组解中至多含)(ARn个线性无关的解.因此 12()(,)()sRRnRBb bbAL 所以 ()()RRnAB.二、非齐次线性方程组解的结构设n元非齐次线性方程组 11 11221121 1222221 122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbLLL L L L L L
11、 L L L L L LL其矩阵方程为Axb，系数矩阵()Aijm na，未知量矩阵12(,)Tnx xxxL，常数项矩阵12(,)Tmb bbbL.非齐次线性方程组Axb对应的齐次线性方程组Ax0称为非齐次线性方程组的导出组.非齐次线性方程组Axb的解与其导出组Ax0的解之间具有下述性质.性质 1 非齐次线性方程组Axb的任意两个解的差是其导出组Ax0的一个解.证 设21,为方程组Axb的两个解.即1Ab，2Ab，则 1212()AAAbb0 即21 为方程组Ax0的解.性质 2 非齐次线性方程组Axb的一个解与其导出组Ax0的一个解之和是非齐次线性方程组Axb的一个解.证 设 为非齐次线性
12、方程组Axb的一个解，为其导出组Ax0的一个解，即 Ab，A 0 则()AAAbb0 即 为非齐次线性方程组Axb的解.由此可以看到：非齐次线性方程组Axb的一个特解与其导出组Ax0的通解之和应该是非齐次线性方程组Axb的通解.即有如下定理.定理2 如果0 是非齐次线性方程组Axb的一个解，为其导出组Ax0的全部解，即 1122n rn rcccL 其中12,n r L是导出组Ax0的一个基础解系，12,n rc ccL为任意常数，则非齐次线性方程组Axb的通解可表示为 01122n rn rcccL.（*）证 由性质 2 可知，01122n rn rcccL必是Axb的解.下面证明Axb任意
13、一个解1 一定可以表示成（*）式的形式.由性质 1 知01 是导出组Ax0的一个解，因此必由导出组Ax0的基础解系12,n r L线性表示，即存在一组数12,n rc ccL使得 101122n rn rcccL 即 101122n rn rcccL 因此，非齐次线性方程组Axb的通解可表示为 01122n rn rcccL 说明：若求非齐次方程组Axb的通解，只需求出Axb一个特解0，及齐次方程组Ax0的一个基础解系12,n r L，则非齐次方程组Axb的通解为 01122n rn rcccL.例 求线性方程组1234512451234512345 23 352 2613456312 3 4
14、xxxxxxxxxxxxxxxxxxx的通解.解 将方程组的增广矩阵化为行最简形矩阵1 2313512313521 026103600934563 12024363111314012241 A1 2313501 2003000363000242 123135012003024363012241 123135101052012003012003000121000121000000000000 21314123rrrrrr32422rrrr2(3)r 34332rrr13122rrrr原方程组的同解方程组为135234525321 2xxxxxxx 令350 xx，得特解0(2,3,0,1,0)T
15、 对应的导出组的同解方程组为1352345522xxxxxxx 取35xx为10,01 得基础解系 12(1,2,1,0,0),(5,0,0,2,1)TT 所以原方程组的通解为 22110 cc（其中21,cc为任意常数）例 设线性方程组1234123412342 202 13 2xxxxxxxxxxxxa试确定a的值，使方程组有解，并求其通解.解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵1212012120211 1105 151312105 15aa A1212005 15100001a 213123rrrr32rr当1a时,32)()(AARR,方程组有无穷多个解.1212005 15100000A103/502/50 11/511/500000 2(5)r 121200 11/511/500000 122rr原方程组的同解方程组为1323423551155xxxxx 令340 xx，得特解021,0,055T 导出组的同解方程组为 132343515xxxxx取34xx为50,01 得基础解系12(3,1,5,0),(0,1,0,1)TT 所以通解为22110 cc（21,cc为任意常数）.
