1、专题43 直角三角形聚焦考点温习理解一、直角三角形1.定义有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2.性质（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.二、勾股定理及逆定理1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;2. 勾股定理的逆定理如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.三、直角
2、三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）四、互逆命题、互逆定理1.互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.互逆定理若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.名师点睛典例分类考点典例一、直角三角形的判定【例1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A4,5,6B1.5,2，2.5C2,3,
3、4D1， ，3【答案】B考点：勾股定理的逆定理【举一反三】（舟山一中期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）A3、4、5 B2、3、4 C1、2、3 D4、5、6【答案】A【解析】试题分析：选项A，32+52=25=52；选项B， 22+32=42；选项C， 12+2232；选项D， 42+5262根据勾股定理的逆定理可得只有选项A能够成直角三角形，故答案选A考点：勾股定理的逆定理考点典例二、直角三角形的性质【例2】如图，在RtABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则DCE的大小为 【答案】45考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理
4、；3.方程思想的应用【举一反三】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，则另一个锐角的度数是( )A120 B90 C60 D30【答案】D【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：直角三角形中，一个锐角等于60，另一个锐角的度数=9060=30故选D考点：直角三角形两锐角的关系.考点典例三、直角三角形斜边上的中线【例3】如图，在RtABC中，ACB=90，点D是AB的中点，且CD=，如果RtABC的面积为1，则它的周长为（）A B C D【答案】D考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律【举一反
5、三】（2015.山东枣庄，第15题，4分）如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD=_ 【答案】【解析】【试题分析】因为CDAB，所以ADC是直角三角形，E为AC的中点，所以AC=2DE=10，由勾股定理可得AD=8.考点：直角三角形的性质考点典例四、命题【例3】下列命题中，是真命题的是( )A等腰三角形都相似 B等边三角形都相似 C锐角三角形都相似 D直角三角形都相似【答案】B【解析】试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60，从而都相似. 故选B考点：1. 命题和定理；2.相似三角形的判定；3. 等边三角形的性质.【点睛】本题考查了
6、轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解【举一反三】下列命题错误的是（）A所有的实数都可用数轴上的点表示B等角的补角相等C无理数包括正无理数，0，负无理数D两点之间，线段最短【答案】【解析】试题分析：根据实数与数轴上的点一一对应对A进行判断；根据补角的定义对B进行判断；根据无理数的分类对C进行判断；根据线段公理对D进行判断考点：命题与定理课时作业能力提升一、选择题1. (2015.北京市，第6题，3分)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点
7、间的距离为( )A0.5kmB.0.6km C.0.9kmD.1.2km【答案】D【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=1.2km故选D考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2. （2015湖北黄冈，6题，3分）如图，在ABC 中，C=Rt，B=30，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，CD=3，则BC 的长为（ ）A6 B C9 D【答案】C考点：1含30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质3.（2015辽宁大连）如图，在ABC中，C=90，AC=2，点D在BC上，ADC=2B，AD=，则BC的长为（ ）A.-1 B.+1 C.-1
8、 D.+1【答案】D【解析】试题分析：在ADC中，C=90，AC=2，所以CD=，因为ADC=2B，ADC=B+BAD，所以B=BAD，所以BD=AD=，所以BC=+1，故选D.考点：解直角三角形.4.（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A13cmBcmCcmDcm【答案】A【解析】试题分析：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容
9、器上沿3cm与饭粒相对的点A处，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=13（Cm）故选A考点：平面展开-最短路径问题5.（2015眉山）如图，在RtABC中，B=900，A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD若BD=l，则AC的长是（ ）A B2 C D4【答案】A【解析】试题分析：在RtABC中，B=90，A=30，ACB=60，DE垂直平分斜边AC，AD=CD，ACD=A=30，DCB=6030=30，在RtDBC中，B=90，DCB=30，BD=1，CD=2BD=2，由勾股定理得：
10、BC=，在RtABC中，B=90，A=30，BC=，AC=2BC=，故选A考点：1含30度角的直角三角形；2线段垂直平分线的性质；3勾股定理6.（2015乐山）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A B C D【答案】D考点：1锐角三角函数的定义；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4网格型二、填空题7.（2015成都）如图，在平行四边形ABCD中，AB=，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_【答案】3【解析】试题分析：点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，根据翻折的性质， 则AEBC，BE=CE=2，在RtABE中，
11、由勾股定理得故答案为：3考点：1翻折变换（折叠问题）；2勾股定理；3平行四边形的性质8.（2015内江）在ABC中，B=30，AB=12，AC=6，则BC= 【答案】考点：1含30度角的直角三角形；2勾股定理9.如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为 【答案】【解析】试题分析：在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，.由折叠的性质得：BE=BE，AB=AB，设BE=x，则BE=x，CE=4x，BC=ACAB=ACAB=2，在RtBEC中，BE2+BC2=EC2，即x2+22=（4x）2，解得：
12、x=BE的长为考点：1. 折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10. （2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）BD为等腰ABC的腰AC上的高，BD=1，tanABD=，则CD的长为 【答案】或或【解析】试题分析：分三种情况：如图1，A为钝角，AB=AC，在RtABD中，BD=1，tanABD=，AD=，AB=2，AC=2，CD=，如图2，A为锐角，AB=AC，在RtABD中，BD=1，tanABD=，AD=，AB=2，AC=2，CD=，如图3，BA=BC，BDAC，AD=CD，在RtABD中，BD=1，tanABD=，AD=，CD=，综上所述；CD的长为：或或，故答案为：或或
13、考点：1解直角三角形；2等腰三角形的性质；3勾股定理11.如图，在RtABC中，B=90，AB=3，BC=4，将ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB= 【答案】1.5.考点：翻折变换（折叠问题）12.如图，直线mn，RtABC的顶点A在直线n上，C=90，若1=25，2=70.则B= 【答案】45.【解析】试题分析：mn，2=70，BAn=70.1=25，BAC=45.C=90，B=45. 考点：1.平行线的性质；2.直角三角形两锐角的关系.13.（2015湖北黄冈，14题，3分）在ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则ABC 的
14、面积为_【答案】126或66【解析】试题分析：当B为锐角时（如图1），在RtABD中，BD=5cm，在RtADC中，CD=16cm，BC=21，SABC=BCAD=2112=126cm2；当B为钝角时（如图2），在RtABD中，BD=5cm，在RtADC中，CD=16cm，BC=CDBD=165=11cm，SABC=BCAD=1112=66cm2，故答案为：126或66考点：1勾股定理；2分类讨论三、解答题14.如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上. （1）计算的值等于 ；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使矩形的面积
15、等于，并简要说明画图方法（不要求证明） . 【答案】（1）11；（2）作图如下，分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理计算：.（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案考点：1.作图（应用与设计作图）；2.网格问题；3.勾股定理15.（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.填空：AEB的度数为
16、； 线段AD 和BE之间的数量关系是 .（2）拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE. 请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=. 若点P满足PD=1，且BPD=900，请直接写出点A到BP的距离.【答案】（1）60；AD=BE；（2）AEB900；AE=2CM+BE，理由见解析；（3）或.（2）同（1）可证ACDBCE，再由等腰直角三角形的性质可得结论AEB900；AE=2CM+BE.（3）PD =1，BPD=900，
17、 BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点第一种情况：如图，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，可证APDAP/B，PD=P/B=1，CD=，BD=2，BP=. AM=PP/=(PB-BP/)=.第二种情况如图，可得AM=PP/=(PB+BP/)=.试题解析：（1）60；AD=BE. （2）AEB900；AE=2CM+BE. 理由如下：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB =DCE= 900，AC=BC，CD=CE， ACB=DCB=DCEDCB，即ACD=BCE.ACDBCE（SAS）. AD = BE, BEC=ADC=1350.AEB=BECCED=1350450=900 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，CM= DM= ME. DE=2CM .AE=DE+AD=2CM+BE.（3）或.考点：1. 等边三角形和等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.切线的判定和性质；5.分类思想的应用.16.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.（1）求F的度数；（2）若CD=2，求DF的长.【答案】（1）30；（2）4.考点：1.等边三角形的判定与性质；2.平行的性质；3.含30度角的直角三角形的性质
