1、高一必修四:三角函数一 任意角的概念与弧度制(一)角的概念的推广1、角概念的推广:在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向,旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角,其中逆时针方向旋转的角叫做正角,顺时针方向的叫做负角;当射线没有旋转时,我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x轴正半轴作为角的起始边,叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。2、特殊命名的角的定义:(1)正角,负角,零角 :见上文。(2)象限角:角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为:第一象限角、第二象限角等(3)轴线角:角的终边落在坐标轴上的角终边在x轴上的角的集合: 终
2、边在y轴上的角的集合: 终边在坐标轴上的角的集合:(4)终边相同的角:与终边相同的角(5)与终边反向的角: 终边在y=x轴上的角的集合: 终边在轴上的角的集合:(6)若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:(7)成特殊关系的两角若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:若角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:注:(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.3、本节主要题型:1.表示终边位于指定区间的角.例1:写出在到之间与的终边相同的角. 例2:若是第二象限的角,则是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.
3、 例3:写出终边在轴上的集合.写出终边和函数的图像重合,试写出角 的集合.在第二象限角,试确定所在的象限.角终边与角终边相同,求在内与终边相同的角.(二)弧度制1、弧度制的定义:2、角度与弧度的换算公式: 360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.3、题型(1)角度与弧度的互化例:(2),的应用问题例1:已知扇形周长,面积,求中心角.例2:已知扇形弧度数为,半径等于,求扇形的面积.例3:已知扇形周长,半径和圆心角取多大时,面积最大.例4: a.求出弧度,象限. b.用角度表示出
4、,并在之间找出,他们有相同终边的所有角.二 任意角三角函数(一)三角函数的定义1、任意角的三角函数定义正弦,余弦,正切2、三角函数的定义域:三角函数定义域sinxcosxtanx(二)单位圆与三角函数线1、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM表示角的正弦值,叫做正弦线。OM表示角的余弦值,叫做余弦线。如图(2)AT表示角的正切值,叫做正切线。注:线段长度表示三角函数值大小,线段方向表示三角函数值正负 (三)同角三角函数的基本关系式同角三角函数关系式(1) 商数关系:(2) 平方关系:(四)诱导公式 三 三角函数的图像与性质(一)基本图像:1正弦函数 2余弦函数3正切函数(二)、函数图像的性质正
5、弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:定义域RR值域R周期奇偶奇函数偶函数奇函数单调上为增函数 上为减函数() 上为增函数上为减函数()上为增函数()对称对称轴为,对称中心为,对称轴为,对称中心为无对称轴,对称中心为(三)、常见结论:1.与的周期是.2.或()的周期.3.的周期为2. 4.的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().5.当;(WHY?) (WHY?)6.函数在上为增函数.() 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的.7.奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)8. 不是周期函数;为周期函数();是周期函数(如图);为周期函数();的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:四 和角公式两角和与差的公式 五 倍角公式和半角公式(一)倍角与半角公式: (二)万能公式: 六 三角函数的积化和差与和差化积公式七 特殊角函数值, ,