1、二次函数知识点总结一. 二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二. 二次函数的图像和性质表达式 (a0)a值图像开口 方向对称轴顶点 坐标增减性最值y=ax2a0向上y轴（0，0）当x0时，y随x的增大而增大当x0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即=0a0向下y轴（0，0）当x0时，y随x的增大而减小当x0时，y随x的增大而增大当x
2、=0时，y有最大值，即=0y=ax2+ka0向上y轴（0，k）当x0时，y随x的增大而增大当x0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即=ka0向下y轴（0，k）当x0时，y随x的增大而减小当x0时，y随x的增大而增大当x=0时，y有最大值，即=ky=a(x-h)2a0向上直线x=h（h，0）当xh时，y随x的增大而增大当x0时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即=0a0向下直线x=h（h，0）当xh时，y随x的增大而减小当x0时，y随x的增大而增大当x=h时，y有最大值，即=0y=a(x-h)2+ka0向上直线x=h（h，k）当xh时，y随x的增大而增大当xh时，y随x的增
3、大而减小当x=h时，y有最小值，即=ka0向下直线x=h（h，k）当xh时，y随x的增大而减小当xh时，y随x的增大而增大当x=h时，y有最大值，即=ky=ax2+bx+c可化为：y=a(x+2+a0向上直线x=-（-，）当x-时，y随x的增大而增大当x-时，y随x的增大而减小当x=-时，y有最小值，=a0向下直线x=-（-，）当x-时，y随x的增大而减小当x-时，y随x的增大而增大当x=-时，y有最大值，即y最大值=三. 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的
4、基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）” 温馨提示 二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图像间的平移. 四.二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五二次函数解析式的三种表示方法名称解析式使用范围一般式已知任意三个点顶点式已知顶点（h，k）及另一点交点式已知与x轴的两个交点及另一个点温馨提示 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示
5、二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式. 六二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数【a决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口的大小】 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，a的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越大，开口越大，的值越大，开口越大 注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大 抛物线的形状相同，即|a|相同.2. 一次项系数【由a和对称轴共同决定】 对称轴在y轴的左侧，a，b同号；对称轴在y轴的右侧，a，b异号.（左同右异 b为0时，对
6、称轴为y轴） 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置七二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断： yax2+bx+c （a0，a、b、c都是常数） 1.=b-4ac0抛物线与x轴有两个交点 2.=b-4ac=0抛物线与x轴有一个交点 3.=b-4ac0抛物线与x轴没有交点 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 八.二次函数与一元二次方程、
7、一元二次不等式的解之间的关系：1.二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c0的解（从图象上进行判断）.2.二次函数yax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c0的解. 九.二次函数的应用二次函数应用二次函数抛物线简单的图形变换（1）顶点式【（a0）】名称a顶点（h，k）平移a(h， k) 左加右减 上加下减对称关于x轴对称-a(h，-k)关于y轴对称a(-h，k)关于原点对称
8、-a(-h，-k)旋转（绕顶点旋转180）-a(h，k)（2）一般式【（a0）】平移：如将二次函数向右平移m(m0)个单位，再向下平移n（n0）个单位，得到对称名称a、b、c的变化解析式变化关于x轴对称a-a; b-b; c-cy=ax+bx+cy=-ax-bx-c关于y轴对称a不变；b-b；c不变y=ax+bx+cy=ax-bx+c关于原点对称a-a；b不变；c-cy=ax+bx+cy=-ax+bx-c注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解. 二次函数对应练习试题一.选择题1.二次函数的顶点坐标是( )A.(2,11) B.（2，7） C.（2，1
9、1） D. （2，3）2.把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. B. C. D.3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当和时,函数值相等;当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（ ）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.方程的正根的个数为（
10、）A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. B. C. 或 D. 或二填空题9二次函数的对称轴是，则_.10已知抛物线y=-2（x+3）+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当x0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）.12抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 .13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c=
11、.14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (取3.14).三解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?第15题图(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （00；c0；b2-4ac0，其中正确的个数是（ ） A0个 B1个 C2个 D3个5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.二次函数的图象如图所示，则（ ）A.a0，b-4ac0 B.a0，b-4ac0 C.a0，b-4ac0 D.a0，b-4ac07.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A.ac0 B.a-b+c0 C.b=-4a D.关于x的方程ax+bx+c=0的根是x1=-1，x2=58.已知二次函数y=ax+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b-4ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0其中，正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4
