1、基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展三个正数的基本不等式.二、本节题型（1）利用基本不等式求最值.（2）利用基本不等式证明不等式.（3）基本不等式的实际应用.（4）与基本不等式有关的恒成立问题.三、知识点讲解知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,R,有.当且仅当时,等号成立. 特别地,当时,分别用代替上式中的,可得.当且仅当时,等号成立. 通常称不等式为基本不等式（也叫均值不等式）,其中叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数.基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意 重要不等式与基本不
2、等式成立的条件是不一样的.前者为任意实数,后者只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是.基本不等式的变形（1）,.其中R+,当且仅当时,等号成立.（2）当时,2,当且仅当,即时,等号成立;当时,当且仅当时,等号成立.实际上,当时,.2,即.当且仅当,即（）时,等号成立.（3）当同号时,2,当且仅当时,等号成立;当异号时,当且仅当时,等号成立.（4）不等式链: （,当且仅当时,等号成立.）其中,分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数.知识点 利用基本不等式求最值设,则有（1）若（和为定值）,则当时,积取得最大值;（ R+,有,.）和定积最大.（2）若（积为定值）,则当时
3、,和取得最小值.（ R+,有,.）积定和最小.说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等.一正: 各项都必须为正数;二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值;三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数,当时,即4,当,即时,等号成立;当时,当时,等号成立. 由此可见,对于函数,和的最值情况是不一样的.（2）当时,求的最大值时,与的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变
4、形,变形为,即可求出其最大值.的最大值为,当且仅当,即时,取得最大值.（3）求的最小值时,虽然与都是正数,且乘积为定值1,但是当时,有,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点 基本不等式的拓展三个正数的基本不等式 一般地,R+,有.当且仅当时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 设,则有（1）若,则当时,和取得最小值为;（2）若,则当时,积取得最大值.关于三个正数的不等式链若均为正数,则有.当且仅当时,等号成立.个正数的基本不等式 对于个正数,则有.当且仅当时,等号成立.上面的不等式表明: 对于个正数（2）的算术平均数不小于它们的几何平
5、均数.四、例题讲解例1. 若,证明: .分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链.证明: 0（当且仅当时,等号成立）（当且仅当时,等号成立）.,即.根据正数可开方性得:.（当且仅当时,等号成立）.综上所述,.例2. 函数（）的最小值为_,此时_.解: ,即3.当且仅当,即时,取等号.当时,函数（）取得最小值3.例3. 已知,求的最小值.分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解: ,.,当且仅当,即时,等号成立.的最小值为7.例4. 已知,且,则的最小值是_.解: ,.
6、,.当且仅当,即时,等号成立.的最小值是3.另解: ,.,.当且仅当,即时,等号成立.的最小值是3.例5. 已知,且,求的最小值.解: ,.当且仅当,且,即时,等号成立.的最小值为.点评 本题若由,得的最小值为,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性. 所以有下面的警示.易错警示 连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同.例6. 已知,且,求的最小值.解: ,.当且仅当,且,即时,等号成立.的最小值为16.另解（消元法）: ,. .当且仅当,且,即时,等号成立.的最小值为16.例7. 若正数满足,则的最小值是 【 】（A） （B） （C
7、）5 （D）6解: ,.均为正数 .当且仅当,且,即时,等号成立.的最小值是5.选择答案【 C 】.例8.（1）已知,求代数式的最小值;（2）已知,求代数式的最大值.分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）,.当且仅当,即时,等号成立.代数式的最小值为5;（2）,. 当且仅当,即时,等号成立,取得最大值1.例9. 已知实数,且,则的最小值是 【 】（A） （B） （C）3 （D）2解: ,整理得:.当且仅当,即时,等号成立.的最小值是.选择答案【 B 】.另解: ., .当且仅当,且,即时,等号成立.的最小值是.例10. 设,且,则的
8、最小值为 【 】（A） （B）2 （C） （D）3解: ,. .当且仅当,且,即时,等号成立.的最小值为.选择答案【 A 】.另解: ,.,解之得:.的取值范围为.设,.当时,.选择答案【 A 】.例11. 代数式（）的最小值为 【 】（A）2 （B）7 （C）9 （D）10分析: 形如的式子可化为的形式.解: 可设.,解之得:.,.当且仅当,即时,等号成立.代数式（）的最小值为9.选择答案【 C 】.另解: .,.当且仅当,即时,等号成立,.选择答案【 C 】.例12. 求函数的最小值.解: .当且仅当,即时,等号成立.例13. 已知函数（）在时取得最小值,则_.解: .当且仅当,即时,等号
9、成立,函数取得最小值.,解之得:.实际上,函数（）,当时,函数取得最小值.所以,从而求得.例14. 设正实数满足,若恒成立,则实数的取值范围是_.分析: 利用基本不等式可求出的最小值.要使恒成立,只需即可.解: 为正实数,当且仅当,即时,等号成立.恒成立只需即可,解之得:.实数的取值范围是.例15. 已知（）,求的最大值.分析: 当两个正数的和为定值S时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大. 本题中,观察到为定值,故考虑用基本不等式求函数的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解: ,.当且仅当,即时,等号成立.的最大值为.另解: ,.当且仅当,即时,等号成立.的最大
10、值为.例16. 求代数式（）的最大值.分析: 形如的式子可化为的形式.解: ,. 当且仅当,即时,等号成立.代数式（）的最大值为0.注意 使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等.例17. 已知,求的最大值.解: ,.当且仅当,即时,等号成立.例18. 设,若恒成立,则的最大值为_.分析: 只需即可,这样问题就转化为求的最小值的问题.解: .,.当且仅当,即时,等号成立.（注意,当时,）的最小值为8.恒成立8,的最大值为8.另解: , .当且仅当,即时,等号成立.的最小值为8.恒成立8,的最大值为8.例19. 若对任意,恒成立,则实数的取值范围是_.解: 当且仅当,即时
11、,等号成立.对任意,恒成立.,即实数的取值范围是.例20. 已知,若恒成立,则实数的最大值是_.分析: 可求出的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解: .1,8.当且仅当,即时,等号成立.恒成立,即8,解之得:10.实数的最大值是10.例21. 若不等式（常数）对一切正实数恒成立,求实数的取值范围.解: ,.当且仅当,即时,等号成立.对一切正实数恒成立只需即可,解之得:.实数的取值范围是.方法总结 解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决
12、.例22. 已知是正实数,且,则的最小值是_,的最小值是_.解: ,.是正实数.当且仅当,即时,等号成立.的最小值为.是正实数,.当且仅当,即时,等号成立.的最小值是.例23. 已知,且,则的最大值是_,的最小值是_.解: ,当且仅当,即时,等号成立.的最大值是.,. .当且仅当,即时取等号.的最小值是.例24. 要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是 【 】（A）80元 （B）120元 （C）160元 （D）240元解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m2,设底面长为m,则底面宽为m,容器
13、的总造价为元.则有（元）当且仅当,即时,等号成立.该容器的最低总造价是160元.选择答案【 C 】.例25. 设,则的最小值为_.解: . .当且仅当,且,即或时,等号成立.的最小值为.注意 注意与下面的例25做比较.例26. 设,且,则的最小值为_.分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等.,.当且仅当时,等号成立,此时无实数解.上面的等号是取不到的,即的最小值不是2.解: ,且,.设,则.在上单调递减.的最小值为.例27. 设,求代数式的最大值.解: 当且仅当,即时,等号成立.代数式的最大值.例28. 已知,求证:8.证明: ,.当且仅当时,上面三个等号同时成
14、立.当且仅当时,等号成立.例29. 已知,且.求证:9.证明: , 当且仅当时,等号成立.例30. 已知正数满足,求的最小值.解: .均为正数 .当且仅当,即时,等号成立.的最小值为.例31. 若实数,且满足,则的最小值为_.解: .,. .当且仅当,即时,等号成立.的最小值为4.例32. 已知,且,则的最小值为 【 】（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（参见例9）解: .,且 .当且仅当,即时,等号成立.的最小值为5.选择答案【 A 】.另解: ,.整理得:.当且仅当,即（此时）时,等号成立.的最小值为5.选择答案【 A 】.点评 在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变
15、形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值.例33. 已知,求的最小值.分析: 注意到,所以,这样就消去了字母,因此4.当且仅当时,等号成立.解: （当且仅当时,等号成立）,.当且仅当,即时,等号成立.的最小值是8.另解: ,.（这里,）（当且仅当时,等号成立）.（当且仅当,即时,等号成立）当且仅当,即时,等号成立.的最小值是8.例34. 若,且,求证:4.证明: ,.当且仅当,即或时,等号成立.4.例35. 已知为正数,求证:.证明: 为正数,.当且仅当,即时,等号成立.（这里,）例36. 若,.求证:.分析: 注意到这一隐含条件.证明: ,. .当且仅当,即时,等号成立.例3
16、7. 已知均为正数.求证:3.证明: 均为正数.当且仅当,即时,等号成立.3.例38. 已知,则的最小值为 【 】（A） （B） （C） （D）4分析: 注意到,根据题目所给条件的特点可先求出,然后开方即可得到,而.解: ,.,. .当且仅当,即（）时,等号成立.的最小值为18.的最小值为.选择答案【 C 】.例39. 已知,且,则的最大值是_.解: , .当且仅当,即时,等号成立.的最大值是.例40. 已知,则的最小值为_.解: ,. .当且仅当,即时,等号成立.的最小值为6. 点评: 上面的方法为消去元后,利用基本不等式求得最值.例41. 已知为正实数,且,求的最大值.解: 为正实数 .当
17、且仅当,即时,等号成立.的最大值为.另解: ,.为正实数 .当且仅当,即时,等号成立.的最大值为.例42. 求函数的最大值.解: 设,则0,.当,即时,;当,即时,.当且仅当,即时,取等号.当时,函数的最大值为.综上所述,函数的最大值为.例43. 设正实数满足,则当取得最大值时,代数式的最大值为 【 】（A）0 （B）1 （C） （D）3解: ,.为正实数.当且仅当,即时,等号成立,此时.1当时,的最大值为1.选择答案【 B 】.例44. 若正数满足,则的最大值是 【 】（A） （B） （C）2 （D）解: 30,2.的最大值是2.选择答案【 C 】.例45. 设,且0恒成立,则实数的最小值等
18、于 【 】（A）0 （B）4 （C） （D）解: 0恒成立恒成立.（这里,注意）只需即可,此时取得最小值.,当且仅当时,等号成立.,即的最小值为.选择答案【 C 】.例46. 设,且恒成立,求的取值范围;解: ,.恒成立恒成立,只需即可. 当且仅当时,等号成立,.4.的取值范围是.例47. 对于任意R,不等式恒成立,求实数的取值范围.解: 恒成立恒成立,只需即可.设,则,.,且在上单调递增,即.,即实数的取值范围是.注意 本题不能用基本不等式求最值.当时,方程无解.例48. 设,则的最大值为_.解: .当且仅当,即时,取等号.的最大值为18.的最大值为.例49. 已知,则的最小值是 【 】（A
19、）7 （B）9 （C）5 （D）11解: ,.2,9.的最小值是9.选择答案【 B 】.另解: ,.的最小值是9.选择答案【 B 】.例50. 若关于的不等式5在上恒成立,则实数的最小值为_.解: ,.5恒成立只需5即可.当且仅当,即时,等号成立.5,解之得:1.实数的最小值为1.例51. 已知,且,则的最小值为_.解: . .当且仅当,即时,等号成立.,即的最小值为.例52. 已知,且,求的最小值.解: .,即00解之得:.,当且仅当时,等号成立.的最小值为.例53. 已知为正数,则的最大值为 【 】（A）1 （B）2 （C） （D）解: 为正数.当且仅当时,等号成立.的最大值为.选择答案【 C 】.例54. 设,则的最小值是 【 】（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解: ,. .当且仅当,即时,等号成立.的最小值是4.选择答案【 D 】.例55. 设都是正数,且.（1）求的最小值;（2）求的最小值.分析: 关于（1）的解决,参见例52.解:（1）.都是正数,即.0.解之得:.当且仅当时,等号成立.的最小值为;（2）由（1）知:.都是正数.（当且仅当时取等号）,0.0.解之得:.当且仅当时,等号成立.的最小值为.第36页
