1、必修五知识点整理第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1、 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 正弦定理推论：（为三角形外接圆的半径） 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边和三个内角.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。3、正弦定理确定三角形解的情况图 形关 系 式解 的 个 数 为 锐 角一 解两 解无 解为钝角或直角一 解无 解4、 任意三角形面积公式为： 1.1.2 余弦定理5、 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方
2、的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 ，. 余弦定理推论：，6、不常用的三角函数值15751051651.2 应用举例（浏览即可）1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正西或正东）3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。 （1）方位角 （2）方向角 （3）仰角和俯角 （4）视角4、 视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。5、 铅直平行：与海平面垂直的平面
3、。6、 坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比. （5）坡角与坡比第二章 数 列 2.1 数列的概念与简单表示法1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第位的数称为这个数列的第项。所以，数列的一般形式可以写成，简记为.2、数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。3、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项
4、（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）（）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为（）4、数列与函数：数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。通项公式可以看成函数的解析式。5、数列的单调性：若数列满足：对一切正整数，都有（或），则称数列为递增数列（或递减数列）。 判断方法：转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性； 作差比较法，即作差比较与的大小； 2.2 等差数列1、 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
5、差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母表示。定义式为（，）或（）2、 等差中项：由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，叫做与的等差中项。 是，的等差中项.3、 等差中项判定等差数列：任取相邻的三项，（），则 ，成等差数列（）是等差数列。4、 等差数列的通项公式，其中为首项，为公差。变形为：.5、 通项公式的变形：，其中为第项。变形为.6、 等差数列的性质：（1）若，且，则；（相同数量下，项数之和相等，项之和相等）（2）若，则；（3） 若，成等差数列，则，成等差关系；（等距等差）（4） 若为等差数列，也成等差数列（片段等差）（5） 若成等差数列（公差为，首项为）；（6
6、） 若成等差数列，则也成等差数列；（7） 如果都是等差数列，则，也是等差数列。 2.3 等差数列的前项和1、一般数列与的关系为.2、等差数列前项和的公式：3、等差数列前项和公式的函数特征：（1）由，令，则为等差数列（为常数，其中，）. 若，即，则是关于的无常数项的二次函数。 若，即，则. （2）若为等差数列，也是等差数列，公差为（3）若，则 （5）若，则（4）若是均为等差数列，前项和分别是与，则有（5）等差数列中，则有最大值，则有最小值。 2.4 等比数列1、 等比数列：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通
7、常用字母表示.定义式：，(,).2、 等比中项：如果在与中间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比数列。 ，成等比数列. 两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。3、 通项公式： 其中首相为，公比为.4、 等比数列的性质：（，）. 2.5 等比数列的前项和1、等比数列的前项和的公式：2、等比数列的前项和的函数特征：当时，.记，即.（帮助判断等比数列）3、等比数列的前项和的性质： 在等比数列中：（1）当，均不为零时，数列成等差数列。公比为.（2）（3）或（、）（4）若，则（5）若为等差数列，则为等比数列（6）若为正项等比数列，则是等差数列（7）若、均为等比数列，则等仍是等比数列。公比分别
8、为：.（8）等比数列的增减性：当，或时，为递增数列；当或时，为递增减数列。4、由递推公式求数列通向法：（具体步骤参考金字塔教材）（1）累加法： 变形：（2）累乘法： 变形：（3）取倒数法：（4）构建新数列法：（其中，均为常数，）设为等比数列。第三章 不等式 3.1 不等式关系与不等式1、不等式定义：用不等号（、）表示不等关系的式子叫不等式，记作，等。用“”或“”连接的不等式叫严格不等式，用不“”或“”连接的不等式叫非严格不等式。2、实数的基本性质 ；. 实数的其他性质 ；3、不等式的基本性质（1）对称性： （2）传递性：（3）可加性： 推论1：（移向法则）推论2：（同向不等式的相加法则）（4）
9、可乘性：；（5）同向相加：；异向可减：（6）同向可乘：；异项可除：（7）乘方法则：（，）（8）可开方性法则：（，）（9）倒数法则： 19、阳光、空气、水、土壤、岩石、植物、动物构成了我们周围的环境。我们人类也是环境中的一部分，我们都生活在一不定的环境之中。人与自然和谐相处，共同发展，是我们共同的责任。3.2 一元二次不等式及其解法1、 一元二次不等式定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式。使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。2、3、 10、日食：当月球运动到太阳和地
10、球中间，如果三者正好处在一条直线上时，月球就会挡住太阳射向地球的光，在地球上处于影子中的人，只能看到太阳的一部分或全部看不到，于是就发生了日食。日食时，太阳被遮住的部分总是从西边开始的。二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系13、以太阳为中心，包括围绕它转动的八大行星（包括围绕行星转动的卫星）、矮行星、小天体（包括小行星、流星、彗星等）组成的天体系统叫做太阳系。的图像3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。11、月食：当地球转到月球和太阳的中间，太阳、地球、月球大致排成一
11、条直线时，地球就会挡住太阳射向月球的光，这时在地球上的人就只能看到月球的一部分或全部看不到，于是就发生了月食。二、问答：的根7、将铁钉的一部分浸入硫酸铜溶液中，有什么现象？过一会儿，取出铁钉，我们又观察到了什么现象？（P36）两个不相等的实数根6、你还知道哪些环境问题？它们都对地球造成了哪些影响？两个相等的实数根22、光的传播速度是每秒钟30万千米，光年就是光在一年中所走过的距离，它是用来计量恒星间距离的单位。没有实数根21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。的解集的解集附：韦达定理在函数，则，. 3.3 二
12、元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域1、 平面区域：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界。不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。2、 平面区域的判定：一般地，当时，表示的上方区域； 当时，表示的下方区域。 3.3.2 简单的线性规划问题3、 线性规划有关概念：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称线性规划问题。若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则成为线性约束条件。要求最大（小）值所涉及的关于变量，的一次解析式叫做线性目标函数。满足线性
13、约束条件的解（，）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。 3.4 基本不等式：1、 主要不等式：设，则（当且仅当时取“=”）2、 基本不等式：设，则（当且仅当时取“=”） 即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。变形：.3、 应用：（，）（调几算方）4、 基本不等式的应用（1） 如果和是定值，那么当且仅当时，积有最大值；（2） 如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值. 应注意以下几点：各项或各因式必须为整数；各项或各因式的和（或积）必须为常数；各项或各因式能够取相等的值；多次使用均值不等式时必须同时取等号。 以上三个条件简称为“一正，二定，三相等，四同时” 其他补充内容1、 两点间的距离公式：设，则.2、 点到直线的距离公式：设，直线的方程为（、不同时为零），则到直线的距离.3、 两平行线间的距离公式：两平行直线和间的距离.4、 点斜式方程：，即5、 斜截式方程：，其中为斜率，为截距。6、 直线方程的一般形式：（、不同时为零），当时，方程可化为，表示斜率为，在轴上的截距为的直线。7、 圆的标准方程：. 其中圆心为，半径为.
