1、14. 导 数 知识要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用 函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称） 的定义： 设 x0 是函数 y f (x) 定义域的一点， 如果自变量 x 在 x0 处有 增 量 x ， 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 y f (x0 x) f (x0 ) ； 比 值y f (x0 x) f (x0 )x x称为函数 y f (x) 在点 x0 到 x0 x 之间的平均变化率；如果极限limx 0yxlimx 0f (x0x) xf(x0)存在， 则称函数 y f (x) 在点
2、x0 处可导， 并把这个极限叫做 xy 在 x0 处的导数， 记作 ( 0 )f (x) f 或 xy ，即 ( 0 )| f =x x0limx 0yxlimx 0f (x0x) f x(x0).注： x是增量，我们也称为 “改变量 ”，因为 x 可正，可负，但不为零 . x以知函数 y f (x) 定义域为 A ， y f ( ) 的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为 A B .2. 函数 y f (x) 在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系：函数 y f ( x) 在点 x0 处连续是 y f (x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件 .可以证明，如果 y f (x) 在点
3、x0 处可导，那么 y f (x) 点 x0 处连续 .事实上，令 x x0 x ，则 x x0 相当于 x 0 .于是 lim ( ) lim ( ) lim ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )f x f x x f x x f x f x0x x x 0 x 00f (x x) f ( x ) f (x x) f (x )0 0 0 0 lim x f (x ) lim lim lim f (x ) f (x0) 0 f (x0 ) f (x00 0x 0 x 0 x 0 x 0x x).如果 y f ( x) 点 x0 处连续，那么 y f (x) 在点 x0 处可导，是不成立的 .例：
4、 f (x) | x |在点 x0 0 处连续，但在点 x0 0 处不可导，因为y | x |x x，当 x 0 时，yxy；当 x 0 时， 1，故1xylim 不存在 .xx 0注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .3. 导数的几何意义：函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f (x) 处的切线的斜率， x也 就 是说 ， 曲线 y f ( x) 在 点 P (x0 , f ( x) 处 的切线 的斜 率 是 ( 0 ) f ， 切线 方程 为yy ).0 f (x)(x x04. 求导数
5、的四则运算法则： (u v u v y ( ) ( ) . n ( ) ( ) ( ) . n ( )f1 x f x f x y f x f x f x2 1 2 ( ) ( uv) vu v u cv c v cv cv （ c为常数） u vu v u( v 0 )2v v注： u, v必须是可导函数 .若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导 .例如：设f2(x) 2 sin x ，x2g (x) cos x ，则 f (x), g( x) 在 x 0 处均不可导，但它们和xf ( x) g( x)sin x cos x 在 x
6、 0 处均可导 . x f u x 5. 复合函数的求导法则： f x ( ( ) ( ) ( ) 或 y x y u u x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 .6. 函数单调性： x 函数单调性的判定方法： 设函数 y f (x) 在某个区间内可导， 如果 f ( ) 0，则 y f (x) 为增函数；如果 f (x) 0，则 y f (x) 为减函数 .常数的判定方法；如果函数 y f (x) 在区间 I 内恒有 f ( ) =0，则 y f ( x) 为常数 .x注： f ( x) 0 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 y 2x3 在 ( , ) 上并不是都有
7、f (x) 0 ，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样 f (x) 0 是 f（x）递减的充分非必要条件 .一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 .7. 极值的判别方法： （极值是在 x0 附近所有的点， 都有 f (x) f ( x0 ) ，则 f (x0) 是函数 f ( x)的极大值，极小值同理）当函数 f (x) 在点 x0 处连续时， x x如果在 x0 附近的左侧 f ( ) 0，右侧 f ( ) 0，那么 f (x0 ) 是极大值； x x如果在 x0 附近的左侧 f ( )
8、 0，右侧 f ( ) 0，那么 f (x0 ) 是极小值 .f =0 x x也就是说 x0 是极值点的充分条件是 x0 点两侧导数异号，而不是 ( ). 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同） . x注： 若点 x0 是可导函数 f (x) 的极值点，则 f ( ) =0. 但反过来不一定成立 . 对于可导函数，其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零 .例如：函数3 xy f (x) x ， x 0 使 f ( ) =0，但 x 0不是极值点 .例如：函数
9、 y f (x) | x | ，在点 x 0 处不可导，但点 x 0是函数的极小值点 .8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较 .注：函数的极值点一定有意义 .9. 几种常见的函数导数：C （ C 为常数） (sin x) cos xI. 0(arcsin x)121 xx （ n R ） (cos x) sin xn nxn 1( )(arccos x)112xII.(ln x)1 1 e(loga x) logax x(arctanx)x121x e x xx ) ln(e ) (a a a(arc cot x)x121III. 求导的常见
10、方法：常用结论：(ln |x 1 . x|)形如 y (x a1 )( x a2 ).( x an ) 或( x a )( x a ).( x a )1 2 ny 两边同取自然对数，可转化( x b )( x b ).( x b )1 2 n求代数和形式 .无理函数或形如xy x 这类函数，如xy x 取自然对数之后可变形为 ln y x ln x ，对两边求导可得yyln x x1xyylnxyyxx x xlnx.导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。例 1. f (x)是13f (x) x 2x 1的导函数，则 f ( 1) 的值是 。3考点二：导数的几何意义。例 2. 已 知
11、 函 数 y f ( x) 的 图 象在 点 M (1，f (1) 处 的切 线方程 是1y x 2 ， 则2f (1) f (1) 。例 3.曲线3 2 2 4 2y x x x 在点 (1， 3) 处的切线方程是 。点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。3 2例 4.已知曲线 C： y x 3x 2x，直线 l : y kx ，且直线 l 与曲线 C 相切于点x0, y x0 0，求直线 l 的方程及切点坐标。0点评：本小题考查导数几何意义的应用。 解决此类问题时应注意 “切点既在曲线上又在切线上 ”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切
12、线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。3 x2 x例 5.已知 f x ax 3 1在 R 上是减函数，求 a的取值范点评： 本题考查导数在函数单调性中的应用。 对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。考点五：函数的极值。例 6. 设函数3 2f (x) 2x 3ax 3bx 8c在 x 1及 x 2 时取得极值。（1）求 a、b 的值；（2）若对于任意的 x 0，3 ，都有2f (x) c 成立，求 c 的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 f x 的极值步骤：求导数 f x ；求 f x 0的根； 将 f x 0的根在数轴上标出，得出单调区间，由 f x
13、 在各区间上取值的正负可确定并求出函数 f x 的极值。考点六：函数的最值。2 。求导数 f x ；（2）若 f 1 0，求 f x 例 7. 已知 a为实数， f x x 4 x a在区间 2,2 上的最大值和最小值。点评： 本题考查可导函数最值的求法。 求可导函数 f x 在区间 a,b 上的最值， 要先求出函数 f x 在区间 a,b 上的极值， 然后与 f a 和 f b 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8. 设函数3f (x) ax bx c (a 0) 为奇函数，其图象在点 (1, f (1)处的切线与直线x 6y 7 0 垂直，导函数 f ( x) 的最小值为 12 。（1）求 a ，b ， c的值；（2）求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数 f ( x) 在 1,3 上的最大值和最小值点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。
