1、第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用一、反常积分一、反常积分)()(lim)(lim)(aFtFdxxfdxxfttata 00)()()(dxxfdxxfdxxf1、无穷限反常积分、无穷限反常积分)()(lim)(lim)(tFbFdxxfdxxftbttb 14.5xdx分析分析dxxxdxtt 1414lim)11lim(313 tt)131(lim13ttx .31)10(31 babtatdxxfdxxf)(lim)(若 为瑕点，ax batabtdxxfdxxf)(lim)(若 为瑕点，bx bcbacadxxfdxxfdxxf)()()(若 为瑕点，其中 ，cx bca 2
2、、无界函数的反常积分、无界函数的反常积分瑕点：如果瑕点：如果 在点在点 的任何邻域内都无界，则称的任何邻域内都无界，则称 为函数为函数 的瑕点。的瑕点。)(xf0 x0 x)(xf二、定积分的应用二、定积分的应用 1、平面图形的面积、平面图形的面积例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx xyoabxyoab)(xfy 特别,当考虑连续曲线段2)
3、(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy 2、空间立体的体积、空间立体的体积xxAVbad)(课后作业：课后作业：161页页1（1）、（）、（2）、（）、（7）172页页1（1），），6一阶常微分方程一阶常微分方程1、可分离变量方程、可分离变量方程变量分离xxfyygd)(d)(形如的方程叫做可分离变量可分离变量方程方程.)()(ygxfdxdy解法:方程两端同时取不定积分dyygdxxf)()(计算这两个不定积分。第六章第六章 常微分方程常微分方程2
4、、齐次微分方程、齐次微分方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程.令,xyu,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxyCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(通解：关键关键:辨别方程类型,掌握求解步骤三、1、。xdxyydy sin1cos xdxyydysin1cos xdxyydsin1)1(sinCxy 2)sin1ln(解分离变量得，
5、两边同时积分，即所以通解为xyyysin1cos .sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1课后作业：课后作业：185页页1（1）、（）、（3）186页页4（1）、（）、（4）设1.向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(,),(,),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba第七章第七章 空间解析几何空间解析几何向
6、量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba2.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc0212121CCBBAA212121CCBBAA平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn,0:22222DzCyBxA),(2222CBAn,0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 3.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pz
7、znyymxx000)0(222pnm,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss 4、常用的空间曲面、常用的空间曲面柱面：柱面：0),(yxF0),(,zyG.0),(,xzH球面：球面：2202020)()()(Rzzyyxx椭球面：椭球面：),(1222222为正数cbaczbyax椭圆抛物面：椭圆抛物面：zbyax 2222锥面：锥面：),(22222为正数
8、bazbyax第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学一、多元函数的定义、极限及连续性一、多元函数的定义、极限及连续性二、多元函数偏导数的概念与计算（本质：一元函二、多元函数偏导数的概念与计算（本质：一元函数的导数）数的导数）三、全微分的概念与计算三、全微分的概念与计算dyyzdxxzdz 四、多元复合函数求导法（画出各变量间的函数关系四、多元复合函数求导法（画出各变量间的函数关系结构图，看图写公式）结构图，看图写公式）五、二元隐函数求导法五、二元隐函数求导法,0),(),(确确定定的的隐隐函函数数是是由由方方程程设设 zyxFyxzzzyzxFFyzFFxz ,zuvyx),(),(),(
9、yxvyxuvufz 如如xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 则则六、二元函数极值的概念及其求法六、二元函数极值的概念及其求法1 1、解方程组、解方程组 0),(0),(yxfyxfyx2 2、).,(),(00yxyxf的的所所有有驻驻点点得得),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 设设值值大大为为极极小小且且)(),(),0(0,0)1(002yxfAABAC 。可可能能是是也也可可能能不不是是极极值值),(,0)3(002yxfBAC 不不是是极极值值),(,0)2(002yxfBAC 八、条件极值八、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法1 1、构造拉
10、格朗日函数、构造拉格朗日函数)(),(),(),(为为参参数数 yxyxfyxL :)(0),(),(值值最最下下的的极极在在约约束束条条件件求求目目标标函函数数 yxyxfz 2 2、求驻点，即解方程组、求驻点，即解方程组 0),(0),(),(0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx 该点是否为真的条件极值点，往往据问题性质可判断。该点是否为真的条件极值点，往往据问题性质可判断。满足该方程组的点满足该方程组的点),(yx就是可能的条件极值点。至于就是可能的条件极值点。至于一、填空题一、填空题3ln3,31xyxyyxzz 则则、设设分析：分析：则则设设,3xyuzu .3l
11、n33ln3xyuyyxududzxz 503)3,1(1),(222 yfyxyxf，则，则、设、设分析：分析：，222222)(22)(),(yxyyyxyxfy .5031006|)(2)3,1(31222 yxyyxyf,13的的函函数数是是确确定定、方方程程式式yxzzxyzxy yxzyxz 则则分析：分析：则则设设,1),(zxyzxyzyxFxyFzyFzx ,.yxzyFFxzzx 于于是是xxxeeyxzeyzcossin42 ，则则、分析：分析：，xxeeyxz cos.cos)cos(2xxxxeeeeyyyxz dydxdzyxz3131)1ln(215)1,1(22
12、 ，则则、分析：分析：，222211221yxxyxxxz ，222211221yxyyxyyz dyyzdxxzdz)1,1()1,1()1,1(|dyyxydxyxx)1,1(22)1,1(22|1|1 .3131dydx ,2),(6223dyyaxdxxydzyxfz 的全微分的全微分、设函数、设函数3 a则则常常数数分析：分析：知知由由dyyaxdxxydz2232 ,),(,2),(223yaxyxfxyyxfyx ,),(32yxyxfz .33),(22 ayxyxfy于于是是二、选择题二、选择题)B()0,0(),(,0,00,),(1222222处处在在点点则则、设设yxf
13、yxyxyxxyyxf ；连连续续，但但偏偏导导数数不不存存在在)A(；不不连连续续，但但偏偏导导数数存存在在)B(连连续续，且且偏偏导导数数存存在在；)C(.)D(在在不不连连续续，且且偏偏导导数数不不存存分析：分析：处处的的连连续续性性，在在点点先先考考察察)0,0(),(yxf时时，趋趋于于点点沿沿直直线线当当点点)0,0(),(xyyx,21limlim),(lim222,0220,00,0 xxxyxxyyxfxyxyxyx时时，趋趋于于点点沿沿直直线线当当点点)0,0(2),(xyyx 22220,00,00,222lim(,)limlim,(2)5xyxyxyxxyxxf x y
14、xyxx 处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在，在在点点再再考考察察)0,0(),(yxf,000lim)0,0()0,0(lim)0,0(00 xxfxffxxx.)0,0(),(处处的的偏偏导导数数存存在在在在点点所所以以yxf,000lim)0,0()0,0(lim)0,0(00 yyfyffxyy.)0,0(),(该该点点处处不不连连续续处处极极限限不不存存在在，故故其其在在在在点点所所以以yxf)D(),2ln(2)0,0(22 xzeezyx则则、设设；1)A(；1)B(；2)C(.2)D(分析：分析：,22yxxeeexz ,)2(2)2(22)2(22222yxyxyxxxyx
15、xeeeeeeeeeeexz .2|)2(2|)0,0(2)0,0(22 yxyxeeeexz)C(,0),(.3 xzyxzxzzyyxF则则的的函函数数是是确确定定设设方方程程；3221)A(FFFF ；3212)B(FFFF ；3231)C(FFFF .)(3213FFFFD 分析：分析：则则设设,0),(xzwzyvyxuwvuF ,31FFxwwFxuuFFx ,32FFzwwFzvvFFz .3231FFFFFFxzzx 于于是是)D(4 dzyxyxz的的全全微微分分、函函数数；2)()(2)A(yxydyxdx ；2)()(2)B(yxxdxydy ；2)()(2)C(yxxd
16、yydx .)()(2)D(2yxydxxdy 分析：分析：,)(2)()()(22yxyyxyxyxxz ,)(2)()1)()(22yxxyxyxyxyz 222)()(2)(2)(2yxydxxdydyyxxdxyxydz 个个驻驻点点。有有、)B(42),(7232yyxyxyxf ；1)A(；2)B(；3)C(.4)(D分析：解方程组分析：解方程组 0832),(022),(2yyxyxfyxyxfyx.2,2,0,0）（）解解得得两两个个驻驻点点（。，原原点点、对对于于函函数数)A)(0,0(822yxz 是是驻驻点点但但不不是是极极值值点点；)A(是是极极大大值值点点；)C(不不
17、是是驻驻点点；)B(是是极极小小值值点点。)(D分析：分析：.0,002),(02),(）驻驻点点（由由 yyxfxyxfyx,2),(,0),(,2),(yxfyxfyxfyyxyxx又又,2)0,0(,0)0,0(,2)0,0(yyxyxxfCfBfA所所以以.)0,0(,042不不是是极极值值点点故故点点 BAC。，求求、设设yzxzyxxz )ln(122三三、解解答答题题)221(12222yxxyxxxz 解解222222221)1yxyxyxxyxx 22222222221yxxyxyyxyyxxyz 。及及，的的二二阶阶偏偏导导数数、求求22222arctan2yzyxzxzx
18、yz ，解解2222)()(11yxyxyxyxz 2221)(11yxxxxyyz 22222222)(2)(2yxxyyxxyxz 22222222)(2)(2yxxyyxyxyz 22222222222)()(2)(yxxyyxyyyxyxz 。求求的的函函数数是是确确定定、设设方方程程xzyxzzzyx ,043222，有有设设解解zzyxzyxF4),(222 .2422 zxzxFFxzzx故故,422 zFxFzx，。时时，当当证证明明、设设rzryrxrrzyxr20:,4222222222 ，证证rxzyxxxr 22222，同同理理3222322211rzrzrryryr
19、.233323222222222rrrrrzyxrzryrxr 所所以以，32222211rxrxrrxrrxrxrxr 。，求求具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导数数、设设yxzxzfxyxyfz 2,),(5221fxyyfxvvfxuufxz )1(1)1(22 21222 12 111fxxfxyfxfxxfyf ).(1 21 12 223 11221fffxyxyffxf 则则设设解解,),(xyvxyuvufz )(1)(222112212yfyfxyfyffxyyfyyxz 223 2122 12 1111fxyfxyfxfxyxyff 的的极极值值。、求求函函数数xyxyx
20、yxf933-),(62233 2031063),(0963),(22yyxxyyyxfxxyxfyx或或或或令令解解,66),(0),(66),(yyxfyxfxyxfyyxyxx，又又,012,072,)0,1(12 ABAC处处）在在点点;5)0,1(为为极极小小值值所所以以 f;)2,1(,072,)2,1(22不不是是极极值值所所以以处处）在在点点fBAC ;)0,3-(,072,)0,3-(32不不是是极极值值所所以以处处）在在点点fBAC ,012,072,)2,3-(42 ABAC处处）在在点点.31)2,3-(为为极极大大值值所所以以 f).2,3(),0,3(),2,1()
21、0,1(，得驻点得驻点怎怎样样选选取取的的无无盖盖长长方方体体水水箱箱，问问、要要做做一一个个容容积积为为38Vm用用料料最最省省。长长、宽宽、高高，才才能能使使得得，水水箱箱的的，由由设设长长、宽宽、高高为为解解xyVzvxyzzyx ,，表表面面积积)11(2)(2),(yxVxyyzxzxyyxSS .0,0|),(),(内内的的最最小小值值点点在在问问题题为为求求 yxyxDyxS即即为为由由问问题题实实际际意意义义知知该该点点内内唯唯一一驻驻点点得得,23VyxD 所所求求的的最最小小值值点点，此此时时，令令022 xVySx022 yVxSy.422333VVVVZ 课后作业：课后
22、作业：31页页1（2）、（）、（5），），2（2）35页页1（1），（），（2）41页页4，6,8（1）10（3）53页页1（1），（），（2）1 1、二重积分的定义、二重积分的定义第九章第九章 重积分重积分 Ddyxfs s),(iiniifs sh hx x ),(lim10、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积积性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkfs ss s、二重积分的性质、二重积分的性质 Ddyxgyxfs s),(),(.),(),(DDdyxgdyxfs
23、ss s性质性质2对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxfs ss ss s)(21DDD 性质性质3s s若若 为为D的面积的面积.1 DDdds ss ss s性质性质4若在若在D上，上，),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxfs ss s特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxfs ss s设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值，s s为为 D 的面积，则的面积，则 DMdyxfms ss ss s),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）性质性质5 设函
24、数设函数),(yxf在闭区域在闭区域D上连续，上连续，s s为为D的面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点),(h hx x使得使得 s sh hx xs s ),(),(fdyxfD.性质性质6（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf s s X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿
25、过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf s s,:dycD ).()(21yxy Y型型.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下D二、典型例题二、典型例题例例1 1解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxDs sX-型型 xxDdyyxdxdyx1222122s s 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49.21,1:xxyxDxy
26、 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0，20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 课后作业：课后作业：69页页1（2），），3（1）、（）、（3），），4（1），（），（2）第十一章第十一章 级数级数一、常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念与性质1 1、概念、概念(
27、1)(1)定义定义 nnnuuuuu3211 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和(2)级数的收敛与发散级数的收敛与发散.,lim11 nnnnnnususs且且级级数数的的和和收收敛敛则则称称若若.,lim1发发散散则则称称不不存存在在若若 nnnnus2 2、性质、性质(1)(1)具具有有相相同同敛敛散散性性。与与)0(11 kkuunnnn(2)，则则、分分别别收收敛敛于于与与若若BAvunnnn 11收收敛敛。BAvuvunnnnnnn 111)(发发散散，收收敛敛，若若 11nnnnvu发发散散。则则)(1nnnvu (3)在级数中去掉、增加或改变前面有限项，不在级数中
28、去掉、增加或改变前面有限项，不改变级数的敛散性。改变级数的敛散性。(4)(4).0lim1 nnnnuu 收收敛敛01 nnnuu，二、正项级数二、正项级数.0lim1发发散散 nnnnuu.0lim1收收敛敛 nnnnuu定义定义1、比较判别法、比较判别法（1）1111nnnnnnnnnnvuuvvu发发散散发发散散收收敛敛收收敛敛注：注：(2)(2)11,0(limnnnnnnnvullvu与与则则为为确确定定常常数数）11011,1111,npnnnPPnPnqqaq时时发发散散时时收收敛敛，级级数数发发散散调调和和级级数数时时发发散散时时收收敛敛，等等比比级级数数比比较较级级数数 具有
29、相同敛散性具有相同敛散性2、比值判别法、比值判别法 11111,1,10limnnnnnnnnnuuuuu敛敛散散性性需需另另外外判判别别，发发散散收收敛敛 一般项一般项 中含阶乘或指数表达式中含阶乘或指数表达式 情形的适用。情形的适用。nuna3、根值判别法、根值判别法 1111,1,10limnnnnnnnnnuuuu敛敛散散性性需需另另外外判判别别，发发散散收收敛敛 一般项一般项 中含有某个表达式中含有某个表达式 次幂情形的适用。次幂情形的适用。nun莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件0lim)2(),2,1()1(1 nnnnunuu则级数收敛。则级
30、数收敛。三、任意项级数三、任意项级数1、交错级数、交错级数定义定义 nnnnnnuu 111)1()1(或或)0(nu其中其中2、绝对收敛与条件收敛、绝对收敛与条件收敛定定义义:若若 1nnu收收敛敛,则则称称 0nnu为为绝绝对对收收敛敛;若若 1nnu发发散散,而而 1nnu收收敛敛,则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛.)1(11收收敛敛必必收收敛敛，则则若若 nnnnuu（2）别别法法或或根根植植判判别别法法若若用用正正项项级级数数的的比比值值判判)3(.11也也发发散散发发散散，则则可可得得判判断断出出 nnnnuu四、幂级数四、幂级数1 1、函数项级数概念、函数项级数概念(1)(
31、1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域Ixxuxuxuxunnn ,)()()()(211部分和部分和 nkknnxuxuxuxuxs121)()()()()(,)(,100收收敛敛常常数数项项级级数数如如果果对对于于 nnxuIx则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点,否否则则称称为为发发散散点点.所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.函数项级数函数项级数)(1xunn 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域,2、幂级数及收敛域、幂级数及收敛域(1)(1)定义定义,0nnnxa 标准形式标准形式.其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.,)(00nnnxxa 一般形式一般形式.(2)(2)收敛半径与收敛域收敛半径与收敛域,00 nnnnaxa的的所所有有系系数数如如果果幂幂级级数数则则收收敛敛半半径径设设,lim1 nnnaa 0,0),(0,),(:0,1xRRR收收敛敛域域：收收敛敛域域：与与收收敛敛端端点点并并集集收收敛敛区区间间收收敛敛域域 课后作业：课后作业：120页页3（3）、（）、（4）130页页1（5），（），（6）,3（1），），4（1）、（）、（2）、（）、（3）135页页1（1、（、（3）、（）、（5）143页页1（1），（），（3）
