1、北京市第四中学2021-2022学年高一下学期期中数学卷（I）一选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 2. 的值为（ ）A. B. C. D. 3. 最小值是 A. -1B. C. D. 14. 在平面直角坐标系中，点，若向量，则实数（ ）A. 4B. 3C. 2D. 5. 已知单位向量，的夹角为，那么|2|（ ）A. B. C D. 6. 向量， 在边长为1正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ）A. 1.5B. 2C. -4.5D. -
2、37. 在中，则（ ）A. B. C. D. 或8. 已知，则的值为（ ）A B. C. D. 9. 将函数y=sin2x 的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是A. B. C. D. 10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（ ）A. B. 当，时，点到轴的距离的最大值为6C. 当，时，函数单调递减D. 当时，二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20
3、分）11. 的值是_.12. 已知，则_.13. 在中，若，则_.14. 已知是单位向量，且，设向量，当时，_；当时，的最小值为_.三解答题（本大题共3小题，共40分）15. 已知.（1）求值；（2）求的值.16. 已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，求的最大值与最小值.17. 在中，.（1）求的大小；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选报两个作为已知，使得存在，求的面积.条件：；条件：；条件：.卷（II）一选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）18. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C
4、. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 函数是奇函数，则等于（以下）（ ）A. B. C. D. 20. 已知函数，则（ ）A. B. 是函数的一个对称中心C. 任取方程的两个根，则是的整数倍D. 对于任意的，恒成立二填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）21. 在中，若，则的大小是_.22. 已知在同一平面上的3个单位向量，它们相互之间的夹角均为，且，则实数k的取值范围是_.23. 已知函数，给出下列四个结论：的最小正周期为；在区间上单调递减；的最大值为1；当时，取得最大值或最小值.以上正确结论的序号是_.（写出所有正确的序号）三解答题（本大题共2小题，共26分）24. 如
5、图，点P是以为直径圆O上动点，是点P关于的对称点，.（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；（2）求的最大值和最小值.25. 已知集合 .对于，给出如下定义：；A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.（1）当时，设，求；（2）若，且存在，使得，求证：；（3）记.若，且，求的最大值.高一数学卷（I）一选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【详解】，故选：B.2. 的值为（ ）A B. C. D. 【答案】C【详解】.故选：C3. 最小值是 A.
6、-1B. C. D. 1【答案】B【详解】试题分析：，当sin2x=-1即x=时，函数有最小值是，故选B4. 在平面直角坐标系中，点，若向量，则实数（ ）A. 4B. 3C. 2D. 【答案】D【详解】解：因为，所以、，又，所以，解得；故选：D5. 已知单位向量，的夹角为，那么|2|（ ）A. B. C. D. 【答案】B【详解】由题可知：所以故选：B6. 向量， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ）A. 1.5B. 2C. -4.5D. -3【答案】D【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，则，所以.故选：D7. 在中，则（ ）A. B. C. D.
7、或【答案】A【详解】由得，由正弦定理得，解得，又，故，.故选：A.8. 已知，则的值为（ ）A B. C. D. 【答案】C【详解】解：因为，所以，又，所以，所以，所以故选：C9. 将函数y=sin2x 的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是A. B. C. D. 【答案】B【详解】由题意知:平移后的函数解析式为=,选B.10. 水车在古代是进行灌溉引水工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误
8、的是（ ）A. B. 当，时，点到轴的距离的最大值为6C. 当，时，函数单调递减D. 当时，【答案】C【详解】对于选项A,由题意，点，代入可得，故选项正确；对于选项B，当，时，点到轴的距离的最大值为6，故选项B正确；对于选项C，当，时，函数不是单调递减，故选项C不正确；对于选项D，当时，纵坐标为6，故选项D正确.故选：C二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 的值是_.【答案】【详解】解：故答案为：12. 已知，则_.【答案】【详解】解：因为，所以；故答案为：13. 在中，若，则_.【答案】【详解】由余弦定理可得所以.故答案为：14. 已知是单位向量，且，设向量，当时，_；当时
9、，的最小值为_.【答案】 . . 【详解】当时，即，因为，所以；当时， 则，当时，的最小值为，故答案为：，.三解答题（本大题共3小题，共40分）15. 已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1） （2）【1】因为，所以，所以.【2】因为，所以.16. 已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，求的最大值与最小值.【答案】（1） . （2） （3）所以的最大值为，最小值为.【1】，=.【2】由,所以函数的单调增区间是【3】由，可得，从而，所以函数的值域为.所以的最大值为，最小值为.17. 在中，.（1）求的大小；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选报两个作为已知，使
10、得存在，求的面积.条件：；条件：；条件：.【答案】（1） （2）选，【1】由，根据余弦定理得，所以；【2】若选，由，可知，所以，不成立，所以不能选，只能选，由正弦定理可知，即，又，所以，所以.卷（II）一选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）18. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A考点：1二倍角公式；2充分条件和必要条件的判定19. 函数是奇函数，则等于（以下）（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
11、详解】根据题意， 若函数为奇函数，则有即 .故选：A20. 已知函数，则（ ）A. B. 是函数的一个对称中心C. 任取方程的两个根，则是的整数倍D. 对于任意的，恒成立【答案】D【详解】因为，所以，所以既不是最大值也不是最小值，所以直线不是其图象的对称轴，故A错误；因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，且，所以点是其对称中心，故B错误；任取方程得到的两个根，即为方程的任意两根，它们之间相差为的整数倍，且，所以它们彼此之间相差的是的整数倍，故C错误；当时，此时的最小值为，最大值为，所以对于任意的，恒成立，故D正确.故选：D.二填空题（本大题共3小题，每小题4
12、分，共12分）21. 在中，若，则的大小是_.【答案】【详解】由余弦定理可得整理得，即由，所以为等边三角形所以.故答案为：22. 已知在同一平面上的3个单位向量，它们相互之间的夹角均为，且，则实数k的取值范围是_.【答案】【详解】因为为单位向量，且相互之间的夹角均为所以，因为所以即，解得或即实数k的取值范围是.故答案为：23. 已知函数，给出下列四个结论：的最小正周期为；在区间上单调递减；的最大值为1；当时，取得最大值或最小值.以上正确结论的序号是_.（写出所有正确的序号）【答案】【详解】.所以周期.故正确；，所以不单调.故错误；.故正确；令，则，即时，取得最大值或最小值.故正确.故答案为：三
13、解答题（本大题共2小题，共26分）24. 如图，点P是以为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，.（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）3 （2）最小值，最大值2【1】以O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则因为点P是弧上靠近B的三等分点，不妨设点P在x轴上方，所以又，所以所以，则【2】设点，则则所以又因为点P在圆上，所以，代入可得当时，有最小值，当时，有最大值2.25. 已知集合 .对于，给出如下定义：；A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.（1）当时，设，求；（2）若，且存在，使得，求证：；（3）记.若，且，求的最大值.【答案】（1） （2）见解析 （3）26【1】解：由于，则故【2】解：设 使， 使得：， ，使得 ，其中 ， 与 同为非负数或同为负数， ，故得证；【3】解： 设 中有 项为非负数， 项为负数不妨设 时， 时，所以 ，整理得 又 即 对于 有 ，且 综上所得，的最大值为
