1、章复变函数的积分章复变函数的积分&3.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念&3.2 3.2 柯西柯西-古萨定理及其推广古萨定理及其推广&3.3.3 柯西积分公式及其推论柯西积分公式及其推论&3.4 3.4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分&1.有向曲线有向曲线&2.积分的定义积分的定义&3.积分性质积分性质&4.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1.有向曲线有向曲线0)()(,)()()()()(:22 tytxCtytxttyytxxC且且、设设 )1()()()(
2、)(:ttiytxtzC0)()(tztz连续且连续且.平平面面上上的的一一条条光光滑滑曲曲线线zC 光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲线线约约定定 C:).(因因而而可可求求长长左左边边。的的内内部部一一直直在在观观察察者者的的一一周周前前进进观观察察者者顺顺此此方方向向沿沿正正方方向向闭闭曲曲线线CC,:的方向规定的方向规定CCA(起点起点)B(终点终点)CC:A,B,AB,BA,;C 开开曲曲线线 指指定定起起点点终终点点若若为为正正则则为为负负 记记作作 2.积分的定义积分的定义BzzzAnABn ,:)3(10小小弧弧段段个个任任意意分分划划成成将将14()()kkkkkzzfz 作作
3、乘乘积积1111(5)(),maxnnkkkkkkkkkkk nSfzzzzSzzS 作作和和式式记记为为的的长长度度Dzzfw )()1(设设定义定义.)2(的一条光滑有向曲线的一条光滑有向曲线点点内点内点为区域为区域BADCDABxyo1 1z1 kzk kz1 nzkz 0()1lim()(2)nkknkfzI 若若如如何何取取无无论论如如何何分分割割iC,CdzzfBACzf)(,)()(记记作作的的积积分分从从沿沿曲曲线线为为则则称称)3()(lim)(.,.1 nkkknCzfdzzfei A CdzzfC)()1(记记作作若若闭闭曲曲线线 baCdttudzzftuzfbatC)
4、()(),()(,:)2(则则取取极极限限求求和和取取乘乘积积分分割割2212(),CCCa bbadzbazdz 特特例例：若若 表表示示连连接接点点的的任任一一曲曲线线 则则0,0,)2(CCzdzdzC则则表表示示闭闭曲曲线线若若关关。和和的的形形状状还还不不仅仅因因为为一一般般不不能能写写成成存存在在如如果果方方向向有有与与曲曲线线有有关关,与与 .,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3(12124)()()()nnCCCCCCCCf z dzf z dz 分分段段光光滑滑曲曲线线（对对路路径径的的 可可加加性性）.)()()()(,)5估估值值定定理理上上满满足足
5、在在函函数数的的长长度度为为设设 MLdszfdzzfMzfCzfLCCC 3.积分性质积分性质1)()()()CCf z dzf z dz 方方向向性性 CCdzzfkdzzkf)()()23)()()()()CCCf zg z dzf z dzg z dz （线线性性性性）由积分定义得：由积分定义得：证明证明2 ,(01)Cztit的的参参数数方方程程为为而而C之长为之长为2,根据估值不等式知根据估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例例21 d2,2 CzzCii 试试证证积积分分路路径径为为连连接接 到到点点的的直直线线段段.21 ,Cz因因为为在在上上连连续续 且且1212
6、ti2141tdCs22xyo2i2i4.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法()(,)(,),(),().Cf zu x yiv x yCf zCf z dz 若若在在光光滑滑曲曲线线上上连连续续 则则沿沿可可积积 即即存存在在定理定理3.1)4()(CCCudyvdxivdyudxdzzf且且.)(积积分分来来计计算算实实变变函函数数的的可可通通过过二二个个二二元元这这个个定定理理表表明明第第二二型型曲曲线线 CdzzfA Cidydxivu)(记记忆忆kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz ),(),(11 令令1111(,)(,)(,)(,)nn
7、kkkkkkkknnkkkkkkkkuxvyivxuy nkkkkknkkknyixivuzfS11)()(证明证明0.当当时时，均均是是实实函函数数的的曲曲线线积积分分!),(),(),(),(存存在在、CCCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxu都都故故上上连连续续在在上上连连续续在在CyxvyxuCzf),(),(,)(A(,)(,)(,)(,)CCu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy 1(),()cf zCf z dz 结结论论：当当是是连连续续函函数数是是光光滑滑曲曲线线时时，一一定定存存在在。2()cf z dz 结结论论：可可以以通通过过两两个个
8、二二元元实实函函数数的的线线积积分分来来计计算算。1limlim()(,)(,)(,)(,)nnkknnkCCCCSfzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy ()Cf z dz ()(),()()(),()()(),()()()()()Cf z dzu x t y t x tv x t y t y t dtiv x t y t x tu x t y t y t dt dttztzf)()(dttiytxtytxvitytxu)()()(),()(),(:)()()(:ttiytxtzzC设设光光滑滑曲曲线线由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得()()()Cfz
9、 dzf z tzt dt （3 3.6 6）用（用（3.6）式计算复变函数的积分）式计算复变函数的积分,是从积分路径的是从积分路径的参数方程着手参数方程着手,称为称为参数方程法参数方程法.例例3.1 解解 .43 :,d 的的直直线线段段从从原原点点到到点点计计算算iCzzC 直线方程为直线方程为,10,4,3 ttytx ,)43(,tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又又因因为为Aoxy ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关
10、无关,43 曲线曲线的的是怎样从原点连接到点是怎样从原点连接到点所以不论所以不论iC .2)43(d2izzC Aoxy.Cz dz练习：计算:Cii 的直线段；解:11zit t 线段的参数方程为,dzidtzitt10111011()22Cz dzt idtitdttdtii 例例4 解解.1 1 (3);1 (2);1 (1):,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()(titttz,d)
11、1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于于是是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i xyoi 11iy=x2xy (3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd,1R
12、e tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 积分路径不同积分路径不同,积分结果也可能不同积分结果也可能不同.例例3.2 解解,12zdzzz计算积分其中 为圆环及实轴积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为:21,I ztt zdzz12dtxyo2C1C1212III2:2(0),iCze1:(0),iCze从 到:12,II ztt Izdzz1Czdzz2CzdzzIIzdzz0diiieiee21dt022d2iiieiee.所围区域位于上半平面部分的边界112dt0diiieiee21dt022d2iiieiee30diie1302diie230diie2
13、0cos3id 0sin3id 2234.3例例3.3 解解.,d)(1 010为为整整数数径径的的正正向向圆圆周周为为半半为为中中心心为为以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 innerizxyor0z ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin;0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 .0,0,0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和
14、半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,d20 inneri Cnzzzd)(110例如 1zzdz,2 i1zzdz1zdz2例如 1zzdz练习1zzdz20diei020dei01zzdz ,2 i.,)(010为为整整数数为为半半径径的的正正向向圆圆周周为为中中心心表表示示以以这这里里计计算算nrzCzzdzCn 例例2 20:0 irezzC解解oxy irezz 0 z0zrC 00)sin(cos02202020ndninrinididerininn Cnzzdz10)(20)1(1derirenini 0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn.,0应应
15、记记住住以以后后经经常常用用到到,这这个个结结果果无无关关及及这这个个结结果果与与半半径径zrA 例题,811Cdzzz证明:12.Cz证明：CCdzzzdzzz1111Cdzz21122CzdzCdz28.oxyiz 101C2C3C)()2)13201见见图图的的值值计计算算CCCOzCCdzzC 例例310)1(:)11 ttizC解解12)1)(1010 tdtdtiittdzzC101:10:)232 titzCttzC 32CCCdzzdzzdzziiidtittdt 1)21(21)1(1010.1;,1,2121向向的的下下半半圆圆周周，逆逆时时针针方方是是单单位位圆圆顺顺时时
16、针针方方向向的的上上半半圆圆周周是是单单位位圆圆其其中中的的值值计计算算 zCzCdzzdzzCC.0,:)11 iezC解解:idtidieedzziiC 001.0,:)22 iezCidtidieedzziiC 002例例4分析分析3.1的积分例子的积分例子:21(),()()()BCCAf zzCf z dzf z dzf z dz 例例3.3.中中在在全全平平面面解解析析它它沿沿连连接接起起点点及及终终点点的的任任意意 的的积积分分值值相相同同，即即，与与路路径径无无关关，即即3.2 Cauchy-Goursat定理定理3 1.()Im,Im.Cf zzzdzC 例例中中在在复复平平
17、面面上上处处处处不不解解析析的的值值与与积积分分路路径径有有关关由此猜想由此猜想：复积分的值与路径无关：复积分的值与路径无关(或沿闭路的或沿闭路的积分值积分值0)的条件可能与被积函数的解析性及解的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关。析区域的单连通性有关。先将条件加强些，作初步的探讨先将条件加强些，作初步的探讨)(,)(内内连连续续在在且且内内处处处处解解析析在在单单连连通通设设DzfDivuzf 000013 320.,z zrdzizzzzzz 例例中中为为奇奇点点 即即不不解解析析的的点点但但在在除除去去的的非非单单连连通通区区域域内内处处处处解解析析。yxyxyxyxuv
18、vuRCDvvuuvu 方方程程并并满满足足都都是是连连续续的的内内在在以以及及它它们们的的偏偏导导数数和和,()cCCCDf z dzudxvdy ivdxudy 又又对对于于 闭闭曲曲线线，DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公公式式由由 cdzzf0)(yyxxiuvivuzf )(.)(,1900这这一一条条件件去去掉掉了了连连续续将将且且定定理理的的新新证证明明给给出出了了年年zfCauchyGoursat0)()(1825 cdzzfCDzfDCauchy的的积积分分内内沿沿任任一一条条闭闭曲曲线线在在处处处处解解析析的的内内单单连
19、连通通区区域域给给出出了了年年.,)(内内连连续续且且在在存存在在当当时时解解析析的的定定义义为为Dzf.1851简单证明简单证明定理的上述定理的上述给出了给出了年年CauchyRiemannCauchy 定理定理)(:,内内存存在在在在改改为为从从此此解解析析函函数数的的定定义义修修定定理理这这就就产产生生了了著著名名的的DzfGoursatCauchy 0(),().Cf zzDCDf z dz 设设在在 平平面面上上单单连连通通区区域域 内内解解析析为为 内内任任一一条条闭闭曲曲线线Cauchy-Goursat定理（定理定理（定理3.2）：）：1()D,(),.Cf zDCD 为为边边若
20、若的的界界在在上上解解析析 定定理理仍仍成成立立A DC也称也称Cauchy定理定理(2)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图。不必是简单的！如下图。DDC推论推论3.2 设设f(z)在单连通区域在单连通区域D内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0,z1D,积分积分c f(z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线的曲线C，即积分与路径无关即积分与路径无关。C 1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf见见上上图图z1z0C1C2C1C2z0z1典型例题典型例题例例1 1解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 ,1 321 内解析内解析在在函数
21、函数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有 1.0d321zzz思考题思考题应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?思考题答案思考题答案(1)注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用.)(,0d)(内处处解析内处处解析在在而说而说即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)(:内内在在圆圆环环域域反反例例 zzzf .11)(:2内内在在反反例例 zzzf放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.&(1).原函数与不定积分的概原函数与不定积分的概念念&(2).积分计算公式积分计算公式2 原函数与不定积分原函
22、数与不定积分 1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由推论由推论3.2知：设知：设f(z)在单连通区域在单连通区域D内解析，内解析，则对则对D中任意曲线中任意曲线C,积分积分c f(z)dz与路径无关，只与路径无关，只与起点和终点有关。与起点和终点有关。当起点固定在当起点固定在z0,终点终点z在在D内变动内变动,c f(z)dz在在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作01()()()zzF zfd 定理定理3.3 设设f(z)在单连通区域在单连通区域D内解析，则内解析，则F(z)在在D内解析，且内解析，且)()(zfzF 0()()zzF zf
23、d 上面定理表明上面定理表明 是是f(z)的一个的一个原函数。原函数。定义定义3.2 若函数若函数 (z)在区域在区域D内的导数等于内的导数等于f(z)，即，即 ,称称 (z)为为f(z)在在D内的原函数内的原函数.)()(zfz 设设H(z)与与G(z)是是f(z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，)(,)()(0)()()()()()(为为任任意意常常数数cczHzGzfzfzHzGzHzG 这表明：这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章练习题见第二章练习题8)8)czFdzzf)()(2.积分计算公式积分计算公式定义定义 设设F(z)是是
24、f(z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f(z)的不定积分，记作的不定积分，记作定理定理3.4 设设f(z)在单连通区域在单连通区域D内解析，内解析，F(z)是是f(z)的一个原函数，则的一个原函数，则101001()()()(,)zzf z dzF zF zzzD A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强小结小结 求积分的方法求积分的方法knkknczfdzzf 1)(lim)()1(udyvdxivdyudxdzzfc
25、)()2(dttztzfdzzfc)()()()3(40()(),()cf zDCDf z dz 若若解解析析单单连连通通则则11005()(),()(),()()zzzzf zDDf z dzF zFzf z 若若在在 内内解解析析单单连连通通 则则思考题思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有莱布尼兹公式有何异同何异同?思考题答案思考题答案两者的提法和结果是类似的两者的提法和结果是类似的.;,)(0都都是是复复数数因因而而且且积积分分路路线线是是曲曲线线为为单单连连域域中中的的解解析析
26、函函数数但但在在复复积积分分中中要要求求zzCzf.,)(都是实数都是实数数数上的连续实函上的连续实函为区间为区间在实积分中要求在实积分中要求babaxf两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大.例例1 计算下列积分：计算下列积分：;3,3,0Re,31)12iizzCdzzC终终点点为为起起点点为为为为半半圆圆周周：其其中中 解解1)32|1211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上上解解析析，在在32319312222222ideideiedzziiiC ：解解.,1arg1)2的的任任意意曲曲线线终终点点为为起起点点为为内内：为为单单连连通通区区域域其其中中zz
27、DCdzzC ).(ln1lnln11ln,1DzzzdzzzzDzC 故故的的一一个个原原函函数数，是是又又内内解解析析在在解解2)例例3 计算下列积分：计算下列积分：32|332izdzziiii 11111|11 nnnnnzndzz iiizzzzdzziicossin|cossinsin00 例例2 2.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz ,21 1 1 上上解解析析都都在在和和因因为为 izizz根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz 212121d121d121d
28、1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221.i 01200:,(),.niiCD C CCCCCC 其其中中是是在在的的内内部部的的简简单单闭闭曲曲线线 互互不不包包含含也也不不相相交交及及每每一一条条曲曲线线是是逆逆时时针针顺顺时时针针00121012,(),()()()()()inCnCCiDCCCCCf zDf z dzf z dzf z dz 设设 是是由由所所围围成成的的有有界界多多连连通通区区域域 在在 内内解解析析 则则或或定理定理3.5（复合闭路定理）：（复合闭路定理）：3 复合闭路定理复合闭路定理定理定理3.2的推广的推广012112233()()Cc
29、ccLLLLLLf z dzf z dz 证明证明0)()(HAFFEEAAAEAFEAGFdzzfdzzf012CCCC 设设Dc1c2L1L2L3AAEEFFGHidzzzzCC 2100 有有：内内的的正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在包包含含如如：对对任任意意0C说明说明00121(),:kkC CCCCCCC 三三者者之之间间的的关关系系002(),:,.kkCCCC 的的特特点点与与曲曲线线的的正正向向按按逆逆时时针针方方向向按按顺顺时时针针方方向向0120130()()()()()()kkCcccccccf z dzf z dzf z dzf z dzf z dz 01()()()
30、kcccf z dzf z dzf z dz A 1)()(ccdzzfdzzf此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它的积分值，只要在变的积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过的的f(z)的不解析点的不解析点.闭路变形原理闭路变形原理D CC1C1C1.1:1 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzz 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式原式)01,011(21 CCdzzdzz02211112 iidzzdz
31、zCC 解解 C1C21xyo例例3.7.1:12 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzzz 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原原式式)01,011(21 CCdzzdzziiidzzdzzCC 42211112 解解 C1C21xyo练习练习问题的提出 2.d11 ,zzz计计算算实实例例 ,1 2 在在内内的的闭闭曲曲线线是是包包含含因因为为 zz根据复合闭路定理即定理根据复合闭路定理即定理3.5可知可知,2.2d11 zizz 利用利用Cauchy-Goursat定理在多连通域上定理在多连通域上的推广的推广,即复合闭路定
32、理即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式析函数内部值的积分公式,该公式不仅提供了计算该公式不仅提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具。析函数的有力工具。内内 容容 简简 介介3.3 Cauchy积分公式及其推论积分公式及其推论0)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在则则的的一一条条闭闭曲曲线线内内围围绕绕是是内内解解析析在在单单连连通通设设 CdzzzzfzzzzfzDCDzDzfD
33、 100)()(CCdzzzzfdzzzzf的的内内部部曲曲线线在在内内部部的的任任意意包包含含由由复复合合闭闭路路定定理理得得CCz 10,分析分析DCz0C1)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可可充充分分小小 zzzC10(),()0,()()f zCf zf zf z 的的连连续续性性 在在上上的的函函数数值值当当时时.,这这就就是是下下面面的的定定理理这这个个猜猜想想是是对对的的DCz0C1猜想积分猜想积分特别取特别取定理定理3.6(Cauchy 积分公式积分公式)01)(),2),3)f zDCDDzC设设在在 内内处处处
34、处解解析析是是 内内任任意意一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线它它的的内内部部完完全全含含于于为为 内内任任意意一一点点001()()2Cf zf zdzizz 000000.()(),():lim2().CKKrKzzzrCf zf zdzdzKrzzzzf zdzif zzz 设设的的内内部部与与 的的半半径径 无无关关只只须须证证明明证明证明000:0,0,()2()Kzzrf zdzif zzz 即即要要证证当当时时 kkkdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf000001)()()(2)(00()()2KKf zf zdsdszzr 0000lim()()0,0()()zzf
35、zf zzzrf zf z 当当时时 kdzzzzfzf00)()()(2)(lim000zifdzzzzfKR Cdzzzzfizf00)(21)()DDD,f zCCCauchy 条条为为围围区区内内连连续续积积(1 1)若若定定理理件件改改在在所所域域解解析析,及及在在上上分分公公式式仍仍成成立立.A Cauchy(2 2)积积分分公公式式表表明明函函数数在在C C内内部部任任一一点点的的值值可可以以用用它它在在边边界界的的值值来来表表示示.即即若若f f(z z)在在区区域域边边界界上上的的值值一一经经确确定定,则则它它在在区区域域内内部部任任一一处处的的值值也也就就确确定定了了.例如
36、例如：若：若f(z)在曲线在曲线C上恒为常数上恒为常数K，则，则f（z）在曲线）在曲线C内部也恒为常数内部也恒为常数K。CidzzzzfizfzzC000)(21)(Re:)3(则则若若A 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值.200Re)Re(21dRiezfiiii 200)Re(21dzfi关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示,给出了解析函数的一个积分表达式给出了解析函数的一个积分表达式.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特
37、征)(2)公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法一种方法(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)Cauchy积分公式也可写成积分公式也可写成()d2()(),59(3.12)Cf zzif aaDPza,a D 但但若若则则()d0.Cf zzza 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求：0sinsin21)104 zzzdzzzi iiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解.1122线线在在内内的的任任意意简简单单正正向向曲曲为为包包含含求求 z
38、CdzzzzC例例2 21222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzzzzdzzzziizzizzzzC 4 212211210 积积分分公公式式由由例例3.9;211 (1):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 例例3.9;211 (2):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解 22d1
39、4sin)3(zzzz由复合闭路定理由复合闭路定理,得得例例3.9.2 (3):,d14sin 2 zCzzzC其其中中计计算算积积分分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 课堂练习课堂练习.d)1(32 zzzzze计计算算积积分分答案答案1,1,0 zzz有三个奇点有三个奇点).2(d)1(132 eeizzzezz内内 容容 简简 介介 研究解析函数的无穷次可导性，并导出高研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导
40、数，它的值也可仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。与实变函数有本质区别。2 解析函数的高阶导数公式解析函数的高阶导数公式问题的提出问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函其定义和求法是否与实变函数相同数相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示,这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析
41、函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?求求导导得得两两边边在在积积分分号号下下对对对对积积分分公公式式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)(Cdzzzzfizf300)()(2!2)(),2,1()()(2!)(100)(ndzzzzfinzfCnn 形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。以下将对这些公式的正确性加以证明。.,)(),2,1()()(2!)(,)(000)(1DzDzfCndzzzzfinzfnzfCnn 而而且且它它的的内内部部任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线的的内内围围绕绕的的解解析析区
42、区域域为为在在其其中中阶阶导导数数为为它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 定理定理3.7证明证明 用数学归纳法和导数定义。用数学归纳法和导数定义。zzfzzfzfDznz )()(lim)(.100000的的情情形形先先证证 Cdzzzzzfizzf 00)(21)(Cdzzzzfizf00)(21)(由由柯柯西西积积分分公公式式 CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(21)()(21)()(000000 令为令为I CCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 CCdszzzzzzfzdzzzzzz
43、zzfI200200)(21)()(21 则则有有取取则则上上连连续续在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000 D 0zCd）（*)()(21)()(lim)(200000 Czdzzzzfizzfzzfzf 从从而而有有显显然然，的的长长度度）,0lim(03 ICLdMLzIz .2)()(的情形的情形的方法可证的方法可证式及推导式及推导再利用再利用 n Czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)()(lim)(依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得
44、Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)()(),.f zzDf zDD定定理理表表明明在在 平平面面上上 内内解解析析在在 内内具具有有各各阶阶导导数数 即即在在 内内解解析析就就有有无无穷穷次次可可导导一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn 可可计计算算积积分分用用途途5:1cos(1)CCzrzdzz 求求下下列列积积分分值值例例145154215 12412()coscos(cos)()!()!zCzzidzzzii 在在全全平平面面处处处处解解析析（）解解的的内内部部不不相相交交且且在在取取处处
45、不不解解析析在在CCCizCizCizzez21221122,:.)1()2 21222222)1()1()1(CzCzCzdzzedzzedzze 212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeiizei 22)()!12(2)()!12(2 )41sin(2)1sin1(cos)1(2)(1(22 iiieeiii CnzdzzerzC,1:,)3 求求下下列列积积分分值值 423)1(cos,)4zdzzzz 求求下下列列积积分分值值i )12()!1(2,1;2,1 ninin 原原式式原原式式例例2 2.dcos)2(;d)1(1(1)12243
46、zzzzzzezzz求求积积分分解解 ,1 )1(3在在复复平平面面内内解解析析函函数数 z ,2 10内内在在 zz,3 n 243d)1(1zzzz131!32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式 12dcos)2(zzzzze ,cos 在在复复平平面面内内解解析析函函数数zez ,1 00内内在在 zz,1 n 12dcoszzzzze0)cos(!12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 课堂练习课堂练习 CzzzzzzgzC.d)()(,302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案答案;0)(,
47、00 zgCz外外在在 .)16(2)(,2000izzgCz 内内在在例例3 3解解.31)2(;23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其其中中求求积积分分 ,0 2 )2(1 32 zzzz和和有有两两个个奇奇点点函函数数,23)1(z 2,z仅仅包包含含奇奇点点,1)(3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231!12 zzi;83 i 31)2(z ,0 2 内内都都含含在在和和两两个个奇奇点点Czz 2,0 21和和分分别别包包含含和和作作简简单单闭闭曲曲线线CC ,21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式根据
48、复合闭路定理和高阶导数公式,Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021!12)2(1!22 zzzizi8383ii .0.8 ()(,)(,)f zu x yiv x yD 定定理理3 3函函数数在在区区域域 内内解解析析的的充充要要条条件件是是3 刻划解析函数的第二个等价定理刻划解析函数的第二个等价定理1,xyxyuuvvD、偏偏导导数数在在区区域域 内内连连续续;2-(,)(,)u x yv x yD、和和在在区区域域 内内满满足足柯柯西西 黎黎曼曼方方程程.证明证明充分性充分性为为P28定理
49、定理2.8必要性必要性 条件条件2的必要性已由的必要性已由P26定理定理2.7得出得出,由解析函数的无穷可微性由解析函数的无穷可微性,()fzD必必在在 内内连连续续,xyxyuuvvD从从而而必必在在区区域域 内内连连续续.例例5 5.)(,0d)(,)(内解析内解析在在证明证明都有都有内任何一条简单闭曲线内任何一条简单闭曲线且对于且对于内连续内连续在单连通域在单连通域设函数设函数BzfzzfCBBzfC (Morera定理定理)证证 ,0内内任任意意一一点点为为内内取取定定一一点点在在BzzB依题意可知依题意可知 ,d)(00的的路路线线无无关关和和的的值值与与连连接接zzfzz ,d)(
50、)(0 zzfzF 定义了一个单值函数定义了一个单值函数参照本章第四节定理二参照本章第四节定理二,可证明可证明),()(zfzF ,)(内一个解析函数内一个解析函数是是所以所以BzF因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数,.)(为解析函数为解析函数故故zf 在在3.33.3我们证明了在我们证明了在D内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。的关系。调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题调和函数在流体
