1、复习小结复习小结主要内容主要内容1.1.多元函数的极限、连续、偏导数、可微的概念，多元函数的极限、连续、偏导数、可微的概念，方向导数、梯度、等值面方向导数、梯度、等值面(线线)、极值、驻点的概念。、极值、驻点的概念。2.对对多多元元函函数数有有可可微微连连续续有有极极限限可可偏偏导导偏偏导导数数连连续续3.3.求偏导数求偏导数(复合函数、隐函数得一阶、二阶偏导数。复合函数、隐函数得一阶、二阶偏导数。4.4.求极值与条件极值求极值与条件极值(包括实际问题的应用包括实际问题的应用)。5.5.应用应用(梯度、方向导数、等值面梯度、方向导数、等值面(线线)、切平面、切平面、法法 线、切线、法平面线、切
2、线、法平面)。典型例题典型例题例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限)0(,sin,cos yx令令.0)0,0(),(等价于等价于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 .0)(lim2200 yxxxyyx故故 =2+()=2222()()(0 0)3()()0()()zf xyfxyfxyoxy 例例 设设，满满足足：，其其中中。()()(0 0)f xy1 1 问问，在在，点点是是否否连连续续？(3)()(0 0)f xy问问，在在，点点是是否否可可微微？()=(0 0)2(0 0)3xyff2 2 问问，是是否否
3、成成立立？例例3 322222222sin()0(,)00(1)(,)(0,0)(2)(0,0)(0,0)(3)(,)(0,0).xyxyxyxyf x yxyxyf x yfff x y 设设问问在在处处是是否否连连续续？是是否否存存在在？在在是是否否可可微微例例4 4解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxy
4、fyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例4 4解解.,0),(,sin,0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设设 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显然显然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例5 5解解.,0,0,.0),(,0),(),()(dxduzh
5、ygzxhzyxgyxfuxu试求试求且且所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 的的函函数数都都看看成成是是以以及及将将方方程程组组的的变变元元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(.0)2(,0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例7 7解解.2261,022,),(22 zyx
6、ddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令221(22)20,(1)31(22)20,(2)31(22)(2)0,(3)3,(4)xyzFxyzxFxyzyFxyzzxy .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点
7、，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(+=(2)22222(sin),().xxfCzf eyzzezxyf u例例8 8 设设,满满足足方方程程：求求12()uuf uc ec e 答答案案：解解2220002220(,),?xyzuM xyzMabcra b c求求在在点点处处沿沿点点的的向向径径的的方方向向导导数数，问问具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模例例6 6 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 处的方向导数为处的
8、方向导数为在点在点 M coscoscos0MMMMzuyuxuru 002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处的梯度为处的梯度为在点在点 MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgraduM ,时时当当cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba
