1、 3.1.1两角差的余弦公式两角差的余弦公式 说课设计说课设计 山西省吕梁市柳林联盛中学山西省吕梁市柳林联盛中学 贺旭峰贺旭峰普通高中课程标准实验教科书（人教普通高中课程标准实验教科书（人教A版）版）数学数学必修必修4教材分析教材分析 三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材两角差的余弦公式是要素材两角差的余弦公式是三角恒等变换三角恒等变换这一章的基础和出发点，这一章的基础和出发点，公式
2、的发现和证明是本节课的重点，也是难点公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点 由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基的基 础上，通过角的变换得到另一个公式我们可以用础上，通过角的变换得到另一个公式我们可以用“随机、自然进随机、自然进入入”的方式选择其中的一个作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为的方式选择其中的一个作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解
3、决相关问题的意识和能力掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力 教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究更加两步进行探究，并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展真实，也有利于学生学会探究、思维发展 由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和途径与方法解决问题，因此
4、本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，寻找解决问题的思路问题，寻找解决问题的思路 1 1、能够借助单位圆中的三角函数线，运用向量、能够借助单位圆中的三角函数线，运用向量 的方法推导两角差的余弦公式；的方法推导两角差的余弦公式；2 2、掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个、掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习题公式求解教材上的练习和习题 3 3、全体学生能理解、全体学生能理解“探求结果，证明结果探求结果，证明结果”这一这一常用的探究的
5、步骤；多数学生能在两角差余弦公式的常用的探究的步骤；多数学生能在两角差余弦公式的探究过程中体会以退求进、割补思想、分类讨论、探究过程中体会以退求进、割补思想、分类讨论、观察联想等数学思想方法和思维方法，能体会到数学观察联想等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性思维的合理性与条理性 4 4能理解怎样运用向量解决问题，充分认能理解怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值；课堂上能乐于思考识和感受向量的工具价值；课堂上能乐于思考和主动探究，并有愉悦的情感体验和主动探究，并有愉悦的情感体验教学目标教学目标本节的知识基础是：三角函数线、向量的数量积本节的知识基础是：三角函数
6、线、向量的数量积 1按常规，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样按常规，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样想到先研究两角差的余弦公式是一个难点想到先研究两角差的余弦公式是一个难点(但非重点但非重点)，教学时可以，教学时可以直接提出研究两角差的余弦公式，但这样探究会显得预设太少，而直接提出研究两角差的余弦公式，但这样探究会显得预设太少，而生成不足，也不够自然，不利于学生思维的发展生成不足，也不够自然，不利于学生思维的发展 2两角差的余弦公式的猜想也是一个难点因为学生可能不两角差的余弦公式的猜想也是一个难点因为学生可能不明白为什么要想到单位圆上的三角函数线，更不会想到添辅助线和明白为
7、什么要想到单位圆上的三角函数线，更不会想到添辅助线和如何添辅助线如何添辅助线.3尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到教师需要在引导学生余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到教师需要在引导学生仔细观察仔细观察 cos(-）=coscos+sinsin的构成要素和结构特征的的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理使数学思维显得自然、合理 4用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式
8、时，学生容易用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别与相应向量的夹角的联系与区别学情分析学情分析教学重点：教学重点：两角差的余弦公式的探两角差的余弦公式的探索与证明索与证明教学难点：教学难点：探索过程的组织和适当探索过程的组织和适当引导。这里不仅有学习积极性的问引导。这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。识和方法
9、的能力问题，等等。教学重点与难点教学重点与难点提出问题，引入课题提出问题，引入课题明确探索目标及途径明确探索目标及途径组织学生自主探索组织学生自主探索通过例题、练习，加强对公式的理通过例题、练习，加强对公式的理解解小结小结布置作业布置作业教学基本流程教学基本流程 两角差的余弦公式两角差的余弦公式问问题题探探究究如何用任意角如何用任意角与与 的正弦、的正弦、余弦来表示余弦来表示cos(-)cos(-)？思考：你认为会是思考：你认为会是cos(-)=cos-coscos(-)=cos-cos吗吗?c co os sb ba ab ba a其中其中00，2 21 12 21 1y yy yx xx
10、xb ba a11,yxa 22,yxb 两个向量的数量积两个向量的数量积温温故故知知新新-111-1-BAyxocossinOA ,cossinOB ,)cos(OBOAOBOA)cos(OBOAsinsincoscos cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin思考：以上推导是否有不严谨之处？思考：以上推导是否有不严谨之处？当当-是任意角时，由诱导公式总可以找到是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角一个角00，22），使，使cos=cos(-)cos=cos(-)若若00，则，则)cos(cosOBOA若若,2,2)，则，则2 2 -00，且，且OBO
11、Acos(2)=cos=cos(-)2)=cos=cos(-)其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式C-差角的余弦公式差角的余弦公式结结论论归归纳纳,对于任意角对于任意角cos()cos cossin sin-+注意：注意：1.公式的结构特点；公式的结构特点；2.2.对于对于,只要知道其正弦或余弦，就只要知道其正弦或余弦，就可以求出可以求出cos()公式的运用（例题教学）公式的运用（例题教学）本节例题的选择与安排，主要考虑了通过简单应用，本节例题的选择与安排，主要考虑了通过简单应用，使学生能逐步熟记公式，掌握公式的结构形式及
12、其功能。使学生能逐步熟记公式，掌握公式的结构形式及其功能。例例1是指定方法求是指定方法求cos15的值，这样可以使学生把的值，这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上。本例说明差角余弦公式注意力集中到使用公式求值上。本例说明差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形。也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形。实际上，由于公式对任意角实际上，由于公式对任意角，都成立，因此在使用公都成立，因此在使用公式时应当根据需要对角进行灵活表示。式时应当根据需要对角进行灵活表示。例例1、利用差角余弦公式求、利用差角余弦公式求cos15的值。的值。cos求（）例例2、已知、已知的值。
13、的值。45sin,(,),cos,5213是第三象限角，例例2也是运用差角公式的基础题。安排这个例题的主也是运用差角公式的基础题。安排这个例题的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯。教学中应当有意识地对学生的思维习惯好的思维习惯。教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等。明确使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等。还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过还要重视思维过程的
14、表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等。程表述的准确性、简洁性等。思考：如果去掉条思考：如果去掉条件件 ，对结果，对结果和求解过程会有什么和求解过程会有什么影响？影响？(,)2 在教学过程中，对例在教学过程中，对例2进行了适当的延伸，目的要求进行了适当的延伸，目的要求学生正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也对学生学生正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也对学生有了更高的要求。有了更高的要求。233sincos,2),324cos 31、已知，（，），(2求（）。目的是让学生巩固已学公式目的是让学生巩固已学公式练习的设计练习的设计coscos()0,2cos.1472、已知=，
15、=-，,1751求目的是让学生初步体会拆分的思想方法。目的是让学生初步体会拆分的思想方法。回顾小结回顾小结教学设计：由学生回顾本节的主要内容，再现学习过教学设计：由学生回顾本节的主要内容，再现学习过程，培养总结概括能力及良好的学习习惯。程，培养总结概括能力及良好的学习习惯。作业布置作业布置 1 1教材习题教材习题137137第第2 2，3 3，4 4题题 设计意图设计意图 进一步强化学生应用所学知识的能力进一步强化学生应用所学知识的能力 2 2试自主探究试自主探究sin(+sin(+)和和sin(-sin(-)公式，公式，并加以证明并加以证明 设计意图设计意图 进一步强化学生的探究意识、知识迁移能力进一步强化学生的探究意识、知识迁移能力和思维发展能力和思维发展能力 3 3(选做题选做题)课本课本P138P138页习题页习题B B组第组第4 4题题 设计意图设计意图 进一步提升学生触类旁通、举一反三的数学进一步提升学生触类旁通、举一反三的数学思想，会用所学到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生思想，会用所学到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展的思维发展谢谢 谢谢 大大 家！家！
