1、1.2.2 充要条件引入引入1 1 已知已知 p p：整数：整数a a是是6 6的倍数，的倍数，q q：整数：整数a a是是2 2和和3 3的倍数，的倍数，那么，那么，p p是是q q的什么条件？的什么条件？在上述问题中，在上述问题中，p p q q，所以，所以p p是是q q的充分条件，的充分条件，q q是是p p的的 必要条件必要条件.另一方面，另一方面，q q p p，所以，所以p p也是也是q q的必要条件，的必要条件，q q也是也是p p的的 充分条件充分条件.引入引入2 2 “在在ABC ABC 中，中，p:ABp:ABACAC，q:q:B B C”C”，那么，那么，p p是是q
2、q的什么条件？的什么条件？解解:p p q q，所以，所以p p是是q q的充分条件，的充分条件，q q是是p p的的必要条件必要条件.另一方面，另一方面，q q p p，所以，所以p p也是也是q q的的必要条件，必要条件，q q也是也是 p p的充分条件的充分条件.你发现了什么你发现了什么?1.1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？充分条件与必要条件的含义分别是什么？如果如果“p p q”，则称，则称p p是是q q的充分条件，的充分条件，且且q q是是p p的必要条件的必要条件.探究点探究点1 1 充要条件的含义充要条件的含义 2.2.对于两个语句，对于两个语句，p p可能是可能是q
3、q的充分条件，的充分条件，p p也也可能是可能是q q的必要条件，除此以外的必要条件，除此以外p p与与q q之间的逻辑关之间的逻辑关系还有哪些可能？系还有哪些可能？一般地，如果既有一般地，如果既有p p q q，又有，又有q q p p，就记作就记作 p p q q.此时，我们说，此时，我们说，p p是是q q的的充分必要条件充分必要条件，简称简称充要条件充要条件（sufficient and necessary sufficient and necessary conditioncondition）.概念！概念！显然，如果显然，如果p p是是q q的充要条件，的充要条件，那么那么q q也是
4、也是p p的充要条件的充要条件.概括地说，如果概括地说，如果p p q q，那么那么p p与与q q互为充要条件互为充要条件.判一判判一判判断判断p p是是q q的什么条件，并的什么条件，并填空：填空：（1 1）p p：x x 是整数是是整数是 q q：x x是有理数的是有理数的 ；（2 2）p p：acacbcbc是是 q q：a ab b的的 ；（3 3）p p：x x3 3 或或x x-3-3是是 q q：x x29 9 的的 ；（4 4）p p：同位角相等是同位角相等是 q q：两直线平行的两直线平行的 ；（5 5）p p：(x-2x-2)(x-3x-3)0 0 是是 q q：x-2x
5、-20 的的 充分不必要条件充分不必要条件 充要条件充要条件 充要条件充要条件 必要不充分条件必要不充分条件 必要不充分条件必要不充分条件 探究点探究点2 2 判断充分条件、必要条件的方法判断充分条件、必要条件的方法若若 ，且，且 ，则，则p p是是q q的充分不必要条件；的充分不必要条件；pqqp 若若 ，且，且 ，则，则p p是是q q的必要不充分条件；的必要不充分条件；pqpq 若若 ，且，且 ，则，则p p是是q q的充要条件；的充要条件；pqpq若若 ，且，且 ，则，则p p是是q q的既不充分也不必要的既不充分也不必要条件条件.pq qp【1 1】直接用定义判断直接用定义判断 例例
6、3 3 下列各题中，哪些下列各题中，哪些p p是是q q的充要条件的充要条件（1 1）p p：b b0 0，q q：f(xf(x)axax2 2bxbxc c是偶函数；是偶函数；（2 2）p p：x x0,y0,y0 0，q q：xyxy0 0；（3 3）p p：a ab b，q q：a ac cb bc c；（4 4）p p：两条直线平行；：两条直线平行；q q：两条直线的斜率相等：两条直线的斜率相等.充要条件充要条件充分不必要条件充分不必要条件充要条件充要条件必要不充分条件必要不充分条件例例4 4 已知已知O O 的半径为的半径为r r，圆心，圆心O O到到直线直线l的距离为的距离为d d
7、.求证求证 d=rd=r是直线是直线 l 与与O O 相切的充要条件相切的充要条件.lO如图所如图所示示dPQlO分析：分析：设：设：p p：d=rd=r，q q：直线：直线l与与 相切相切.要证要证p p是是q q的充要条件，只需分别的充要条件，只需分别 证明充分性（证明充分性（p qp q）和）和 必要性（必要性（q pq p）即可）即可.O证明：证明：如图所示如图所示.（1 1）充分性（）充分性（p qp q）：）：作作OPOPl于点于点P P则则OP=dOP=d，若，若d=rd=r，则点，则点P P在在O O 上，上，在直线在直线l上任取一点上任取一点Q(Q(异于点异于点P)P)，连接
8、，连接OQ.OQ.在在RtRtOPQOPQ中，中，OQOP=r.OQOP=r.所以，除点所以，除点P P外直线外直线l上的点都在上的点都在O O 的外部，的外部，即直线即直线l与与O O仅有仅有一个公共点一个公共点P.P.所以直线所以直线l与与O O 相切相切.PQlO（2）必要性）必要性（q p）:若直线若直线 l 与与 O 相切，不妨设切点相切，不妨设切点P，则则OP l.因此，因此，d=OP=r.PQlO如图所如图所示示A A2.2.一元二次方程一元二次方程axax2 2bxbxc c0(a0)0(a0)有一个正根和一个负根的充要条件是有一个正根和一个负根的充要条件是 ()()A Aab
9、ab0 0 B Babab0 0 C Cacac0 0 D Dacac0 0D D3.3.已知已知p,qp,q都是都是r r的必要不充分条件，的必要不充分条件，s s是是r r的充分不必要条件，的充分不必要条件，q q是是s s的充分不必要条件，的充分不必要条件，则（则（1 1）s s是是q q的什么条件？的什么条件？（2 2）r r是是q q的什么条件？的什么条件？（3 3）p p是是q q的什么条件？的什么条件？充要条件充要条件充要条件充要条件必要不充分条件必要不充分条件4.4.若若A A是是B B的必要而不充分条件，的必要而不充分条件，C C是是B B的充要的充要条件，条件，D D是是C
10、 C的充分而不必要条件，那么的充分而不必要条件，那么D D是是A A的的 .充分不必要条件充分不必要条件充要条件的概念充要条件的概念 ：既有既有p qp q，又有，又有q pq p，就记作就记作 p qp q.则则 p p 是是 q q 的充分必要条件，的充分必要条件，简称充要条件简称充要条件.形如形如“若若p p，则，则q q”的命题中存在以下四种关系的命题中存在以下四种关系 ：（1 1）p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件（2 2）p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件（3 3）p p是是q q的充分必要条件的充分必要条件（4 4）p p是是q q的既不充分又不必要条件的既不充分又不必要条件 在学习上不肯钻研的人是不会提出问题的；在事业上缺乏突破力的人是不会有所创新的.
