1、导入新课导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC13.1.2 线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称学练优八年级数学上（RJ）教学课件线段垂直平分线的性质一探究：已知线段探究：已知线段AB(1).画出画出AB的垂直平分线的垂直平分线l;(2).在在l上任意取点上任意取点P1，量一量，量一量P1到点到点A与点与点B的距离，它们有什么关系？的距离，它们有什么关系？(3).再在再在l上任取上任取P2、P3，量一量它们到，量一量它们到A、B的距离，你又有什么发现？的距离，你又有什么发现
2、？(4).你发现什么规律吗？你发现什么规律吗？讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质一ABlP1P2P3探究发现P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B猜想猜想：点点P1，P2，P3，到点到点A 与点与点B 的距离分别的距离分别相等相等 命题命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点端点的距离相等的距离相等.由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？你能验证这一结论吗？ABlP1P2P3已知：如图，直线已知：如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC=CB，点点P 在在l 上上求证：求证：PA=PB证明：lAB，PCA=PCB
3、又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PBPABlC验证结论线段垂直平分线上的点和这条线段两个线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点端点的的距离相等距离相等.线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质PABlCu应用格式：应用格式：点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 PA=PB.PA=PB.温馨提示：温馨提示：不用证三角形全等，不用证三角形全等，可以直接运用哟！可以直接运用哟！作用：证明线段相等作用：证明线段相等.例例1 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC20cm，DE垂直平分垂直平分AB，垂足为，垂足为E，交，交AC于于D，若，若DBC的周长为的周长为3
4、5cm，则，则BC的长为的长为()A5cmB10cmC15cmD17.5cm典例精析C解析：解析：DBC的周长为的周长为BCBDCD35cm，又，又DE垂直平分垂直平分AB，ADBD，故，故BCADCD35cm.ACADDC20cm，BC352015(cm).故选故选C.方法归纳：方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长之间的相互转化，从而求出未知线段的长例例1 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC20cm，DE垂直平分垂直平分AB，垂足为，垂足为E，交，交AC于于D，若，若DBC的周长为的周长为35cm，则，则BC的
5、长为的长为()练一练：练一练：1.如图如图所示，直线所示，直线CD是线段是线段AB的垂直平分的垂直平分线，点线，点P为直线为直线CD上的一点，且上的一点，且PA=5，则线段，则线段PB的长的长为（为（）A.6 B.5 C.4 D.32.如图所示，在如图所示，在ABC中，中，BC=8cm,边边AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交边，交边AC于点于点E,BCE的周长等于的周长等于18cm,则则AC的长的长是是 .B10cmPABCD图图ABCDE图图解：ADBC，BD=DC，AD 是是BC 的垂直平分线，的垂直平分线，AB=AC 点C 在AE 的垂直平分线上，AC=CE课本课本62页
6、练习页练习1 如图，如图，ADBC，BD=DC，点点C 在在AE 的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关的长度有什么关系？系？AB+BD与与DE 有什么关系？有什么关系？A B C D E 例例2 尺规作图：经过已知直线尺规作图：经过已知直线上上一点作这条直线的垂线一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB上上一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.例例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.ABCDEK已知：直线已知：直线AB和和AB外一点外一点C.求作：求作：AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.作法作法
7、：（1）任意取一点任意取一点K，使使点点K和和点点C在在AB的两旁的两旁.（2）以点以点C 为圆心，为圆心，CK长为半径作弧，长为半径作弧，交交AB于点于点D和点和点E.（4）作直线作直线CF.直线直线CF就是所求作的垂线就是所求作的垂线.（3）分别以点分别以点D和点和点E为圆心，大于为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点的长为半径作弧，两弧相交于点F.12FABCDEKF想一想：想一想：（1）为什么任意取一点）为什么任意取一点K，使点使点K与点与点C 在直线在直线两旁两旁？（2）为什么要以大于）为什么要以大于 的长的长为半径作弧？为半径作弧？12DE（3）为什么直线）为什么直线CF
8、就是所求作的垂线？就是所求作的垂线？例例3 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线的垂直平分线交于交于P.求证：求证：PA=PB=PC.BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上解析：证明：证明：点点P在线段在线段AB的垂直平分的垂直平分MN上，上，PA=PB.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.结论：结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？例例
9、3 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线的垂直平分线交于交于P.求证：求证：PA=PB=PC.证明：证明：点点P在线段在线段AB的垂直平分的垂直平分MN上，上，PA=PB.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？例例3 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线的垂直平分线交于交于P.求证：求证：PA=PB=PC.例例4 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，E为为CD的中点，连接的中点，连接AE、
10、BE，BEAE，延长，延长AE交交BC的的延长线于点延长线于点F.求证：求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.解析：解析：(1)根据根据ADBC可知可知ADCECF，再根据，再根据E是是CD的中点可得出的中点可得出ADEFCE，根据全等三角形的性，根据全等三角形的性质即可解答质即可解答(2)先根据线段垂直平分线的性质得出先根据线段垂直平分线的性质得出出出ABBF，再结合（，再结合（1）即可解答）即可解答证明：证明：(1)ADBC，ADCECF.E是是CD的中点，的中点，DEEC.又又AEDCEF，ADEFCE，FCAD例例4 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，E为为CD
11、的中点，连接的中点，连接AE、BE，BEAE，延长，延长AE交交BC的的延长线于点延长线于点F.求证：求证：(1)FCAD;证明：证明：(2)ADEFCE，AEEF，ADCF.BEAE，BE是线段是线段AF的垂直平分线，的垂直平分线，ABBFBCCF.ADCF，ABBCAD.例例4 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，E为为CD的中点，连接的中点，连接AE、BE，BEAE，延长，延长AE交交BC的的延长线于点延长线于点F.求证：求证：(1)FCAD;线段垂直平分线的判定二想一想：想一想：如果如果PA=PB,那么点那么点P是否在线段是否在线段AB的垂的垂直平分线上呢？直平分线上
12、呢？PAB合作探究已知：如图，已知：如图，PA=PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直的垂直平分线上平分线上证明：过点P 作PCBC，垂足为点C则PCA=PCB=90在RtPCA 和RtPCB 中，PA=PB，PC=PC，RtPCA RtPCB（HL）AC=BC又又 PCAB，点P 在线段AB 的垂直平分线上PABC已知：如图，已知：如图，PA=PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上方法总结：方法总结：1.做垂线证平分；做垂线证平分；证明：取证明：取ABAB的中的中点点C，连接连接PC则则AC=BCAC=BC在在PCA 和和PCB 中，中，PA=PB，
13、PC=PC，AC=AC PCA PCB（SSS）ACP=BCP又又 ACB=180，ACP=BCP=90ACP=BCP=90PABC已知：如图，已知：如图，PA=PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上方法总结：方法总结：1.作垂线证平分；作垂线证平分；2.取中点证垂直。取中点证垂直。点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 PCAB知识要点线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上u应用格式：应用格式：PA=PB，点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上PAB作用：
14、作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上判断一个点是否在线段的垂直平分线上.这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的吗？两端点的距离相等的吗？能找到多少个到线段能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？说明：说明：1.1.在线段在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线L L上的上的点与点与A,BA,B的距离都相等；的距离都相等；2.2.反过来与反过来与A，B 的距离相等的的距离相等的点都在直线点都在直线l上，上，.PABCl结论：结论：直线直线l 可以看成与可以看成与A、B两点两点 的距离相等的所有点的
15、的距离相等的所有点的集合集合.u应用格式：应用格式：AB=AC，MB=MC，直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线A B C D M 这是判断一条直这是判断一条直线是线段的垂直线是线段的垂直平分线的方法平分线的方法.线段垂直平分线判定方法总结：线段垂直平分线判定方法总结：1.作垂线证平分；作垂线证平分；2.取中点证垂直；取中点证垂直；3.证两点到两端点距离相等。证两点到两端点距离相等。例例5 已知：如图，点已知：如图，点E是是AOB的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为垂足分别为C,D，连接，连接CD.求证：求证：OE是是CD的垂直平分线的垂直平分线
16、.ABOEDC证明：OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE.OE是CD的垂直平分线.又又OE=OE，RtOEDRtOEC.DO=CO.导入新课导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC课堂小结课堂小结线段的垂直线段的垂直平分的性质平分的性质和判定和判定性 质性 质到线段的两个端点距离相等到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上的点在线段的垂直平分线上 内 容内 容判 定判 定内 容内 容作 用作 用线段的垂直平分线上的点到线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
17、离相等线段的两个端点的距离相等 作 用作 用见垂直平分线，得线段相等见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂判断一个点是否在线段的垂直平分线上直平分线上当堂练习当堂练习1.如图所示，如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）则下列说法正确的是（）AAB垂直平分垂直平分CD；B CD垂直平分垂直平分AB；CAB与与CD互相垂直平分；互相垂直平分；DCD平分平分 ACB A2.在锐角三角形在锐角三角形ABC内一点内一点P,，满足，满足PA=PB=PC,则点则点P是是ABC ()()A.三条角平分线的交点三条角平分线的交点B.三条中线的交点三条中线的交点C.三条高的交点三条高的
18、交点D.三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点D4.下列说法：下列说法：若点若点P、E是线段是线段AB的垂直平分线上两点，则的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若若PAPB，EAEB，则直线则直线PE垂直平分线段垂直平分线段AB；若若PAPB，则点则点P必是线段必是线段AB的垂直平分线上的点；的垂直平分线上的点；若若EAEB，则经过点，则经过点E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段AB其中正确的有其中正确的有 （填序号）（填序号）.3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.无数无数5.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=P
19、B=PC,则点P是ABC ()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点DEPABCDFPA=PB=PC6.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABCDE167.如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AD平分平分BAC，DEAB于点于点E，DFAC于点于点F，试说明，试说明AD与与EF的的关系关系解：AD垂直平分EF.AD平分BAC，DEAB，DFAC，EADFAD，AEDAFD=90.又ADAD，ADEADF，AEAF，DEDF.A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平
20、分线段EF.ABCDEF7.如图，在四边形如图，在四边形ADBC中，中，AB与与CD互相互相垂直平分，垂足为点垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点分别是点O到到CAD两边的垂线两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系段，试说明它们的大小有什么关系解析：解析：(1)由垂直平分线的性质可由垂直平分线的性质可得出相等的线段；得出相等的线段；(2)由条件可证明由条件可证明AOCAOD，可得可得AO平分平分DAC，根据角平分线，根据角平分线的性质可得的性质可得OEOF.拓展提升：拓展提升：解：(1)AB、CD互相垂直平分，OCOD，AOOB，且ACBCADBD；(2)OEOF，理由如下：在AOC和AOD中，AC=AD，AOAO，OCOD，AOCAOD(SSS)，CAODAO.又OEAC，OFAD，OEOF.
