1、知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线指数与指指数与指数函数函数数1.了解指数函数模型的实际了解指数函数模型的实际 背景背景.2.理解有理数指数幂的含理解有理数指数幂的含 义，了解实数指数幂的义，了解实数指数幂的 意义，掌握幂的运算意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理理解指数函数的概念，理 解指数函数的单调性，解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过掌握指数函数图象通过 的特殊点的特殊点.4.知道指数函数是一类重要知道指数函数是一类重要 的函数模型的函数模型.1.高考以客观题为主考高考以客观题为主考 查函数值的计查函数值的计 算、函数值的求法、算、函数值的求法、函数值的大小比较
2、等函数值的大小比较等.2.与函数性质、二次函与函数性质、二次函 数、方程、不等式等数、方程、不等式等 内容结合的综合题也内容结合的综合题也 时有出现时有出现.1.1.指数幂的概念指数幂的概念 (1)根式根式一般地一般地,如果如果 xn=a (aR,n1,且且nN*),那么那么x 叫做叫做 .式子式子 叫做叫做 ,这里这里n叫做叫做 ,a叫做叫做 .(2)根式的性质根式的性质naa的的n次方根次方根根式根式根指数根指数被开方数被开方数 当当n为奇数时为奇数时,正数的正数的n次方根是一个正数次方根是一个正数,负数的负数的n次方根是一个负数次方根是一个负数,这时这时,a的的n次方根用符号次方根用符号
3、 表示表示.当当n为偶数时为偶数时,正数的正数的n次方根有两个次方根有两个,它们互为相反数它们互为相反数,这时这时,正数的正正数的正的的n次方根用符号次方根用符号 表示表示,负的负的n 次方根用符号次方根用符号 表示表示.正负两正负两个个n次方根可以合写为次方根可以合写为 (a0).()n=.当当n为奇数时为奇数时,=;当当n为偶数时为偶数时,=|a|=负数没有偶次方根负数没有偶次方根.零的任何次方根都是零零的任何次方根都是零.nananananaa nnaa nnaa (a0)-a (a0,m,nN*,且且n1).正数的负分数指数幂是正数的负分数指数幂是 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等
4、于 ,0的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义.2)有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质:aras=(a0,r,sQ).(ar)s=(a0,r,sQ).(ab)r=(a0,b0,rQ).nma anma anmanma a1=(a0,m,nN*,且且n1).nma10s sr ra aarsrbr ra a3.指数函数的图象与性质a10a0时时,;当当x0时时,;当当x1 0y1 0y1 增函数增函数 减函数减函数 思考探究思考探究2如图是指数函数如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，如何的图象，如何确定底数确定底数a，b，c，d与与1之间的大小
5、关系之间的大小关系.提示：在图中作出直线提示：在图中作出直线x1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即的值，即cd1ab，所以无论在，所以无论在y轴的右侧还是左侧，底数按逆时针轴的右侧还是左侧，底数按逆时针方向依次变大方向依次变大.指数幂的化简与求值的原则及结果要求指数幂的化简与求值的原则及结果要求1.化简原则化简原则(1)化根式为分数指数幂；化根式为分数指数幂；(2)化小数为分数；化小数为分数；(3)注意运算的先后顺序注意运算的先后顺序.2.结果要求结果要求（1）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示
6、；（2）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指 数幂表示；数幂表示；（3）结果不能同时含有根号合分数指数幂，也不能既有）结果不能同时含有根号合分数指数幂，也不能既有 分母又有负指数幂分母又有负指数幂.考点一考点一 指数幂的运算指数幂的运算 求值或化简求值或化简:(4)已知已知a,b是方程是方程x2-6x+4=0的两根的两根,且且ab0,求求 的值的值.baba;)2 21 1(+4 48 8)3 3(;)2 2(;)()(1 1(3 33 33 32 23 32 23 31 13 34 43 31 15 53 38 83 33 32 27 7
7、3 31 14 43 31 11 14 41 13 32 2a aa ab ba aa ab ba ab ba aa aa aa aa aa az zy yx xz zy yx x332(1)指数幂运算性质的核心是指数幂运算性质的核心是“同底同底”.原式原式=(2)原式原式=(1)当化简的式子中既有根式又有分数指数时当化简的式子中既有根式又有分数指数时,要化为分数指要化为分数指数以便于运算数以便于运算,是根式的最后的结果再化为根式是根式的最后的结果再化为根式.(2)条件求值条件求值,可据已知条件直接代入求值可据已知条件直接代入求值,但较繁但较繁,也可考虑先将式子化也可考虑先将式子化简简(变形变
8、形)再求值再求值.x xz zz zy yx x)z zy y)(x xz zy y(x x2 2-1 1-1 14 41 13 32 2-1 14 41 1-1 14 41 13 32 2413131.a aa aa aa aa aa a2 21 1)2 25 53 34 4(2 21 16 67 72 21 13 31 15 52 21 1)3 38 8(-3 31 12 23 33 31 12 27 7(3)原式原式=a a.a aa aa aa ab ba aa aa ab b2 2a a4 4b b)4 4b bb b2 2a a)(a a2 2b b-(a aa aa aa a2
9、2b b-a aa ab b2 2a a4 4b b8 8b b)-(a aa a3 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 32 23 31 13 31 13 32 23 32 23 31 13 31 13 32 23 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 31 13 32 23 31 13 31 13 32 23 31 12(4)方法一方法一:a,b是方程是方程x2-6x+4=0的两根的两根,a+b=6 ab=4.ab0,b ba a 5 55 55 51 1b ba ab ba a,5 51 11 10 02
10、24 42 26 64 42 2-6 6 a ab b2 2b ba aa ab b2 2-b ba a)b ba ab ba a(2 2方法二方法二:a,b是方程是方程x2-6x+4=0的两根的两根,且且ab,而由而由x2-6x+4=0,得得x1=3+,x2=3-,a=3+,b=3-,555.55515246)53(535925353b b-a aa ab b2 2-b ba ab ba ab ba a 5(1)一般地一般地,进行指数幂运算时进行指数幂运算时,化负指数为正指数化负指数为正指数,化根式为化根式为分数指数幂分数指数幂,化小数为分数运算化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题同时
11、还要注意运算顺序问题.(2)对于计算结果对于计算结果,如果题目以根式形式给出如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示则结果用根式的形式表示;如果题目以分数指数幂形式给出如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示则结果用分数指数幂的形式表示.(3)结果不能同时含有根号和分数指数结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数也不能既有分母又含有负指数.(4)在条件求值问题中在条件求值问题中,一般先化简变形一般先化简变形,创造条件简化运算创造条件简化运算,而后再代而后再代入求值入求值.化简下列各式化简下列各式(其中各字母均为正数其中各字母均为正数):.)b b(4
12、4a a)b b(-3 3a ab ba a6 65 5(2 2);a ab bb ba a)b b(a a(1 1)2 21 13 3-3 32 2-1 12 21 12 2-3 31 16 65 53 31 12 21 12 21 1-1 13 32 2(1)原式原式=(2)原式原式=1 1;b ba ab ba ab ba ab ba a0 00 06 65 56 61 13 31 12 21 12 21 13 31 1653121612131ba2 23 32 23 32 21 12 23 33 31 13 36 61 12 21 13 33 32 23 36 61 14 4a ab
13、ba ab b5 5a ab b1 14 45 5b ba a4 45 5)b b(a ab ba a4 45 5)b b(4 4a ab ba a2 25 5已知函数已知函数（1）作出图象；）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出，当）由图象指出，当x取什么值时有最值取什么值时有最值.y y|2 2x x|)21(例例1：12xymxm-=-函 数的 图 像 与轴 有 交 点 时，的 范 围 为 变式：变式：11.2(0,1),_xyaaa-=+函 数的 图 象恒 过 一 定 点 则 该 点 的 坐 标 是2.(-,-2)例例2.函数函数f(x)=a-
14、2x的图象经过原点，则不等式的图象经过原点，则不等式f(x)的解集是的解集是 .由由f(x)的图象经过原点知的图象经过原点知a=1，所以所以f(x)=1-2x 2x xy2y1 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y3y2123121109,54D 幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底不同底先化成同底.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.又因为又因为y=2x在在R上是单调增函数，上是单调增函数，1.81.51.44,所以所以y1y3y2.1267.07.0,6练：练：4
15、.(1)若直线若直线y=2a与与y=|ax-1|(a0,且且a1)的图象有两的图象有两个公共点，则个公共点，则a ；(2)已知已知f(x)=(+)x，x0，若，若f(x)0在定义域在定义域内恒成立内恒成立,则则a的取的取 值范围为值范围为 .1211xa(0，)12(1,+)（1）数形结合法数形结合法.当当a1时，作图知无解；时，作图知无解；当当0a1时时,作图知作图知02a10a0 x(ax-1)0.当当x0时时,ax-10 axa0,又又x0,所以所以a1；当当x0时时,ax-10 axa0,又又x1.综上，综上，a的取值范围为的取值范围为(1,+).12(1)2(1)xxxaa 变式：变
16、式：函数函数y=的图象大致为（的图象大致为（）Axxxxeeee要使函数有意义，需使要使函数有意义，需使ex-e-x0，其定义域为，其定义域为x|x0,排除排除C、D.又因为又因为y=1+,所以当所以当x0时，函数为减函数，故选时，函数为减函数，故选A.xxxxeeee2211xxee221xe求下列函数的定义域、值域及其单调区间：求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=;（2）g(x)=-()x+4()x+5.【分析】【分析】(1)定义域是使函数有意义的定义域是使函数有意义的x的取值范围的取值范围,单调区间利用单调区间利用复合函数的单调性求解复合函数的单调性求解.(2)利用换元
17、法利用换元法,同时利用复合函数单调性判断方法进而求得值域同时利用复合函数单调性判断方法进而求得值域.4523xx4 41 121(1)依题意依题意x2-5x+40,解得解得x4或或x1,f(x)的定义域是的定义域是(-,14,+).令令u=,x(-,14,+),u0,即即 0,而而f(x)=30=1,函数函数f(x)的值域是的值域是1,+).u=,当当x(-,1时时,u是减函数是减函数;当当x4,+)时时,u是增函数是增函数.49252x4 45 5x x-x x2 24 45 5x x-x x2 24523xx49252x而而31,由复合函数的单调性可知由复合函数的单调性可知,f(x)=在在
18、(-,1上是减函数上是减函数,在在4,+)上是增函数上是增函数.故故f(x)的增区间是的增区间是4,+),减区间是减区间是(-,1.4523xx(2)g(x)=-()x+4()x+5=-()2x+4()x+5.函数的定义域为函数的定义域为R，令，令t=()x(t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是等号成立的条件是t=2,即即g(x)9,等号成立的条件是等号成立的条件是()x=2,即即x=-1,g(x)的值域是的值域是(-,9.412121212121由由g(t)=-(t-2)2+9(t0)，而，而t=()x是减函数，是减函
19、数，要求要求g(x)的增区间实际上是求的增区间实际上是求g(t)的减区间，的减区间，求求g(x)的减区间实际上是求的减区间实际上是求g(t)的增区间的增区间.g(t)在在(0,2上递增上递增,在在2,+)上递减上递减,由由0 x1,则则f(x2)-f(x1)当当x2x1时时,0.又又 0,0,故当故当x2x1时时,f(x2)-f(x1)0,即即f(x2)f(x1),f(x)是增函数是增函数.1102111011010101010222xxxxxxx)110)(110(10102)11021()11021(121212222222xxxxxx12221010 xx11012x11022x证法二证
20、法二:考虑复合函数的增减性考虑复合函数的增减性.f(x)=y1=10 x为增函数为增函数,y2=102x+1为增函数为增函数,y3=为减函数为减函数,y4=-为增函数为增函数,f(x)=为增函数为增函数.f(x)=在定义域内是增函数在定义域内是增函数.(3)令令y=f(x),由由y=,解得解得102x=,102x0,-1y1.即即f(x)的值域为的值域为(-1,1).11021101010102xxxxx11022x11022x110212xxxxx10101010 xxxx10101010yy11记住下列函数的增减性记住下列函数的增减性,对解对解(证证)题题是十分有用的是十分有用的:(1)若
21、若f(x)为增为增(减减)函数函数,则则-f(x)为减为减(增增)函数函数;(2)若若f(x)为增为增(减减)函数函数,则则f(x)+k 为增为增(减减)函数函数;(3)若若f(x),g(x)为增函数为增函数,则则 f(x)+g(x)为增函数为增函数.已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)有最小正周期有最小正周期2,且当且当x(0,1)时时,f(x)=.(1)求求f(x)在在-1,1上的解析式上的解析式;(2)证明证明:f(x)在在(0,1)上是减函数上是减函数.(1)当当x(-1,0)时时,-x(0,1).f(x)是奇函数是奇函数,f(x)=-f(-x)=由由f(0)=f(-0)
22、=-f(0),且且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得得f(0)=f(1)=f(-1)=0.142xx.142142xxxx ,x(0,1),x(-1,0)0,x-1,0,1.(2)证明证明:当当x(0,1)时时,f(x)=.设设0 x1x21,则则f(x1)-f(x2)=0 x1x20.-10,f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2),故故f(x)在在(0,1)上单调递减上单调递减.在区间在区间-1,1上上,有有f(x)=142xx142xx142xx.)14)(14()12)(22(1421422121122211xxxxxxxxxx22x22x212xx 自主体
23、验自主体验 若若x1,1时，时，22x1ax1恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围为的取值范围为 ()A.(，)B.(，)C.(2，)D.(，)解析：解析：由由22x1ax1(2x1)lg2(x1)lgaxlg lg(2a)0，设设f(x)xlg lg(2a)，由当，由当x1,1时，时，f(x)0恒成立，得恒成立，得 a 为所求的范围为所求的范围.答案：答案：A 1.单调性是指数函数的重要性质单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性特别是函数图象的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线 .当当0a1时时,x-,y0;当当a1时时,a的值的值 越大越大,图象越靠近图象越靠近y轴轴,递增的速度越快递增的速度越快;当当0a0,且且a1)的图象和性质受的图象和性质受a 的影响的影响,要分要分a1与与0a1来研究来研究.5.对可化为对可化为a2x+bax+c=0或或a2x+bax+c0(0)的指数方程或不等式的指数方程或不等式,常借助换元法解决常借助换元法解决,但应注意换元后但应注意换元后“新元新元”的范围的范围.v如果你很有天赋，勤勉会使天赋更加完善；如果你的才能平平，勤勉会补足缺陷。
