1、专题 竖直平面内的圆周运动第第5 5章章 曲线运动曲线运动2023年5月2日星期二1 竖直平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在竖直竖直平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在竖直平面内，平面内，物体所受的合外力除了具有与速度垂直的法向力物体所受的合外力除了具有与速度垂直的法向力(向向心力）心力）以外，还可能有与速度平行的切向力，这样，物体的速以外，还可能有与速度平行的切向力，这样，物体的速度不仅方向变化，大小也会变化，所以为变速圆周运动。在高度不仅方向变化，大小也会变化，所以为变速圆周运动。在高中阶段，通常只分析在最高点和最低点这两个特殊位置上的动中阶段，通常只分析在最高点和最低点这两个特
2、殊位置上的动力学问题，且常常需要考虑一些临界条件。力学问题，且常常需要考虑一些临界条件。常见的常见的模型模型有有 （最高点无支撑）、（最高点无支撑）、杆杆-球模型球模型（最高点有支撑）等。（最高点有支撑）等。2023年5月2日星期二2mgO绳绳mgO轨道轨道一、绳一、绳-球模型球模型:顶端无支撑顶端无支撑FTFN 如图所示，当小球在竖直平面内做变速圆周运动过最高点时，如图所示，当小球在竖直平面内做变速圆周运动过最高点时，绳或轨道对小球只能产生向下的弹力：绳或轨道对小球只能产生向下的弹力：受力分析如右图受力分析如右图：RvmFmg2当当F=0时：时：gRvRvmmg临界2 2、小球不能过最高点的
3、条件：小球不能过最高点的条件：（实际上球还没有到最高点（实际上球还没有到最高点时就脱离了轨道）时就脱离了轨道）。Rgv 1、小球能过最高点的条件：小球能过最高点的条件：（当（当 时，时，绳对球产生绳对球产生向下拉力，轨道对球产生向下的压力）。向下拉力，轨道对球产生向下的压力）。Rgv Rgv 此即小球过最高点时的最小速度此即小球过最高点时的最小速度2023年5月2日星期二3二、杆二、杆-球模型球模型:顶端有支撑顶端有支撑 如图所示，当小球在竖直平面内做变速圆周运动过最高点时，如图所示，当小球在竖直平面内做变速圆周运动过最高点时，杆或管道对小球既能产生向下的拉力，又能产生向上的推力。杆或管道对小
4、球既能产生向下的拉力，又能产生向上的推力。受力分析如右图所示受力分析如右图所示：RvmFmgN2当当FN=0时：时：gRvRvmmg临界21、小球能过最高点的临界条件：小球能过最高点的临界条件：v=0，FN=mg 4、当、当 时，时，FN随随v增大而增大，且增大而增大，且FN0，FN为向下的拉力。为向下的拉力。Rgv 2、当、当 时，时，FN随随v增大而减少，且增大而减少，且mgFN 0，FN为向上的推力。为向上的推力。Rgv 03、当、当 时，时，FN=0，杆对球既没有推力也没有拉力。，杆对球既没有推力也没有拉力。Rgv mgOFNmgOFN杆杆管道管道此即小球过最高点的最小速度此即小球过最
5、高点的最小速度2023年5月2日星期二4RvmFmgN2RvmFmgN2三、汽车过拱桥模型三、汽车过拱桥模型:顶端有支撑顶端有支撑 如图所示，如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，桥面对汽车只能产生向上的支持力，不能产生向下的拉力。桥面对汽车只能产生向上的支持力，不能产生向下的拉力。受力分析受力分析：RvmFmgN2当当FN=0时：时：gRvRvmmg临界21、汽车、汽车能过最高点的条件：能过最高点的条件：v0，0FNmg 4、当、当 时，汽车将沿拱桥顶端的切面飞出，做平抛运动。时，汽车将沿拱桥顶端的切面飞出，做平抛运动。Rgv 2、
6、当、当 时，时，FN随随v增大而减少，且增大而减少，且0FN mg，FN 向上。向上。Rgv 03、当、当 时，时，FN=0，这是汽车在拱桥顶端的临界速度。，这是汽车在拱桥顶端的临界速度。Rgv mgFN2023年5月2日星期二52023年5月2日星期二6 1、判定模判定模型：型：判断所给物理情景是绳判断所给物理情景是绳-球模型还是杆球模型还是杆-球球模型。模型。3、确定状态：确定状态：通常情况下，竖直平面内的圆周运动只分通常情况下，竖直平面内的圆周运动只分析最高点或最低点两个状态。析最高点或最低点两个状态。4、受力分析：受力分析：对物体在最高点（或最低点）时进行受力对物体在最高点（或最低点）
7、时进行受力分析，找出物体做圆周运动的向心力。分析，找出物体做圆周运动的向心力。5、列式求解：列式求解：根据相关定律、定理列方程求解，计算待根据相关定律、定理列方程求解，计算待求量，必要时做出解释说明。求量，必要时做出解释说明。2、定临界态：定临界态：对绳对绳-球模型来说是能否通过最高球模型来说是能否通过最高点的临界速度（最小速度），对杆点的临界速度（最小速度），对杆-球模型来说过最高点的临球模型来说过最高点的临界速度（最小速度）是界速度（最小速度）是0。而对于汽车过桥模型在最高点的。而对于汽车过桥模型在最高点的最大速度是最大速度是 。gRv gRv 【例题【例题1 1】：如图所示，半径为如图所
8、示，半径为R R的光滑半圆球固定在水平的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体面上，顶部有一小物体A A。今给它一个水平初速度。今给它一个水平初速度 ,则物体将（则物体将（）A A、沿球面下滑至、沿球面下滑至M M点点B B、立即离开半球面做平抛运动立即离开半球面做平抛运动C C、沿球面下滑至某一点沿球面下滑至某一点N N，便离开球面做斜下抛运动，便离开球面做斜下抛运动D D、以上说法都不正确、以上说法都不正确典例分析典例分析gRv0MmORv0N2023年5月2日星期二7 【例题【例题2 2】：】：绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量运
9、动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为，绳子长度为L=60cm，求：，求：（1）最高点水不流出的最小速度？）最高点水不流出的最小速度？（2）设水在最高点速度为）设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？，求水对桶底的压力？典例分析典例分析2023年5月2日星期二8解析：（解析：（1 1）当水恰好不流出时：）当水恰好不流出时：gLvmin解得：解得：smv/6min（2 2）水做圆周运动的向心力：）水做圆周运动的向心力：LvmFmgFNn2解得：解得：FN=2.5N由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小为由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小为2.5N，方向竖直向上。，方向竖直向上。mgFNLv
10、mmg2min【例题【例题3 3】：】：(多选）多选）如图所示，长为如图所示，长为l l的轻杆，一端的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点时球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点时的速度的速度v v，下列叙述正确的是，下列叙述正确的是：（）（）A Av v的最小值为的最小值为 B Bv v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C Cv v由由 值逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大值逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大D Dv v由由 值逐渐减小，杆对小球的弹力
11、也逐渐减小值逐渐减小，杆对小球的弹力也逐渐减小glglgl典例分析典例分析2023年5月2日星期二9 【例例4 4】如图所示，质量为如图所示，质量为m m0.5 kg0.5 kg的小球，用长为的小球，用长为L L0.4 m0.4 m的轻绳拴住的轻绳拴住在竖直平面内做圆周运动求：在竖直平面内做圆周运动求：(1)(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)(2)若轻绳能承受的最大张力为若轻绳能承受的最大张力为45 N45 N，求小球的速度不能超过多大？，求小球的速度不能超过多大？典例分析典例分析(1)(1)在最高点对小球受力分析如
12、图：在最高点对小球受力分析如图：mg（2）小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图所示：小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图所示：根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：mgmgF F mgLvm2 smgLv/2 RvmmgF2smmLmgFv/24)(【例例5 5】(多选多选)如图为过山车以及轨道简化模型，轨道半径为如图为过山车以及轨道简化模型，轨道半径为R，过山车过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人假人”，并系好安全带，安全带恰，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是()A.过山车在圆
13、轨道上做匀速圆周运动过山车在圆轨道上做匀速圆周运动 B过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于C过山车在圆轨道最低点时过山车在圆轨道最低点时“假人假人”处于失重状态处于失重状态D若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对“假人假人”一定一定无作用力无作用力典例分析典例分析gR【例例6 6】轻杆一端固定有质量为轻杆一端固定有质量为m1 kg的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的距离为的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的距离为50 cm，转轴固定在三角形的带电动机，转轴固定在三角形的带电动机(电动机
14、没画出来电动机没画出来)的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示若转轴达到某一恒定转速做匀速圆周运动，如图所示若转轴达到某一恒定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为时，在最高点，杆受到小球的压力为2 N，重力加速度重力加速度g取取10 m/s2，则，则()A.小球运动到最高点时，小球需要的向心力为小球运动到最高点时，小球需要的向心力为12 N B小球运动到最高点时，线速度小球运动到最高点时，线速度v1 m/sC小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8 ND把杆换成轻绳，同样转
15、速的情况下，小球仍能通过图示的最高点把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点典例分析典例分析2023年5月2日星期二13【例例7 7】如图甲所示，轻杆一端固定在如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为半径为R的圆周运动小的圆周运动小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速，小球在最高点的速度大小为度大小为v，其，其FN-v2图象如图乙所示则图象如图乙所示则()A小球的质量为小球的质量为 B当地的重力加速度大小为当地的重力加速度大小为Cv2c
16、时，在最高点杆对小球的弹力方向向上时，在最高点杆对小球的弹力方向向上 Dv22b 时，在最高点杆对小球的弹力大小为时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a典例分析典例分析baRbR 2、车过桥模型：车过桥模型：由于拱桥对车只能有由于拱桥对车只能有支持力支持力，没有，没有拉力拉力，故能在拱，故能在拱桥面运动的临界条件是在最高点时支持力为桥面运动的临界条件是在最高点时支持力为0，对应的，对应的的临界速度为的临界速度为 ，也即在最高点的最大速度。小于此速度可以安全通过桥面，等于或大于此也即在最高点的最大速度。小于此速度可以安全通过桥面，等于或大于此速度车将在最高点被水平抛出，离开拱形桥面做平抛运动。速度
17、车将在最高点被水平抛出，离开拱形桥面做平抛运动。2023年5月2日星期二14课堂小结课堂小结 1、绳绳球模型：球模型：由于绳对球只能有拉力，没有支持力，故恰好做完由于绳对球只能有拉力，没有支持力，故恰好做完整圆周运动的临界条件是在最高点时拉力为整圆周运动的临界条件是在最高点时拉力为0，对应的，对应的的临界速度为的临界速度为 ，也即在最高点的最小速度。小于此速度小球将不能通过最高点。也即在最高点的最小速度。小于此速度小球将不能通过最高点。gR 3、杆杆球模型：球模型：由于杆对球既能有拉力，也能有支持力，故恰好做由于杆对球既能有拉力，也能有支持力，故恰好做完整圆周运动的临界条件是在最高点时向心力为完整圆周运动的临界条件是在最高点时向心力为0，对应的的临界速度为，对应的的临界速度为 0，也即在最高点的最小速度。当小球在最高点的速度为，也即在最高点的最小速度。当小球在最高点的速度为 时，杆对小时，杆对小球的弹力为球的弹力为0,因此因此 是是最高点最高点杆对小球的弹力是推力还是拉力的杆对小球的弹力是推力还是拉力的临界条件，速度大于临界条件，速度大于 时为向下的拉力，速度小于时为向下的拉力，速度小于 时为向上推力。时为向上推力。gRgRgRv gRgR2023年5月2日星期二15谢谢聆听谢谢聆听!下课下课
