1、第二十六章第二十六章 解直角三角形解直角三角形26.1 26.1 锐角三角函数锐角三角函数第第1 1课时课时 正正 切切1课堂讲解课堂讲解u正切的定义正切的定义u正切的应用正切的应用u特殊角特殊角(30，45，60)的正切值的正切值2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升梯子是我们日常生活中常见的物体梯子是我们日常生活中常见的物体.在下图中，哪个梯子更陡？你是怎在下图中，哪个梯子更陡？你是怎 样判断的？样判断的？你有几种判断方法？你有几种判断方法？(2)在下图中，梯子在下图中，梯子AB和和EF哪个更陡？你是怎哪个更陡？你是怎 样判断的？样判断的？1知识点知识点正切
2、的定义正切的定义1.如图，在如图，在RtABC和和RtABC中，中，CC2.90.当当AA时，时，具有怎具有怎样样3.的关系的关系?知知1 1导导观察与思考观察与思考 BCB CACA C与与知知1 1导导2.如图，已知如图，已知EAF90，BCAF，BCAF，3.垂足分别为垂足分别为C，C.具有怎样的具有怎样的关系关系?BCB CACA C与与 正切的定义：如图，在正切的定义：如图，在RtABC中，如果锐角中，如果锐角A确定，确定，那么那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 A的正切，记作的正切，记作tan A，即，即tan A .知知1 1讲讲
3、AA的的对对边边的的邻邻边边例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90.(1)如图如图(1)，A30，求，求tan A，tan B的值的值.(2)如图如图(2)，A45，求，求tan A的值的值.知知1 1讲讲 知知1 1讲讲 (1)在在RtABC中，中，A30，B60，且，且 tan A tan 30 tan B tan 60解：解：1.2ac=22223.22cbcacc骣=-=-=桫133223accb，=313.22bcca=知知1 1讲讲 (2)在在RtABC中，中，A45，ab.tan A tan 45 1.ab=总总 结结知知1 1讲讲 直角三角形中求锐角正切值的方法：直角
4、三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利 用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义 求解求解1在在ABC中，中，AC5，BC4，AB3，那么下列，那么下列2 各式正确的是各式正确的是()3 Atan A Btan A4 Ctan B Dtan B知知1 1练练45435335 知知1 1练练24132 22在在RtABC中，中，C90，若斜边，若斜边AB是直角边是直角边BC的的3倍
5、，则倍，则tan B的值是的值是()3 A.B3 C.D4一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来5 的的2倍，那么它的两个锐角的正切值倍，那么它的两个锐角的正切值()6 A都没有变化都没有变化 7 B都扩大为原来的都扩大为原来的2倍倍8 C都缩小为原来的一半都缩小为原来的一半 9 D不能确定是否发生变化不能确定是否发生变化 2知识点知识点正切的应用正切的应用知知2 2讲讲议一议议一议在下图中，梯子的倾斜程度与在下图中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗有关系吗?知知2 2讲讲1.当梯子与地面所成的角为锐角当梯子与地面所成的角为锐角A时，时，tan
6、 A tan A的值越大，梯子越陡的值越大，梯子越陡 因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比 值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关,梯梯子子的的竖竖直直高高度度水水平平宽宽度度知知2 2讲讲例例2 在在RtABC中，中，C90，tanB ，BC ，则，则AC等于等于()A3 B4 C D6 322 34 3解：解：在在RtABC中，中，C90，B的对边为的对边为AC，邻边是邻边是BC，由正切
7、的定义知，由正切的定义知，tanBAC32ACBC，332 33.22BCA1(图，在网格中，小正方形的边长均为图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，点A，B，C都在格点上，则都在格点上，则ABC的正切值是的正切值是()2 A2 3 B.4 C.5 D.知知2 2练练 2 555512知知2 2练练 2在在RtABC中，中，CD为斜边为斜边AB上的高，且上的高，且CD3 2，BD8，则，则tan A的值是的值是()4 A2 B4 5 C.D.1214知知2 2练练 3 如图，在如图，在ABC中，中，BAC90，ABAC，点点D 为边为边AC的中点，的中点，DEBC于点于点E，连接，连接BD，
8、则则tan DBC的值为的值为()A.B.C D.1321 23 14知知3 3讲讲3知识点知识点特殊角（特殊角（3030，4545，6060）的正切值）的正切值130，45，60角的正切值如下表：角的正切值如下表：12304560tan 1角角三角函数值三角函数值三角函数三角函数333例例3 tan(x10)，则锐角，则锐角x的度数是的度数是()A20 B 30 C 35 D 50知知3 3讲讲D tan(x10)x1060，x50.故选故选D导引：导引：33，1如图，点如图，点O在在ABC内，且到三边的距离相等，内，且到三边的距离相等，若若BOC120，则，则tan A的值为的值为()2
9、A.3 B.4 C.5 D.知知3 3练练 33332222如图所示的是一个含有如图所示的是一个含有30角的直角三角板，其角的直角三角板，其中中AC30 cm，A30，C90，则，则BC边的长为边的长为()3 A30 cm B20 cm4 C10 cm D5 cm知知3 3练练 3333第二十六章第二十六章 解直角三角形解直角三角形26.1 26.1 锐角三角函数锐角三角函数第第2 2课时课时 正弦和余弦正弦和余弦1课堂讲解课堂讲解u正弦正弦 u余弦余弦 u锐角三角函数的取值范围锐角三角函数的取值范围u特殊角特殊角(30,45,60)的正弦、余弦值的正弦、余弦值2课时流程课时流程逐点逐点导讲练
10、导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 如图，当如图，当RtABC中的锐角中的锐角A确定时，确定时，A的对边与邻的对边与邻边边的比便随之确定的比便随之确定.此时，其他边此时，其他边 之间的比也确定吗？与同伴进之间的比也确定吗？与同伴进行交流行交流.1知识点知识点正弦正弦 正弦：如图，在正弦：如图，在RtABC中，中，C90，A的对的对 边与斜边的比叫做边与斜边的比叫做A的正弦，记作的正弦，记作sin A，即，即 sin A 知知1 1讲讲.ABCAB的的对对边边斜斜边边=问问 题题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上
11、修建一座扬水站，对坡面的着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角现测得斜坡的坡角(A)为为30，为使出水，为使出水口的高度为口的高度为35 m，需要准备多长的水管？，需要准备多长的水管？知知1 1导导知知1 1导导 这个问题可以归结为：在这个问题可以归结为：在RtABC中，中，C=90，A=30，BC=35 m，求求 AB(如图如图).根据根据“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的边等于角所对的边等于斜边的一半斜边的一半”，即，即可得可得AB=2BC=70(m).也就是说，需要准备也就是说，需要准备70 m长长的水管的水管.1=2ABC
12、AB 的的对对边边，斜斜边边知知1 1导导思考思考1:在上面的问题中在上面的问题中,如果出水口的高度为如果出水口的高度为50 m，那，那么需要准备多长的水管？么需要准备多长的水管？在上面求在上面求AB(所需水管的长度）的过程中，我所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于于30，那么无论这个直角三角形大小如何，这个，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于角的对边与斜边的比都等于1.2知知1 1导导思考思考2:如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使，使C=90，A=45，计算，计算A的对边与
13、斜边的比的对边与斜边的比 由此你能由此你能得出什么结论？得出什么结论？.BCAB知知1 1导导 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，因为，因为A=45，所以所以RtABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形.由勾股定理得由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2,AB=BC.因此因此即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，无论这时，无论这个直角三角形大小如何，个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都这个角的对边与斜边的比都等于等于12=222BCBCABBC，22.2例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，B90，AC=200,sinA=0.6,
14、求求BC的长的长.知知1 1讲讲在在RtABC中，中，即即BC=2000.6=120.解：解：0.6200BC=sin,BCAAC=C知知1 1练练 1在在RtABC中，中，C90，sin A ，BC2 6，则，则AB()3 A4 B6 4 C8 D1035知知1 1练练 2如图，如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则的顶点是正方形网格的格点，则3 sin A的值为的值为()4 A.B.5 C.D.125510102 552知识点知识点余弦余弦 余弦：如图，在余弦：如图，在RtABC中，中，C90，A的邻的邻边与斜边的比叫做边与斜边的比叫做A的余弦，的余弦，记作记作cos A，即，即cos
15、A知知2 2讲讲.AACAB的的邻邻边边斜斜边边=知知2 2讲讲例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C 90，AC12，BC5，求，求sin A，cos A的值的值导引：在导引：在RtABC中，已知两直角边长，可先用勾股定理求中，已知两直角边长，可先用勾股定理求 斜边长，再利用定义分别求出斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A的值的值 解：解：C90，AC12，BC5，AB sin A cos A222212513.ACBC5,13BCAB 12.13ACAB 总总 结结知知2 2讲讲 在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定要根据正
16、弦和余弦的定义求解其中未知边的长度往要根据正弦和余弦的定义求解其中未知边的长度往往借助勾股定理进行求解往借助勾股定理进行求解知知2 2讲讲例例3 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，sin A BC40，求求ABC的周长和面积的周长和面积 已知已知BC40，求，求ABC的周长，的周长，则还需要求出其他两边的长，借则还需要求出其他两边的长，借 助助sin A的值可求出的值可求出AB的长，再的长，再 利用勾股定理求出利用勾股定理求出AC的长即可，的长即可，直角三角形的面积等于两直角边直角三角形的面积等于两直角边 长乘积的一半长乘积的一半导引：导引：45，知知2 2讲讲解：解：sin A AB
17、 BC40，sin A ，AB50.又又AC ABC的周长为的周长为ABACBC120，ABC的面积为的面积为 BCAC 4030600.2222504030,ABBC,BCAB45.sinBCA1212总总 结结知知2 2讲讲 正弦的定义表达式正弦的定义表达式sin A 可根据解题需要变形为可根据解题需要变形为 BCABsin A或或AB余弦的定义表达式余弦的定义表达式cos A 也可变形为也可变形为 ACABcos A或或AB .BCABACABcosACAsinBCA知知2 2练练 1如图，在如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的的正方形方格图形中，小正方形的2 顶点称为格点，顶点称
18、为格点，ABC的顶点都在格点上，则的顶点都在格点上，则图图3 中中ABC的余弦值是的余弦值是()4 A2 B.5 C.D.122 5555知知2 2练练 2如图，以如图，以O为圆心，半径为为圆心，半径为1的弧交坐标轴于的弧交坐标轴于A，3 B两点，两点，P是是AB上一点上一点(不与不与A，B重合重合)，连接，连接OP，4 设设POB，则点，则点P的坐标是的坐标是()5 A(sin，sin)6 B(cos，cos)7 C(cos，sin)8 D(sin，cos)知知3 3讲讲3知识点知识点锐角三角函数的取值范围锐角三角函数的取值范围1.锐角三角函数的定义：锐角三角函数的定义：定义：如图，在定义：
19、如图，在RtABC中，中，C90，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，则有，则有sin A ，cos A tan A 我们把我们把sin A，cos A，tan A 叫做叫做A的三角函数，即的三角函数，即 锐角锐角A的正弦、余弦、正的正弦、余弦、正 切叫做切叫做A的三角函数的三角函数ac,bc,ab2.锐角三角函数的取值范围：锐角三角函数的取值范围：在在RtABC中，因为各边边长都是正数，且斜边边长中，因为各边边长都是正数，且斜边边长 大于直角边边长，所以对于锐角大于直角边边长，所以对于锐角A，有，有tan A0，0sin A1，0cos A1.知知3 3讲讲1若若是锐角，是锐角，s
20、in 3m2，则，则m的取值范围是的取值范围是()2 A.m1 B2m33 C0m1 Dm4如果如果0A90，并且，并且cos A是方程是方程5 (x0.35)0的一个根，那么的一个根，那么cos A_知知3 3练练 232312x 知知4 4讲讲4知识点知识点特殊角特殊角(30(30，4545，6060)的正弦、余弦值的正弦、余弦值130，45，60角的函数值如下表：角的函数值如下表：12304560sin cos 角角三角函数值三角函数值三角函数三角函数12323222221在在ABC中，中，A，B都是锐角，且都是锐角，且sin A ，2 cos B ，则，则ABC的形状是的形状是()3
21、A直角三角形直角三角形 B钝角三角形钝角三角形4 C锐角三角形锐角三角形 D不能确定不能确定知知4 4练练 12321.正弦的定义正弦的定义2.余弦的定义余弦的定义3.求锐角三角函数值的三种方法：求锐角三角函数值的三种方法：(1)在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出 (2)利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角(若若 该角的三角函数值知道或者易求该角的三角函数值知道或者易求)(3)利用互余的两个角间的特殊关系求利用互余的两个角间的特殊关系求第二十六章第二十六章 解直角三角形解直角三角形26.2 2
22、6.2 锐角三角函数锐角三角函数 的计算的计算1课堂讲解课堂讲解u用计算器求已知锐角的三角函数值用计算器求已知锐角的三角函数值u用计算器求已知三角函数值的对应角用计算器求已知三角函数值的对应角u用计算器探究三角函数的性质用计算器探究三角函数的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 如图，当登山缆车的吊箱经过点如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点到达点B时，它走过时，它走过了了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为=16，那么缆车垂直上升的距离那么缆车垂直上升的距离 是多少？（结果精确到是多少？（结果精确到0.01
23、m)在在RtABC中，中，ACB=90，BC=ABsin 16.你知你知道道sin16是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值角函数值.怎样用科学计算器求三角函数值呢？怎样用科学计算器求三角函数值呢？1知识点知识点用计算器求已知锐角的三角函数值用计算器求已知锐角的三角函数值1.计算器的使用方法：计算器的使用方法：(1)求整数度数的锐角三角函数值，在科学计算器的面求整数度数的锐角三角函数值，在科学计算器的面 板上涉及三角函数的键有板上涉及三角函数的键有sin，cos 和和tan，当我们，当我们 计算整数度数的某锐角的三角函数值时，可选按这计算整
24、数度数的某锐角的三角函数值时，可选按这 三个键之一，然后再从高位到低位依次按出表示度三个键之一，然后再从高位到低位依次按出表示度 数的键，然后按键，屏幕上就会显示出结果数的键，然后按键，屏幕上就会显示出结果知知1 1讲讲(2)求非整数度数的锐角三角函数值，若度数的单位是用求非整数度数的锐角三角函数值，若度数的单位是用 度、分、秒表示的，在用科学计算器计算其三角函数度、分、秒表示的，在用科学计算器计算其三角函数 值时，同样先按值时，同样先按sin，cos 或或tan 键，然后从高位到低位键，然后从高位到低位 依次按出表示度的键，再按依次按出表示度的键，再按”键，然后，从高位到低键，然后，从高位到
25、低 位依次按出表示分的键，再按位依次按出表示分的键，再按”键，然后，从高位到键，然后，从高位到 低位依次按出表示秒的键，再按低位依次按出表示秒的键，再按”键，最后按键，键，最后按键，屏幕上就会显示出结果屏幕上就会显示出结果知知1 1讲讲2.说明：说明：(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，也有个数位，也有 的计算器会显示的计算器会显示11个数位如无特别说明，计算结果一个数位如无特别说明，计算结果一 般精确到万分位；般精确到万分位；(2)不同的计算器按键方式不同，因此在使用之前要首先了不同的计算器按键方式不同，因此在使用之前要首先了 解计算器的功能
26、与使用方法解计算器的功能与使用方法知知1 1讲讲例例1 用计算器计算用计算器计算:(结果精确到万分位结果精确到万分位)(1)sin 26 ；(2)sin824815_ 已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，将屏幕显示的结果按要求取近似值即可将屏幕显示的结果按要求取近似值即可知知1 1讲讲 导引：导引：0.43840.9921总总 结结知知1 1讲讲 (1)依次按依次按sin 2 6 键，得到数据再精确到万分位即可；键，得到数据再精确到万分位即可；(2)依次按依次按sin 8 2 ”48”15”键，得到数据再键，得到数据再 精确到万分位即可精
27、确到万分位即可例例2 已知在已知在RtABC中，中，C90，若，若A23，斜，斜 边边c14，求，求A的对边的对边a的长的长(结果精确到结果精确到0.01)c是斜边，而是斜边，而a是是A的对边，故可利用的对边，故可利用A的正弦求的正弦求a.由由sin A 则则acsin A14sin 23，利用计算器，利用计算器 计算得计算得a5.47.知知1 1讲讲 导引：导引：解：解：,ac总总 结结知知1 1讲讲 对于不是特殊角的三角函数，一般只能利用计算对于不是特殊角的三角函数，一般只能利用计算器进行计算注意结果要符合题目的精确度要求器进行计算注意结果要符合题目的精确度要求知知1 1练练 1如图，是我
28、们数学课上采用的科学计算器面板，利如图，是我们数学课上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算用该型号计算器计算 cos 55，按键顺序正确，按键顺序正确的是的是()2 A.2 cos 5 5 3 B.2 cos 5 5 0 4 C.2 cos 5 5 5 D.2 5 5 cos2知知1 1练练 2利用计算器求利用计算器求sin 30时，依次按键时，依次按键sin30，则计算器上显示的结果是则计算器上显示的结果是()3 A0.5B0.707C0.866D12知识点知识点用计算器求已知三角函数值的对应角用计算器求已知三角函数值的对应角想一想想一想 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在为了方便
29、行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建高的天桥两端修建 了了 40 m长的斜道（如图长的斜道（如图).这条斜道这条斜道的倾斜角是多少？的倾斜角是多少？知知2 2讲讲知知2 2讲讲 1已知三角函数值，用计算器求角度，需要用到已知三角函数值，用计算器求角度，需要用到sin，cos，tan 键的第二功能键的第二功能“sin1，cos1，tan1”和和 SHIFT 键键2具体操作步骤是：先按具体操作步骤是：先按SHIFT 键，再按键，再按sin，cos，tan 键之一，再依次输入三角函数值，最后按键，键之一，再依次输入三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果则屏幕上就会显示出结果知知
30、2 2讲讲 拓展：拓展：(1)上面得出的结果是以上面得出的结果是以“度度”为单位的，再按为单位的，再按”键键 即可显示以即可显示以“度、分、秒度、分、秒”为单位的结果为单位的结果(2)求角度的计算结果，如没有特别说明，一般精确到求角度的计算结果，如没有特别说明，一般精确到 1.3易错警示：注意由值求角必须保证按键顺序正确易错警示：注意由值求角必须保证按键顺序正确知知2 2讲讲例例3 根据下列条件求锐角根据下列条件求锐角A的度数：的度数：(结果精确到结果精确到1)(1)sin A0.732 1；(2)cos A0.218 7；(3)tan A3.527.导引：利用导引：利用sin，cos，tan
31、 键的第二功能计算，即先按键的第二功能计算，即先按SHIFT 键，再按键，再按sin或或cos或或tan键，然后输入三角函数值，最键，然后输入三角函数值，最 后按键，即可显示结果后按键，即可显示结果 知知2 2讲讲解：解：(1)先按先按SHIFT sin 0.7321键，显示：键，显示：47.062 734 57，再，再 按按”键，即可显示键，即可显示47345.84，所以，所以A474.(2)先按先按 SHIFT cos 0.2187键，显示：键，显示：77.367 310 78，再，再 按按”键，显示键，显示77222.32，所以，所以A7722.(3)先按先按 SHIFT tan 3.5
32、27键，显示：键，显示：74.170 530 81，再，再 按按”键键,显示显示741013.91，所以，所以A7410.总总 结结知知2 2讲讲 由值求角，计算器显示的角度的单位是由值求角，计算器显示的角度的单位是“度度”，一般需要化为用一般需要化为用“度、分、秒度、分、秒”表示的形式，用表示的形式，用”键键可实现两者间的转换可实现两者间的转换知知2 2练练 1已知已知为锐角，且为锐角，且tan 3.387，下列各值中与，下列各值中与最接最接近的是近的是()2 A7333 B7327 C1627 D16213在在ABC中，中，C90，BC5，AB13，用科学，用科学 4 计算器求计算器求A约
33、等于约等于()5 A2438 B6522 C6723 D2237知知2 2练练 3如图，有一滑梯如图，有一滑梯AB，其水平宽度，其水平宽度AC为为5.3 m，铅，铅直高度直高度BC为为2.8 m，则，则A的度数约为的度数约为_(用用科学计算器计算，结果精确到科学计算器计算，结果精确到0.1)知知3 3讲讲3知识点知识点用计算器探究三角函数的性质用计算器探究三角函数的性质 三角函数值的大小有锐角的度数决定，与其在哪三角函数值的大小有锐角的度数决定，与其在哪个直角三角形中无关，具体来说：个直角三角形中无关，具体来说：(1)tan A随着随着A的增大而增大，的增大而增大，A越接近越接近90，tan
34、A的值就增加得越快，的值就增加得越快，tan A可以等于任何一个正数可以等于任何一个正数(2)sin A的值随着锐角的值随着锐角A的增大而增大；的增大而增大；cos A的值随着的值随着 锐角锐角A的增大而减小的增大而减小例例4 已知已知，为锐角，且为锐角，且cos 是方程是方程2x25x30的一的一 个根，个根，cos cos，试求，试求的度数及的度数及的取值范围的取值范围 先求出方程先求出方程2x25x30的根，从而得到的根，从而得到cos 的值，的值，再根据特殊角的三角函数值求出再根据特殊角的三角函数值求出的度数，最后根据的度数，最后根据 锐角三角函数的增减性确定锐角三角函数的增减性确定的
35、取值范围的取值范围 知知3 3讲讲 导引：导引：解方程解方程2x25x30，得，得x13，x20cos 1，且且cos 是方程是方程2x25x30的一个根，的一个根，cos cos 60 60.为锐角，为锐角，cos cos，cos cos 60.又又锐角的余弦值随角的度数的增大而减小，锐角的余弦值随角的度数的增大而减小，060.知知3 3讲讲解：解：1.21.21,2总总 结结知知3 3讲讲 解方程，由特殊角的三角函数值可知解方程，由特殊角的三角函数值可知的度数，再的度数，再利用锐角与其余弦值的关系，通过比较得到利用锐角与其余弦值的关系，通过比较得到的取值范的取值范围围.1在在RtABC中，
36、中，C90，下列各式中正确的是，下列各式中正确的是 2 ()3 Asin Asin B Btan Atan B4 Csin Acos B Dcos Acos B5用计算器比较用计算器比较tan 25，sin 27，cos 26的大小关的大小关6 系是系是()7 Atan 25cos 26sin 278 Btan 25sin 27cos 269 Csin 27tan 25cos 2610 Dcos 26tan 25sin 27知知3 3练练 3用计算器求用计算器求sin 15，sin 25，sin 35，sin 45，4 sin 55，sin 65，sin 75，sin 85的值，研究的值，研究
37、5 sin 的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：6 若若 sin 则则()7 A3060 B30908 C060 D6090知知3 3练练 3,2121利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序：先按利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序：先按 sin键或键或cos键或键或tan键，再按角度值，最后按键，就键，再按角度值，最后按键，就 可求出相应的三角函数值可求出相应的三角函数值2已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺序：已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺序：先按先按SHIFT键，再按键，再按sin键或键或cos键或键或tan键，然后输入
38、键，然后输入 三角函数值，最后按键，就可求出相应角度三角函数值，最后按键，就可求出相应角度第二十六章第二十六章 解直角三角形解直角三角形26.3 26.3 解直角三角形解直角三角形1课堂讲解课堂讲解u已知两边解直角三角形已知两边解直角三角形u已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形u已知一边及一锐角的三角函数解直角已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形三角形2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解为了解决这些问题，往决这些问题，往 往需要确定直角三角形的边
39、和角往需要确定直角三角形的边和角.直角三角形中有直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角个元素，分别是三条边和三个角.那么那么至少知道几个元至少知道几个元 素，就可以求出其他的元素呢？素，就可以求出其他的元素呢？1知识点知识点已知两边解直角三角形已知两边解直角三角形 在在RtABC中，如果已知其中两边的长，你能求出中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？这个三角形的其他元素吗？知知1 1讲讲例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，AC15，BC8.解这个直角三角形解这个直角三角形.(角度精确到角度精确到1)知知1 1讲讲 解：解：A28420.B90A 902
40、8420 615540.AB2AC2BC215282289，AB17.8tan,15BCAAC1定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知 元素的过程，叫做解直角三角形元素的过程，叫做解直角三角形2直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：在在RtABC中，中，C90，A，B，C的对的对 边分别为边分别为a，b，c.则有：则有：知知1 1讲讲 (1)三边之间的关系：三边之间的关系：a2b2c2；(2)两锐角之间的关系：两锐角之间的关系：AB90；(3)边角之间的关系：边角之间的关系：sin A cos B，cos A sin B，tan A知
41、知1 1讲讲 acbc1.tanabB 要点精析：解直角三角形时，要点精析：解直角三角形时，已知两边求第三边用勾股定理；已知两边求第三边用勾股定理；已知一锐角求另一锐角用已知一锐角求另一锐角用“直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余”；在两边一锐角中，有两个元素已知，则可用三角函数的在两边一锐角中，有两个元素已知，则可用三角函数的 定义求出第三个元素定义求出第三个元素 由上可知在直角三角形的六个元素由上可知在直角三角形的六个元素(三条边和三个角三条边和三个角)中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，就可以求出另外三个元素就可以求出另
42、外三个元素知知1 1讲讲 3解直角三角形时，选择三角函数关系式遵循以下原则：解直角三角形时，选择三角函数关系式遵循以下原则：尽量选可以直接应用原始数据的关系式；尽量选可以直接应用原始数据的关系式；尽量选择便于计算的关系式如：当所求的元素既可尽量选择便于计算的关系式如：当所求的元素既可 用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法4易错警示：在直角三角形中寻找已知元素与未知元素易错警示：在直角三角形中寻找已知元素与未知元素 的数量关系时，常建立三角函数模型研究边角之间的关的数量关系时，常建立三角函数模型研究边角之间的关 系，注意正弦、余弦、正切三种函数
43、都是涉及两边一角，系，注意正弦、余弦、正切三种函数都是涉及两边一角，要正确选择，不能将它们弄混要正确选择，不能将它们弄混知知1 1讲讲 5.解直角三角形的类型：解直角三角形的类型：（1）已知两边解直角三角形）已知两边解直角三角形 （2）已知一边及一锐角解直角三角形）已知一边及一锐角解直角三角形已知两边解直角三角形已知两边解直角三角形 已知斜边和一条直角边解直角三角形已知斜边和一条直角边解直角三角形知知1 1讲讲例例2 已知在已知在RtABC中，中，C90，A，B，C 的对边分别为的对边分别为a，b，c，且，且c5，b4，求这个三角，求这个三角 形的其他元素形的其他元素(角度精确到角度精确到1)
44、求这个直角三角形的其他元素，与求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角解这个直角三角 形形”的含义相同求角时，可以先求的含义相同求角时，可以先求A，也可以先，也可以先 求求B，因为，因为 sin Bcos A.知知1 1讲讲导引：导引：bc 由由c5，b4，得，得sin B 0.8，B538.A90B3652.由勾股定理得由勾股定理得知知1 1讲讲解：解：45bc 2222543.acb知知1 1练练 1在在RtABC中，中，C90，AB AC2 则则A的度数为的度数为()3 A90 B60 4 C45 D302 5,15,知知1 1练练 2在在ABC中，中，C90，AB4，AC3，欲求
45、，欲求A的值，最适宜的做法是的值，最适宜的做法是()3 A计算计算tan A的值求出的值求出4 B计算计算sin A的值求出的值求出5 C计算计算cos A的值求出的值求出6 D先根据先根据sin B求出求出B，再利用，再利用90B求求出出 2知识点知识点已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形 在在RtABC中，如果已知一边和一个锐角，你能中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？求出这个三角形的其他元素吗？知知2 2讲讲知知2 2讲讲 1.已知一条直角边和一个锐角解直角三角形：已知一条直角边和一个锐角解直角三角形：已知一锐角，则另一锐角易求而求另两边则需已
46、知一锐角，则另一锐角易求而求另两边则需要运用定义法，将已知数据代入三角函数关系式中计要运用定义法，将已知数据代入三角函数关系式中计算如用已知直角边除以其对角的正弦可得斜边长，算如用已知直角边除以其对角的正弦可得斜边长，用已知直角边除以其对角的正切可得另一直角边有用已知直角边除以其对角的正切可得另一直角边有时也可用勾股定理求第三边，但要防止误差变大，所时也可用勾股定理求第三边，但要防止误差变大，所以要尽量选可以直接应用原始数据的关系式以要尽量选可以直接应用原始数据的关系式知知2 2讲讲例例3 如图，在如图，在RtABC，C=90，C=90，A=34，AC6.解这个直角三角形解这个直角三角形.(结
47、结 果精确到果精确到0.001)解：解：B=90A=90 3456.tan,BCAAC tantan346 0.6745=4.047.BCACAAC。cos,ACAAB 67.238.coscos340.8290ACACABA。知知2 2讲讲 2.已知斜边和一锐角解直角三角形：已知斜边和一锐角解直角三角形：已知斜边和一锐角，则另一锐角易求而求两直已知斜边和一锐角，则另一锐角易求而求两直角边，必然要运用定义法，由斜边乘已知锐角的正弦角边，必然要运用定义法，由斜边乘已知锐角的正弦可得已知锐角的对边；由斜边乘已知锐角的余弦可得可得已知锐角的对边；由斜边乘已知锐角的余弦可得已知锐角的邻边当求出一直角边
48、后，另一直角边也已知锐角的邻边当求出一直角边后，另一直角边也可用勾股定理计算，但要注意误差可能较大可用勾股定理计算，但要注意误差可能较大知知2 2讲讲例例4 在在RtABC中，中，C90，A，B，C的对边分的对边分 别为别为a，b，c，且，且c100，A2644.求这个三角形求这个三角形 的其他元素的其他元素(长度精确到长度精确到0.01)已知已知A，可根据，可根据B90A得到得到B的大小而的大小而 已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数 A2644，C90，B9026446316.由由sin A 得得acsin A100sin 264444.98.由由cos A
49、 得得bccos A100cos 264489.31.,bc解：解：导引：导引：,ac知知2 2练练 1如图，在如图，在RtABC中，中，C90，B30，AB8，则，则BC的长是的长是()2 A.B43 C D4 338 34 3知知2 2练练 2在在ABC中，中，C90，若，若B2A，b3，3 则则a等于等于()4 A.B.5 C6 D.33332知知3 3讲讲3知识点知识点已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形例例5 如图，在如图，在ABC中，中，AB1，AC sin B 求求BC的长的长 要求的要求的BC边不在直角边不在直角 三角形中，已知条件中三角
50、形中，已知条件中 有有B的正弦值，作的正弦值，作BC边上的高，边上的高，将将B置于直角三角形置于直角三角形 中，利用解直角三角形就可中，利用解直角三角形就可 解决问题解决问题2，24，导引：导引：如图，过点如图，过点A作作ADBC于点于点D.AB1，sin BADABsin B1 BD CDBC 知知3 3讲讲解：解：24，242.422222141,44ABAD 22222302.44ACAD30143014.444CDBD 总总 结结知知3 3讲讲 通过作垂线通过作垂线(高高)，将斜三角形分割成两个直角三角，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种形，然
