1、函数的极限、函数的连续性函数的极限、函数的连续性1、函数极限的定义、函数极限的定义:(1)当自变量当自变量x取正值并且无限增大时，如果取正值并且无限增大时，如果函数函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，就说当，就说当x趋趋向于正无穷大时，函数向于正无穷大时，函数f(x)的极限是的极限是a记作：记作：f(x)=a，或者当，或者当x+时，时，f(x)axlim(2)当自变量当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，取负值并且绝对值无限增大时，如果函数如果函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，就说当，就说当x趋向于负无穷大时，函数趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是的极限是
2、a记作记作 f(x)=a或者当或者当x时，时，f(x)a xlim(3)如果如果 f(x)=a且且 f(x)=a，那么就，那么就说当说当x趋向于无穷大时，函数趋向于无穷大时，函数f(x)的极限的极限是是a，记作：，记作：f(x)=a或者当或者当x时，时，f(x)a xlimxlimxlim常数函数常数函数f(x)=c(xR)，有，有 f(x)=c f(x)存在，表示存在，表示 f(x)和和 f(x)都存在，且两者相等所以都存在，且两者相等所以f(x)中的中的既既有有+，又有，又有的意义，而数列极限的意义，而数列极限 an中的中的仅有仅有+的意义的意义 xlimxlimxlimxlimxlim趋
3、向于定值的函数极限概念：趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于当自变量无限趋近于x0（）时，）时，如果函数如果函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，就，就说当说当x趋向趋向x0时，函数时，函数y=f(x)的极限是的极限是a，记作特别地，记作特别地，；CCxx0lim00limxxxx0lim()xxf xa0 xx 其中其中 表示当表示当x从左侧从左侧趋近于趋近于x0时的左极限，时的左极限，表示当表示当x从右侧趋近从右侧趋近于于x0时的右极限时的右极限 000lim()lim()lim()xxxxxxf xaf xf xa0lim()xxf xa0lim()xxf xa对于
4、函数极限有如下的运算法则：对于函数极限有如下的运算法则：如果，如果，那么那么,当当C是常数，是常数，n是正整数时是正整数时这些法则对于的情况仍然适用这些法则对于的情况仍然适用 BxgAxfooxxxx)(lim,)(limBAxgxfoxx)()(limBAxgxfoxx)()(lim)0()()(limBBAxgxfoxx)(lim)(limxfCxCfooxxxxnxxnxxxfxfoo)(lim)(lim 函数在一点连续的定义函数在一点连续的定义:如果函数如果函数f(x)在在点点x=x0处有定义，处有定义，f(x)存在，且存在，且 f(x)=f(x0)，那么函数，那么函数f(x)在点在点
5、x=x0处连续处连续 0limxx0limxx函数函数f(x)在在(a，b)内连续的定义：内连续的定义：如果函数如果函数f(x)在某一开区间在某一开区间(a，b)内每一内每一点处连续，就说函数点处连续，就说函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内连续，或内连续，或f(x)是开区间是开区间(a，b)内的连续内的连续函数函数函数函数f(x)在在a，b上连续的定义：上连续的定义：如果如果f(x)在开区间在开区间(a，b)内连续，在左端内连续，在左端点点x=a处有处有 f(x)=f(a)，在右端点，在右端点x=b处有处有 f(x)=f(b),就说函数就说函数f(x)在闭区在闭区间间a，b上连续上连续,
6、或或f(x)是闭区间是闭区间a，b上的连续函数上的连续函数axlimbxlim最大值最大值f(x)是闭区间是闭区间a，b上的连续函数，如果对上的连续函数，如果对于任意于任意xa，b，f(x1)f(x)，那么，那么f(x)在在点点x1处有最大值处有最大值f(x1)最小值最小值f(x)是闭区间是闭区间a，b上的连续函数，如果对上的连续函数，如果对于任意于任意xa，b，f(x2)f(x)，那么，那么f(x)在在点点x2处有最小值处有最小值f(x2)最大值最小值定理最大值最小值定理如果如果f(x)是闭区间是闭区间a，b上的连续函数，那上的连续函数，那么么f(x)在闭区间在闭区间a，b上有最大值和最小值
7、上有最大值和最小值 极限问题的基本类型：极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系分式型，主要看分子和分母的首项系数；数；指数型指数型(型），通过变形使得型），通过变形使得各式有极限；各式有极限；根式型根式型(型型)，通过有理化变形使，通过有理化变形使得各式有极限；得各式有极限；和00例1 求下列各极限 2limx)2144(2xx 0limx|xx2limx.2sin2coscosxxx例例2求下列函数的极限：求下列函数的极限：32)1(13limxxx21lim222xxxx121lim221xxxx)1113(lim221xxxx（1）讨论函数）讨论函数f（x）=（2）讨论函数）讨论函数f（x）=在区间在区间0,3上的连续性上的连续性)0(1;0),0(0),0(1xxxx处的连续性在点3xx例7 讨论下列函数在给定点处的连续性（1）点 ；（2），点 ；24)(2xxxf2x31,210,1)(xxxxxf1x
