1、441第二部分 初中数学教学探讨442思辨性和程序性的数学知识n 思辨性思辨性：基本对象：有理数、无理数、三角形 基本概念：方程、函数、概率 基本方法：逻辑推理，问题解决 n 程序性程序性：基本运算规则：有理数四则运算、幂的运算、式的运算、基本表示方式：符号表示、证明的格式443初中数学教学，以接受为主n 超经验的知识：无理数，平行公理n 规则性的知识；有理数加减，负负得正、幂的运算，书写格式n 难以证明只能说明的知识：数的交换律、分配律n 大量的是遵循规则，不允许自由发挥。这是许多人不喜欢数学的地方，也正是数学作为科学语言的进化所在。444双基教学的内涵：四个维度n 运算速度：运算速度：速度
2、赢得效率速度赢得效率n 知识记忆：知识记忆：记忆通向理解记忆通向理解n 逻辑精确：逻辑精确：必要的形式化必要的形式化n 变式训练：变式训练：变化中求重复变化中求重复 双基研究有待深入445教育形态之一 方程概念 外在的逻辑形式：含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程。n 内在的数学本质内在的数学本质：方程是为了寻求未知数，方程是为了寻求未知数，在已知数在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。和未知数之间建立的一种等价关系。n（教育形态）（教育形态）“方程”思想的本质在于建立关系n 为了认识“未知数”先生，必须请已知数“先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。446 方
3、程思想（三根电线的长度）方程思想（三根电线的长度）n上海上海5151中学陈振宣提供中学陈振宣提供:他的一个学生在和平他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到饭店做电工。发现地下室到1010楼的三根电线不楼的三根电线不一样长。一样长。如何测知他们的电阻？如何测知他们的电阻？n袁枚（清）：袁枚（清）：“学如箭镞，学如箭镞，才如弓弩；才如弓弩；识以领之，识以领之，方能中鹄方能中鹄”。这是中国的创造。x y z珍视，流传，进教科书X+y=aY+z=bZ+x=c447在“看不见数学的地方发现数学n19481948：美国仙农发表美国仙农发表信息的数学理论信息的数学理论n19481948：维纳发表：维纳发
4、表控制论控制论。信息、控制是数学吗？信息、控制是数学吗？n1948：von Neuman 计算机方案形成计算机方案形成n 中国缺乏这样的数学偶像中国缺乏这样的数学偶像448 仙农(Shannon)研究信息论n 一.信息量 烽火台.传送一个信息量 log2 2=1.两个烽火台.1.敌人来?2.要否补给?四种情况.log2 4=2.信息是 0,1 符号串.n 二 .概率和信息量:“狗咬人”“人咬狗”.“今天太阳升起”,“今天日食”.事件的概率P(E)大,传送此事件的信息量H(E)小.H(E)=1/P(E)?H(E)=-P(E)log2 P(E).449教育形态之二。正负数加减n 赢多输少，进少出多
5、 3 5=？，-6+3=？只要智力正常的人都会做，何必兴师动众？n 学术形态：绝对值？n 教育形态：抵消n 我们怎样把教科书上的叙述，转化为容易接受的教育形态4410教育形态之三：负负得正？负负得正？探究式教学探究式教学。例：一列每小时。例：一列每小时80公里的火车向西开，公里的火车向西开，12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负，时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负，12点之后之前为时间的正负。点之后之前为时间的正负。问问10点时火车在什么点时火车在什么位置？位置？答案：（答案：（-2）x（-80）=160n于是概括概括得出数的运算的规律负负得正。数学不允许这样的概括数学不允
6、许这样的概括。教育形态：有意义的接受。教育形态：有意义的接受。乘（乘（-1）相反，）相反，再乘（再乘（-1）回归。（）回归。（先做后说）。先有规则，后有解释。先执行，然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。先举例是探究，后举例说明是有意义接受。4411 “代数式”一课的教学文字代表数的本质：文字代表数的本质：符号运算符号运算n 实际问题引入，喧宾夺主，流行病n由数字、表示数字的字母及运算符号组成的式子称为代数式。这个定义重要吗？n“由文字题列代数式，及说出代数式所代表示由文字题列代数式，及说出代数式所代表示的意义的意义”正反两方面的例子。正反两方面的例子。两种语言互译：这是初中代数的关键
7、、核心。双基要求：示范，纠错，练习。新式教学：自主，探究，合作。哪种有效？4412 只代表，只代表，不运算，不运算，没有价值没有价值n项武义教授：“文字代表数的本质是不定元文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算和数字进行相同的运算。n 如如(2x+3x2)=x(2+3x)（教材上没有讲为什么可以这样做）。解二次方程：因子分解、配方、同解变换 根 数学家之所以有饭吃，在于能够运用符号获得结果（复旦 张荫南）4413 数学符号是一种语言n 语文靠想象，将符号（方块字）用语法表示出来。说话写下来就是文章。n 数学靠理性，将数学符号通过运算、演绎得到结论。这是人为构造的语言。语文、数学、诗词、定
8、理，语文、数学、诗词、定理，都是符号运作都是符号运作n 语文是语文是“饭饭”，不吃要死，容易煮熟。便宜不吃要死，容易煮熟。便宜n 数学是数学是“菜菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。贵。烧菜很难。吃菜必须合理。n 诗词是诗词是“酒酒”，酒可以不喝，酿酒更难。有人喜酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。欢，闲时享受才喝。定理也是酒。4414函数的两个定义，初中，高中n人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子；与局部；物理学上的宇宙与原子；艺术上的艺术上的写意与工笔写意与工笔 n
9、 初中的函数从大局发展着眼，宏观地观察数量之间彼此依存的关系，看总体发展趋势。宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性。n 高中函数定义讲究微观地、静态地观察，用两个数集之间的对应来描述。微观函数概念的本质在于精确化的对应。微观函数概念的本质在于精确化的对应。两种定义互有短长，并非高级与低级之分两种定义互有短长，并非高级与低级之分。4415函数的两个定义，初中，高中n人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子；与局部；物理学上的宇宙与原子；艺术上的艺术上的写意与工笔写意与工笔 n 初中的函数从大局发展着眼，宏观地观察数量之间
10、彼此依存的关系，看总体发展趋势。宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性。n 高中函数定义讲究微观地、静态地观察，用两个数集之间的对应来描述。微观函数概念的本质在于精确化的对应。微观函数概念的本质在于精确化的对应。两种定义互有短长，并非高级与低级之分两种定义互有短长，并非高级与低级之分。4416函数定义中“唯一”重要吗？n 唯一不是本质。n 不唯一成多值函数而已。n 多值函数单值化即可。n 描写圆的函数，上半圆和下半圆。n 反三角函数4417“圆的认识圆的认识”这样说，这样说，对吗？对吗？n1用甩动系在细绳上的小球形成圆，是传统的灌输方法。让小朋友排成圆形公平玩
11、套花游戏，是好的结合学生实践的方法。n2用圆形纸片折纸找圆心的活动，是传统的。甩动不同长度的细绳形成圆的中心是圆心，则是探究的好方法。n3用圆规划圆在认识圆之后，是传统的灌输的。在认识圆之前使用圆规划圆，是“过程性“的好方法。n 我的看法是，凡是能够揭示“圆的数学本质”教学方法都有价值的。有的是动态的，有的是静态的。有的适合找圆心，有的适合找半径，有的便于表达，有的着重理解。它们没有好坏之分。4418勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计n 用各种方法发现：方格纸上用各种方法发现：方格纸上3 3，4 4，5 5 的计算的计算等。等。6 6张工作单：发现猜想张工作单：发现猜想 a a2 2+b+b
12、2 2=c=c2 2n换一种思维：将勾股定理直接告诉学生，换一种思维：将勾股定理直接告诉学生，用用各种美丽的画面，各种美丽的画面，讲述中外有关历史，包括讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。和外星人联系使用的信息。把把重点放在如何重点放在如何证明上证明上。多种证明。多种证明。最后最后联系到费马大定理 an+bn=cn (n3)。哪一种更能体现数学本质？4419尺规作图的教育价值n 体现“几何运动”思想n 符合“学生活动”观念n 几何操作有利于推理、观察。为什么“边边角”不能作为全等判定准则？用尺规作图进行处理很容易构造反例，而且论证直观，思路清晰，具有很强的说服力。4420概念教学:淡
13、化形式,注重实质.下列是问题是否妥当?n判断下列各例是否正确？1.（只）有一组对边平行的四边形是梯形2。含有未知数的（等）式子叫方程3.（平面上）不相交的两条直线叫平行 线n平行四边形也是梯形，有何不可？x-x=0;0 x=0;是方程吗？也许还要加上“在欧氏空间中”？n 4421 n流行的“本章小结”n逻辑框图解决一切n 导语：本章学习了分数的基本概念 无意义地重复、复述4422：小结的内容应该包括小结的内容应该包括n1本章内容的价值和意义。开头讲不清，学过了可以认识了。n2本章内容和前后各章内容的联系；n3一些要点和难点的回顾，掌握其中的思想方法。n4需要进一步思考的问题，为以后学习打下基础
14、。n5 最后才是“逻辑框图”。（那是数学美女的X光片，不是全部。）n 4423分数一章的小结分数一章的小结 n分数是整数的扩充，在数轴上密密麻麻地分布于整数之间。分数的特点是涉及一个整体，它表示的意义是“整体的几分之几”。因此，分数的实际大小和整体有关，1/4个足球比1/2个乒乓球大。但是，在同一的整体下，分数可以抽象地比较大小。n与小学里“分数”内容相比较，这一章系统地叙述了正分数的表示和运算规则。主要是异分母的加减乘除运算。其中异分母加减要通分，是掌握的难点。4424续n前一章整除为本章做了准备：约分用到公因数，通分用到最小公倍数。至于整数的一些运算规律：结合率、交换率、分配率，以及先乘除
15、后加减，由内向外脱括弧等，在分数范围依然成立。这是前人通过不懈努力、追求数学统一性的结果。n和整数的四则运算一样，分数的四则运算也是数学的一种“基本知识”和“基本技能”，需要熟练掌握。其中分数加减时使用通分，做除法时运用颠倒相乘的规则，都必须成为我们的数学直觉和习惯。4425续n分数都可以表示为小数，反之亦然。但是，我们会碰到循环小数的困难。循环小数概念是今后我们继续扩大数的范围（无理数）的必要基础。但是，我们主要是了解它，不必过于深究。一些特殊的技巧放入拓展部分。n以后我们还要进一步学习负分数，构成有理数系。n p/q 有三种意思。1。P除以q;2。（p/q)整体看作分数；3。p是q的多少倍，下一章“比”就讨论这样的问题
