1、2019 2020学年度第二学期期中学情检测学年度第二学期期中学情检测 高 一 数 学 2020.05 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共10小题，每题小题，每题5分，共分，共50分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. 直线y=3 x+1的倾斜角为 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 2. 某中学有高中生 3500人，初中生 1500人为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中 抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( ) A.100 B.150C.200D
2、.250 3. 在ABC中，若a=2,b=2 , A= 4 ，则B= ( ) A. 6 B. 4 C. 5 6 D. 6 或 5 6 4. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 200，下图为检测结果的频率分布直方 图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30）的为一等品，在区间20，25）和30，35）的为 二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为( ) A.30B.40 C.50D.60 5. 已知直线 a+2x+2ay-1=0与直线3ax- y+2=0垂直，则实数a的值是( ) A.0B.- 4 3 C.0或- 4 3 D.- 1 2 或 2 3 6. 给出下列
3、四个说法，其中正确的是( ) A. 线段AB在平面内，则直线AB不在平面内B.三条平行直线共面 C.两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D.空间三点确定一个平面 7. 已知直线ax+ y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实数a=( ) A.1B.-1C.-2或1 D.2或1 8. 两圆C1: x2+ y2=1与C2:(x+3)2+ y2=4的公切线条数为 A.1B.2C.3D.4 9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距 离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线己知 ABC的顶点A 4,0， B 0,2，且A
4、C= BC，则ABC的欧拉线方程为( ) A.x-2y+3=0B.2x+ y-3=0C.x-2y-3=0D.2x- y-3=0 10.如图，直三棱柱ABC- A1B1C1中，AA1= AB= AC= BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为( ) A.- 1 2 B. 1 2 C.- 1 4 D. 1 4 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得5分，部分选对的得分，部分选对的得3分，有选错的得分，有选错的得
5、0分。分。 11.已知角A, B,C是ABC的三个内角，下列结论一定成立的有( ) A.sin B+C=sinAB.cos A+ B=cosC C.若A B,则sinAsinBD.若sin2A=sin2B，则ABC是等腰三角形 12.正方体ABCD- A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说法正确的是( ) A.BC1平面AQPB.A1D平面AQP C.异面直线A1C与PQ所成角为90D.平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分 13.一组数据：6,8,9,13的方差为. 14.已知两点
6、M(0,2), N(2,-2)，以线段MN为直径的圆的方程为. 15. 如右图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30和45， BAC =45，则B,C 两点间的距离为 m(俯角：在垂直面内视线与水平线的俯角：在垂直面内视线与水平线的 夹角)夹角) 16.平面四边形ABCD的对角线AC, BD的交点位于四边形的内部，已知AB=1，BC=2， AC=CD，ACCD，当ABC变化时，则BD的最大值为. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共6小题，共小题，共70分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 解答时应写
7、出文字说明、证明过程 或演算步骤 17. （本小题满分（本小题满分10分）分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，c=2 ， sinC= 7 4 ，且C为锐角. (1)求sinA的值； (2)求ABC的面积. 18. （本小题满分（本小题满分12分）分） 如图在长方体ABCD- A1B1C1D1中，E, F分别为BC,CC1的中点，AB= AD=2,AA1=3. (1)证明：EF平面A1ADD1； (2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值. 19. （本小题满分（本小题满分12分）分） 已知直线l:kx- y-4k+3=0 kR R，圆C: x2+ y2-6
8、x-8y+21=0. 1求证：直线l过定点M，并求出点M的坐标； 2若直线l与圆C交于A, B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程. 20. （本小题满分（本小题满分12分）分） 如图，四棱锥P- ABCD中，点E, F分别是侧棱PA, PC上的点，且EF/底面ABCD. 1求证：EF/AC； 2若PC底面ABCD，AC=3 BC，ABC=60，求证：EFPB. 21. （本小题满分（本小题满分12分）分） 根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外）,在公海上的安全距离为20 mile（即 距离不得小于 20 mile)，否则违反了国际海洋安全规定. 如图，在某公海区域有两
9、条相交成 60的直 航线XX /,YY/，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在OX,OY上的A, B处，起初OA=30 mile,OB= 10 mile，后来军舰甲沿XX /的方向，乙军舰沿Y/Y的方向，同时以40 mile/h的速度航行. 1起初两军舰的距离为多少？ 2试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由. 22. （本小题满分（本小题满分12分）分） 已知圆O: x2+ y2=1和点M(-1,-4). 1过点M向圆O引切线，求切线的方程； 2求以点M为圆心，且被直线y=2x-12截得的弦长为8的圆M的方程； 3设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试
10、探究：平面内是否存在一定 点R，使得 PQ PR 为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 20192020学年度第二学期高一期中考试 数学参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共10小题，每题小题，每题5分，共分，共50分。在每小题提供的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C 9.D 10.D 二、多选题：多项选择题：本题共二、多选题：多项选择题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分。在每小题给
11、出的四个选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得 分。在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得分，部分选对的得3分，有选错的得分，有选错的得0分。分。 11.AC 12.ACD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写 在答题卡相应位置上 分不需写出解答过程，请把答案直接填写 在答题卡相应位置上 13. 13 2 14. (x-1)2+ y2=5 15.2002 16. 22 +1 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共6小题，共小题，共70分请在答题卡指定区域内作答分请在
12、答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 17. 解：（1）在ABC中，由正弦定理有： a sinA = c sinC ，解得sinA= 14 8 ； 4分 （2）因为sinC= 7 4 ，且C为锐角，所以cosC= 3 4 ， 在ABC中，由余弦定理有： c2=a2+b2-2abcosC，解得b=2； 所以ABC的面积为SABC= 1 2 absinC= 7 4 . 10分 18. 解：（1）连接BC1,在BDC1中，由E, F分别为BC,CC1的中点， 可得：EFBC1， 在长方体ABCD- A1B1C1D1中， ABC
13、1D1，AB=C1D1， 因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1AD1 所以EFAD1, EF平面A1ACD1，AD1平面A1ACD1， 所以EF平面A1ACD1； 6分 （2）在长方体ABCD- A1B1C1D1中，连AD1 C1D1平面A1ADD1，所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1， 所以C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成角 由题意知：AC1=22+22+32=17 在RtAD1C1中，sinC1AD1= C1D1 AC1 = 2 17 = 217 17 ， 即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为 217 17 . 12分 19. 解：（1）直线l:k
14、x- y-4k+3=0可化为： x-4k- y+3=0，可得 x-4=0 -y+3=0 x=4 y=3 高一数学(答案) 第5页（共4页） 所以直线l过定点M 4,3. 6分 （2）由圆的几何性质可知，当直线lMC时，弦长最短， 因为直线MC的斜率为-1，所以直线l的斜率为1， 此时直线l的方程为x - y - 1 = 0. 12 分 20. 解：（1）因为EF/平面ABCD，EF平面PAC，平面PAC平面ABCD= AC， 由线面平行的性质定理，可得EF/AC. 5分 （2）在三角形ABC中，因为AC=3 BC ，且ABC=60， 由正弦定理可得 AC sin60 = BC sinBAC ，
15、解得BAC=30. 得ACB=90，即ACBC； 又PC平面ABCD，AC平面ABCD，故可得PCAC， 又BC, PC平面PBC，且BCPC=C， 可得AC平面PBC，又因为PB平面PBC， 则ACPB；又因为EF/AC， 得EFPB，即证 .12 分 21解：（1）连结AB，在ABO中， 由余弦定理得AB=100+900-21030cos60o=107 所以：起初两军舰的距离为107 mile. 4分 （2）设t小时后，甲、乙两军舰分别运动到C, D，连结CD 当0 3 4 时，同理可求得CD=10 48t2-24t+7 7分 所以经过t小时后，甲、乙两军舰距离CD=1048t2-24t+
16、7（t0） 8分 因为CD=1048t2-24t+7=1048(t- 1 4 )2+4 因为t0，所以当t= 1 4 时，甲、乙两军舰距离最小为20mile. 10分 又2020，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定. 12分 22. 解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为x=-1，为圆O的切线； 当切线O的斜率存在时，设直线方程为y+4=k(x+1)， 即kx- y+k-4=0， 圆心O到切线的距离为 |k-4| k2+1 =1，解得k= 15 8 ， 直线方程为15x-8y-17=0 高一数学(答案) 第5页（共4页） 综上切线的方程为x=-1或15x-8y-17=0， 3
17、 分 （2）点M(-1,-4)到直线2x- y-12=0的距离为d= |-2+4-12| 5 =2 5 ， 圆被直线y=2x-12截得的弦长为8，r=(25 )2 +42 =6， 圆M的方程为(x+1)2+(y+4)2=36， 6分 （3）假设存在定点R，使得 PQ PR 为定值， 设R(a,b)，P(x, y)， PQ2 PR2 = 点P在圆M上， (x+1)2+(y+4)2=36，则x2+ y2=-2x-8y+19 PQ为圆O的切线， OQPQ，PQ2= PO2-1= x2+ y2-1， PR2=(x-a)2+(y-b)2， x2+ y2-1= (x-a)2+(y-b)2 即-2x-8y+
18、19-1= -2x-8y+19-2ax-2by+a2+b2 整理得(-2+2+2a)x+(-8+8+2b)y+ 18-19-a2-b2= 0(*) 若使(*)对任意x, y恒成立，则 -2+2+2a=0 -8+8+2b=0 18-19-a2-b2=0 ， a= 1- b= 4-4 ，代入得18-19- 1- 2- 4-4 2=0 ， 化简整理得362-52+17=0，解得= 1 2 或= 17 18 ， = 1 2 a=1 b=4 或 = 17 18 a= 1 17 b= 4 17 ， 存在定点R(1,4)，此时 PQ PR 为定值 2 2 或定点R 1 17 , 4 17 ， 此时 PQ PR 为定值 34 6 . 12分 高一数学(答案) 第5页（共4页）
