1、机械能守恒定律协变性疑难叶邦角叶邦角中国科学技术大学物理学院中国科学技术大学物理学院中国科学技术大学物理学院中国科学技术大学物理学院力学力学教学组教学研讨会，教学组教学研讨会，2010年元旦，年元旦，安庆安庆l伽利略变换与相对性原理l动能定理的协变性l机械能守恒定律不满足协变性吗？l相对性原理与协变性一、伽利略变换与力学相对性原理1.伽利略变换2.力学的相对性原理相对性原理相对性原理l 物理学的基本规律在不同的惯性系具有相同的形式，或物理学规律是满足伽利略协变性的。l 即表达基本规律的数学关系式在不同惯性系形式相同，数学关系式相同的意思不是指数值相同，而是其形式相同。,aaFF mmFmaFm
2、a在两个相互做匀速直线运动的惯性系中，牛顿定在两个相互做匀速直线运动的惯性系中，牛顿定律具有相同的形式。律具有相同的形式。l牛顿定律服从相对性原理，故由牛顿定律推导牛顿定律服从相对性原理，故由牛顿定律推导出的一切规律都应服从相对性原理出的一切规律都应服从相对性原理l动量定理、动能定理、角动量定量等都是牛顿动量定理、动能定理、角动量定量等都是牛顿定律的推论，它们当然应该服从相对性原理定律的推论，它们当然应该服从相对性原理l力学的规律或公式可以直接从力学的规律或公式可以直接从S系转换成系转换成S系，系，只需在公式中把所有物理量变成带只需在公式中把所有物理量变成带“”的物的物理量。理量。0()iii
3、iiiF dtm vv0()iiiiiiFdtm vv212niiijiijiipiF drfdrdmvdE非保内ij212niiijiijiipiFdrfdrdmvdE非保内ij()iiiiiid rprFdt()iiiiiid rprFdtS系系S系系设有一保守的(即只有保守内力的)力学系统，在惯性系S中第i个质点的位置矢量为ri，所受外力为Fi，内力为 fi，则牛顿定律为iiiidvFfmdt二、动能定理的协变性下面由伽利略变换来证明动能定律满足相对下面由伽利略变换来证明动能定律满足相对性原理。性原理。1.从牛顿定理到动能定理 两边乘以第两边乘以第 i个质点的位移个质点的位移dri=vi
4、dt，可得，可得21()2iiiiiiiiiF drfdrmv dvdmv对全部质点取和对全部质点取和21()2nnniiiiiiiiiF drfdrdmv此即系统的功能定理此即系统的功能定理注意，第一式两边所乘的注意，第一式两边所乘的dri，是第，是第i个质点相对于惯性个质点相对于惯性系系S的位移、如果不是相对于的位移、如果不是相对于S系的位移，而乘以相对系的位移，而乘以相对于别的参考系的位移，则于别的参考系的位移，则dri=vidt将不成立，上式右边将不成立，上式右边也就得不出来了也就得不出来了.对于保守系统有势能的概念：对于保守系统有势能的概念：npiiidEfdr 21()2nniii
5、ipiifdrdmvE此即保守系统的功能定理此即保守系统的功能定理iiiirrutvvu2.动能定理的伽利略变换()iiiiiiiiiiF drFdrudtF drFudt可见，在一般情况下可见，在一般情况下,外力对系统所作的功与参考外力对系统所作的功与参考系有关系有关l功的变换l动能的变换2222211()2211()221()2iiiiiiiiiiiiiiiiiiiidmvdm vudmvumvm udmvu dmv222211 2211 ()()22iiiiiiiiiiiimvmvdmvdmv不仅而且即不仅动能与参考系有关，而且动能的改变也与参考即不仅动能与参考系有关，而且动能的改变也与
6、参考系有关系有关(顺便提一下，动量与此不同，虽然动量也与顺便提一下，动量与此不同，虽然动量也与参考系有关，但动量的改变却与参考系无关参考系有关，但动量的改变却与参考系无关)l势能增量的变换()()piiiiiiiiiiipiiidEfdrfdrudtfdruf dtfdrdE 可见势能与动能不同，它与参考系无关可见势能与动能不同，它与参考系无关l动能定理的整体变换()()iiiiiiiiFudtdmvuu dmv21()2iiiiiiipiiiiF drFudtdmvu dmvdE212iiiipiiF drdmvdE这就证明了保守体系的质点组的动能定理是服从这就证明了保守体系的质点组的动能定
7、理是服从伽利略相对性原理的伽利略相对性原理的如果内力存在着像摩擦力这样的非保守内力，则：如果内力存在着像摩擦力这样的非保守内力，则：nnnnijiiiipijijijijfdrfdrfdrfdrdE保内ij非保内ij非保内ij非保守内力总是成对出现，在经典力学中满足牛顿第非保守内力总是成对出现，在经典力学中满足牛顿第三定律，因此三定律，因此nniijijijfdrfdr非保内ij非保内ij与参照系选与参照系选择无关！择无关！3.非保守体系的动能定理也满足相对性原理212niiijiipiijiFdrfdrdmvdE非保内ij212niiijiipiijiF drfdrdmvdE非保内ijnni
8、jijijijfdrfdr非保内ij非保内ij 机械能守恒定律是在一定条件下的动能定理，机械能守恒定律是在一定条件下的动能定理，它并非牛顿定律的单纯推论。它并非牛顿定律的单纯推论。它是否满足相对性它是否满足相对性原理就要看这个条件是否满足相对性原理了。原理就要看这个条件是否满足相对性原理了。三、机械能守恒定律不满足协变性吗？212iipiEmvEconst0 (*)dAdA外非保内0,00,0dAdAdAdA外非保内外非保内 0,00 dAdAdAdA外外非保内非保内如果，但则则:机械能守恒定律满足相对性原理机械能守恒定律满足相对性原理 【例例】若施于两物体的水平力若施于两物体的水平力F1=F
9、2=m mmg，两物，两物体作匀速相对运动则对两物体组成的系统，外体作匀速相对运动则对两物体组成的系统，外力力F1和和F2作功之和恰好等于系统内部摩擦力作功作功之和恰好等于系统内部摩擦力作功之和，满足式之和，满足式(*)条件两物体都作惯性运动，变条件两物体都作惯性运动，变换惯性系不会改变惯性运动只能改变作惯性运换惯性系不会改变惯性运动只能改变作惯性运动的速度，机械能守恒对一切惯性系成立，只是动的速度，机械能守恒对一切惯性系成立，只是对不同惯性系，系统有不同的动能值对不同惯性系，系统有不同的动能值由式由式(*)所表述的机械能守恒条件，若在某惯性系中成所表述的机械能守恒条件，若在某惯性系中成立，当
10、变换到另一惯性系时是否仍然成立立，当变换到另一惯性系时是否仍然成立若满足式若满足式(*)的条件，则因非保守内力做功与参考系选的条件，则因非保守内力做功与参考系选择无关，从一个惯性系变换到另一个惯性系不会引起择无关，从一个惯性系变换到另一个惯性系不会引起改变改变.l 问题在于在惯性系问题在于在惯性系 dA外外=0，变换到另一惯性系，变换到另一惯性系,dA外外是否还为零是否还为零.l 当然，如果作用在每个质点上的外力当然，如果作用在每个质点上的外力Fi满足和为零或满足和为零或Fi=0，不难证明，若在惯性系中，不难证明，若在惯性系中dA外外=0，当变换到另，当变换到另一惯性系一惯性系S 时，仍有时，
11、仍有dA外外=0 0,0 dAdA外非保内如果l 证明如下：设在惯性系有证明如下：设在惯性系有:由机械能守恒有由机械能守恒有:21()02iipidmvEi 0,0 0idAdAF外非保内如果以以u表示惯性系表示惯性系 S相对于相对于S系的平动速度系的平动速度:vvu2222211()()()221()21()21()2iipijiipijiiiiipijiiiiipijiiiiipijidmvErdm vuErdvdmvErmudtdtdmvErF udtdmvEr21()02iipijidmvEr这就证明了机械能守恒的陈述在上述条件下满这就证明了机械能守恒的陈述在上述条件下满足相对性原理足
12、相对性原理l 倘若系统倘若系统 F=S SFi 0，而且，而且 F 的方向也不垂直于的方向也不垂直于v，则没有上述结果这时，对某惯性系为机械能守则没有上述结果这时，对某惯性系为机械能守恒的系统，变换到另一惯性系恒的系统，变换到另一惯性系，机械能不再守，机械能不再守恒从机械能守恒条件看，恒从机械能守恒条件看，dA外外=0的条件当变换的条件当变换到另一惯性系时到另一惯性系时dA外外 0!l 这种例子是很多的，例如单摆的悬挂点的约束力，这种例子是很多的，例如单摆的悬挂点的约束力，弹簧振子的墙上固定点的约束力，在某惯性系中弹簧振子的墙上固定点的约束力，在某惯性系中不作功，当变换到另一惯性系不作功，当变
13、换到另一惯性系 时就有可能作时就有可能作功这时机械能守恒的陈述就不再满足相对性原功这时机械能守恒的陈述就不再满足相对性原理理【例例】考虑下面的过程：一滑块的质量为考虑下面的过程：一滑块的质量为m，用劲，用劲度系数为度系数为k的轻弹簧将它与墙壁的轻弹簧将它与墙壁B点相联并置于光点相联并置于光滑的水平面上，开始时拉开物体微小的距离后释滑的水平面上，开始时拉开物体微小的距离后释放，系统开始做简谐振动，如图放，系统开始做简谐振动，如图1A所示，如果在所示，如果在旁边有一小车以速度旁边有一小车以速度u向右匀速运动，对小车为参向右匀速运动，对小车为参照系，该系统的机械能守恒吗？照系，该系统的机械能守恒吗？
14、以地面为参考系，弹簧在墙壁以地面为参考系，弹簧在墙壁B点有力，但没有点有力，但没有位移，不做功，支持力与重力不做功，因而有位移，不做功，支持力与重力不做功，因而有:22220011112222mvkxmvkx一小车为参考系，弹簧在墙壁一小车为参考系，弹簧在墙壁B B点有力，有位移，点有力，有位移，要做功：要做功：2222001111()()2222BBFxm vukxm vukx对小车，该系统的机械能不守恒！对小车，该系统的机械能不守恒！不需写成（不需写成（x-ut)!0()BBBxAFxFtu pum vvt 22220011112222mvkxmvkx可见，与在地面参考系中的机械能守恒式子
15、是等价的！可见，与在地面参考系中的机械能守恒式子是等价的！22220022220001111()()22221111()()2222BBFxm vukxm vukxmvkxmvkxmu vv机械能守恒定律真的不满足协变性吗？四、相对性原理与协变性1.相对性原理的准确含义相对性原理的准确含义相对性原理相对性原理(表述表述I)I):如果如果S是惯性系，则相对于是惯性系，则相对于S作匀速运动而无转动的其它参考系作匀速运动而无转动的其它参考系S 也是惯性系；也是惯性系；自然界定律对于所有惯性系都是相同的自然界定律对于所有惯性系都是相同的.相对性原理的后一半是指，如果惯性系相对性原理的后一半是指，如果惯
16、性系S中有一条定律，中有一条定律，则任意另一惯性系则任意另一惯性系S中必存在一条对应的定律，并且两中必存在一条对应的定律，并且两者的内容和形式者的内容和形式(在同类坐标下，例如都采用直角坐标，在同类坐标下，例如都采用直角坐标，但空间坐标轴不一定互相平行，两个四维时空原点不一但空间坐标轴不一定互相平行，两个四维时空原点不一定重合定重合)都相同，即只要把前者表达式中的物理量理解都相同，即只要把前者表达式中的物理量理解为相对于惯性系为相对于惯性系S 而言即成后者，而不需另行证明而言即成后者，而不需另行证明.相对性原理相对性原理(表述表述):):如果如果S是惯性系则相对于是惯性系则相对于S作作匀速运动
17、而无转动的其它参考系匀速运动而无转动的其它参考系S也是惯性系；自也是惯性系；自然界全部定律所构成的大集合在惯性系之间的变然界全部定律所构成的大集合在惯性系之间的变换下是协变的换下是协变的.例如例如:麦克斯韦方程组是洛伦兹协变的但单拿其中一个麦克斯韦方程组是洛伦兹协变的但单拿其中一个方程，例如高斯定理来变换，结果的形式就较复杂，不方程，例如高斯定理来变换，结果的形式就较复杂，不能通过等价变形化为原来的形式把高斯定理和修正的能通过等价变形化为原来的形式把高斯定理和修正的安培定律联立在一起进行洛伦兹变换，然后再在新参考安培定律联立在一起进行洛伦兹变换，然后再在新参考系中对变换结果进行等价变形，即可化
18、为具有原来形式系中对变换结果进行等价变形，即可化为具有原来形式的两个新方程的两个新方程.【协变集协变集】如果自然界若干定律联立在一起，进行参考系变如果自然界若干定律联立在一起，进行参考系变换，然后再在新参考系中对变换结果进行等价变形，可化为换，然后再在新参考系中对变换结果进行等价变形，可化为具有原来形式的全部新定律，则这些定律称为是联立协变的，具有原来形式的全部新定律，则这些定律称为是联立协变的，这些定律作为元素所构成的集合称为协变集这些定律作为元素所构成的集合称为协变集.2.协变集l 只含有一个元素的协变集称为单元素协变集。只含有一个元素的协变集称为单元素协变集。l 几个协变集的并集显然仍是
19、协变集。几个协变集的并集显然仍是协变集。l 元素不能再减少的协变集称为最小协变集。元素不能再减少的协变集称为最小协变集。l 电动力学中表示成某阶四维张量等式的规律集都是电动力学中表示成某阶四维张量等式的规律集都是协变集。协变集。l 每一标量定律构成单元素协变集。每一标量定律构成单元素协变集。如麦克斯韦方程组中的高斯定理与修正的安培定如麦克斯韦方程组中的高斯定理与修正的安培定律，法拉第定律与磁感应通量守恒定律分别构成两律，法拉第定律与磁感应通量守恒定律分别构成两个四元素最小协变集；电荷守恒定律构成单元素最个四元素最小协变集；电荷守恒定律构成单元素最小协变集。小协变集。l 相对性原理相对性原理(表
20、述表述):):如果如果S是惯性系，则相对是惯性系，则相对于于S作匀速运动而无转动的其它参考系作匀速运动而无转动的其它参考系,S也是惯也是惯性系；自然界每一定律至少属于一个协变集性系；自然界每一定律至少属于一个协变集.此外此外,虽然存在着单独协变的定律，但许多事实，如虽然存在着单独协变的定律，但许多事实，如麦克斯韦方程组中各定律均不单独协变麦克斯韦方程组中各定律均不单独协变.因此有因此有:不都单独协变原则不都单独协变原则:自然界的定律自然界的定律不都不都单独协变单独协变因为协变概念下的相对性原理因为协变概念下的相对性原理(表述表述和和)并不要并不要求每一定律都单独协变，所以我们不能把不单独协求每
21、一定律都单独协变，所以我们不能把不单独协变的定律说成它们不满足或不服从相对性原理；变的定律说成它们不满足或不服从相对性原理；仅当一个定律既不单独协变，又不属于一个协变集时它才算“不服从相对性原理”.ABABABCDS系系S系系设惯性系设惯性系S中的中的A 和和B定理，只联立协变而不单独协变定理，只联立协变而不单独协变表述表述l表述表述III联立协变联立协变【例例】牛顿第二定律的牛顿第二定律的x分量分量:22xd xFmdt当当S 系的系的 Z轴平行于轴平行于S系的系的 Z轴，而轴，而Z 轴与轴与Z轴成轴成角度角度q q时时,上式转变为不同的形式：上式转变为不同的形式：2222cossincos
22、sinxyd xd yFFmmdtdtqqqq22xd xFmdt而不是简单地写成而不是简单地写成:l最小协变集的求法最小协变集的求法:如果如果A(a)A(a)是某阶三维张量是某阶三维张量定律的分量，那末，最小协变集必含整个张量定定律的分量，那末，最小协变集必含整个张量定律故寻求后者律故寻求后者(仍以仍以A(a)A(a)表示表示)所属于的最小协所属于的最小协变集变集.1)麦克斯韦方程组中的高斯定理与修正的安培定麦克斯韦方程组中的高斯定理与修正的安培定律，法拉第定律与磁感应定律分别构成两个四律，法拉第定律与磁感应定律分别构成两个四元素最小协变集元素最小协变集;电荷守恒定律构成单元素协电荷守恒定律
23、构成单元素协变集变集 2)机械能守恒定律式属于机械能守恒定律式属于 b为参数的功能定为参数的功能定理最小协变集：理最小协变集：21 2iipiEmvEconst则0 (1)ijiiijijijFdrfdr如果0 (2)dEdt机械能守恒定律可表示为机械能守恒定律可表示为:对任一惯性系对任一惯性系S,条件条件(1)蕴含性质蕴含性质(2)ijiiijijijdEFdrfdrbbdt最小协变集最小协变集:结束语l 以机械能守恒定律为代表的协变性疑难不复存在以机械能守恒定律为代表的协变性疑难不复存在.以往困惑的根源在于误以为相对性原理要求自然以往困惑的根源在于误以为相对性原理要求自然界每一定律都单独协
24、变，而这一误解又与包括爱界每一定律都单独协变，而这一误解又与包括爱因斯坦、朗道等人的著作在内的已往所有著作表因斯坦、朗道等人的著作在内的已往所有著作表述欠确切有关：述欠确切有关：l 他们都只说相对性原理要求自然界定律在参考系他们都只说相对性原理要求自然界定律在参考系变换下是形式不变的，而来指出联立协变和单独变换下是形式不变的，而来指出联立协变和单独协变都符合要求，甚至根本末引进联立协变的概协变都符合要求，甚至根本末引进联立协变的概念念.所有文献在证明定律的洛伦兹协变性时都无一所有文献在证明定律的洛伦兹协变性时都无一例外地应用了四维张量形式不变性定理，然而它例外地应用了四维张量形式不变性定理，然而它们都只把这们都只把这“配张量配张量”的方法单纯地解释为证明的方法单纯地解释为证明各有关定律具有洛伦兹协变性的一种技巧各有关定律具有洛伦兹协变性的一种技巧,而从未而从未提及它所反映的实质是各分量等式只具有联立协提及它所反映的实质是各分量等式只具有联立协变性，而无单独协变性变性，而无单独协变性(零阶张量除外零阶张量除外).Happy New Year!Thank you!
