1、2019届中考数学总复习：方案设计与决策型问题【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要如让学生设计图形、设计测量 方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主.方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题题型 主要包括：1 根据实际问题拼接或分割图形；2 利用方程（组）、不等式（组）、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等.方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题， 这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视.【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，
2、是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到 适合题意的最佳方案.解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所 建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1 . （2016?凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买 A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台 A型污水处理设备12万元，每台B型污水 处理设备10万元.已知1台A型污水处理设备和 2台B型污水处理设备每周可以处理污水 640吨，2台 A型污水处理设备和 3台B型污水处理设备每周可以
3、处理污水 1080吨.（1 ）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【思路点拨】（1） 根据1台A型污水处理设备和 2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金， 从而可以解答本题.【答案与解析】解：（1 ）设A型污水处理设备
4、每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，忙缽640解得，产240|.2x+3y=1080ly=200即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备 x台，则购买B型污水处理设备（20 - x）台，则12x+10（20-：k）230、l240x+200（20-x）450C解得，12.5 x w 15,第一种方案：当 x=13时，20 - x=7,花费的费用为：13X 12+7X 10=226万元；第二种方案：当 x=14时，20 - x=6,花费的费用为：14X 12+6X 10=228万元；
5、第三种方案；当 x=15时，20 - x=5,花费的费用为：15X 12+5X 10=230万元；即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备 7台时，所需购买资金最少，最少是226万元.【总结升华】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找 出所求问题需要的条件.举一反三：【变式】某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6 : 5.(1) 求出该班男生与女生的人数；(2) 学校要从该班选出 20人参加学校的合唱团，要求：男生人数不少于7人；女生人数超过男生人数2人以上请问男、女生人数有几种选择方案？【答案】解：(1)设男生有6x人，则女生有5x
6、人.依题意得：6x+ 5x = 55,x= 5,.6 x = 30,5 x = 25.答：该班男生有 30人，女生有25人.(2)设选出男生y人，则选出的女生为(20 y)人.由题意得：20 一yy2,ly7解得：7w y9, y的整数解为：7、8.当 y= 7 时，20 y = 13,当 y= 8 时，20 y = 12.答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生 8人，女生12人.类型二、利用不等式(组)进行方案设计2 温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球某制笔企业欲将n件产品运往 A, B, C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示设安
7、排x件产品运往 A地.(1)当 n= 200 时， 根据信息填表:A地B地C地合计产品件数(件)x2x200运费(元)30x 若运往B地的件数不多于运往 C地的件数，总运费不超过 4000元，则有哪几种运输方案? 若总运费为5800元，求n的最小值.【思路点拨】(1)运往B地的产品件数=总件数 n运往A地的产品件数运往 C地的产品件数：运费=相应件 数x件产品的运费；根据运往 B地的件数不多于运往 C地的件数，总运费不超过 4000元列出不等式组，求得整数解 的个数即可；(2)总运费=A产品的运费+ B产品的运费+ C产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中得到的 x的取值求得n的最小值即可
8、.【答案与解析】(1)根据信息填表:由题意得200 - 3x 辽 2x1600 56x 空 4000A地B地C地合计产品件数(件)200 3x运费(元)1 600 24x50x56x + 1 600解得 40W x0,. x0,. 01 300，解得： 一w a 210;国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数w 770.【答案与解析】解：(1)设改造一所A类学校的校舍需资金 x万元，改造一所 B类学校的校舍需资金 y万元,则X 3厂4803x y = 400x = 90，解得ly =130第15页共13页130万元.答：改造一所 A类学校的校舍需资金 90万元，改造一所 B
9、类学校的校舍需资金 设A类学校应该有a所，则B类学校有(8 a)所.20a 30(8叼210，解得齐3(90-20)a (130 -30)(8 - a) w 770a 1 1w aw 3,即卩 a= 1,2,3.答：有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所; 方案二：A类学校有2所，B类学校有6所;方案三：A类学校有3所，B类学校有5所.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系理解“国家财政拨付的改造资金不超过 770万元，地方财政投入的资金不少于210万元”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键.举一反三：【变式】为表彰在“缔造完美教室”
10、活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品已 知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元.(1) 每个文具盒、每支钢笔各多少元？(2) 时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠若买 x个文具盒需要 y元，买x支钢笔需要y2元，求灯、呼关于x的函数 关系式；(3) 若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱.【答案】解：(1)设每个文具盒x元，每支钢笔y元，由题意得5X 2y=100，解得 x4.4x 7y =161y =15答：每个文具盒14元，每支钢笔15元.(
11、2) 由题意知，y1关于x的函数关系式为 y1 = 14X 90%x，即y = 12.6 x.由题意知，买钢笔 10支以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y2= 15x.当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为y2= 15X 10+ 15X 80%(x 10),即 y = 12x+ 30.(3) 当屮今2, 即卩 12.6x12x + 30 时，解得 xy2, 即卩 12.6x12x + 30 时，解得 x50.综上所述，当购买奖品等于10件但少于50件时，买文具盒省钱；当购买奖品等于50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；当购买奖品超过 50件时，买钢笔省钱.类型四、利用
12、函数知识进行方案设计4. ( 2015?深圳模拟)将220吨物资从A地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15 (吨/辆)和10 (吨/辆)，运往甲、乙两地的运费如表1：(1) 求这两种货车各需多少辆？(2) 如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，填写表2，写出运费w (元)与a的函数关系式若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费.表1甲地(元/辆)乙地(元/辆)货车700800小货车400600表2.甲地乙地大货车a辆辆小货车辆辆【思路点拨】（1） 设需要大货车x辆，则需要小
13、货车（18 - x）辆，根据两种货车的运货总量为220吨建立方程求出 其解即可（2） 由安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为 a辆，则甲地的小货车为（8 -a）辆，乙地的大货车为（8 - a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W与a的关系式，由运往甲地的物资不少于110吨建立不等式求出 a的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论.【答案与解析】解：（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18 -x）辆，由题意，得15X+10 （18 -x） =220,解得：x=8, 需要小货车18 - 8=10辆.答：需要大货车8辆，则需要小货车 10辆；（2
14、）设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8 - a）辆，乙地的大货车为（8 - a）辆，小货车（2+a）辆，表格2答案为：大货车去乙地（8 - a）辆，小货车去甲、乙两地各（8- a）辆，（2+a）辆.由题意，得W=700a+800 （8- a） +400 （8- a） +600 （2+a）, W=100a+10800 .15a+10 （8 - a） N10,a为./ k=100 0, W随a的增大而增大， a=6 时，W 最小=11400,运往甲地的大货车 6辆，小火车2辆，运往乙地的大货车 2辆，小火车8辆.最小运费为11400辆. 【总结升华】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式
15、的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键.类型五、利用几何知识进行方案设计【高清课堂：方案设计与决策型问题例1】5. 某区规划修建一个文化广场 （平面图形如图所示）,其中四边形ABCD是矩形，分别以AB BC CD DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为 628米，矩形的边长 AB=y米,BC=x米.（注：取n =3.14）（1）试用含x的代数式表示y;（2）现计划在矩形ABC区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为 428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为 400元； 设该工程的总造价为 W元，求W关于x的函数关系式
16、； 若该工程政府投入 1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说 明理由 若该工程在政府投入 1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由【思路点拨】(1)把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；(2 利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即 可解答； 利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论； 建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决
17、问题.【答案与解析】解：(1)由题意得，n y+ n x=628 ,/ 3.14y+3.14x=628 , y+x=200 则 y=200 - x;(2W=428xy+400n (-y)2+400 n (-)2 ,2(200 -x)+400X 3.14 X2 2=428x (200 - x) +400X 3.14 X2=200x - 40000X+12560000 ; 仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务理由如下,277由知 W=200(x- 100) +1.056 X 10 10 ,所以不能；22 由题意可知：x y即xw(200 - x)解之得x 80,33 0w x340 16a
18、+20X( 10-a )170 由得 40a+300-30a340, a4 由得 16a+200- 20a 170, a7060x4-85（6- x） - 10k+15 （&- x） 380 ?解得2$ 4,又因为x是整数，-x=2、3、4、6 x=4、3、2.所以共有三种方案：改造A类学校2所，B类学校4所；改造A类学校3所，B类学校3所；改造A类学校4所，B类学校2所. 设改造方案所需资金 W万元w=60x+85 (6 x) = 25X+510.所以当x=4时，w最小=410.答：改造A类学校4所B类学校2所用资金最少为410万元.8. 【答案与解析】解：设涨价x元，利润为y元，贝U方案一
19、：y = (50 x -40)(500-10x) - -10x2 400x 5000 - -1O(x - 20)2 9000方案一的最大利润为 9000元；方案二：y 二(50 -40) 500p -1000m 二-2000m2 9000m 二-2000(x -2.25)2 10125方案二的最大利润为10125元； 选择方案二能获得更大的利润 9 【答案与解析】解:(1)设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池(20 x)个.依题意得：5x +2(20 -x )兰365解得：7 x 9 J8x +30(20 -x 淫492T x 为整数， x = 7 , 8 , 9 ,满足条件的方案有三种(2
20、)设建造A型沼气池x个时，总费用为 y万元，则：y =2 x +3(20 x)= x+ 60T 10,. y随x增大而减小，当x=9时，y的值最小，此时 y=51（万元）此时方案为：建造 A型沼气池9个，建造B型沼气池11个.解法：由（1）知共有三种方案，其费用分别为：方案一：建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，总费用为：7 X 2 + 13 X 3 = 53（ 万元 ）方案二：建造A型沼气池8个， 建造B型沼气池12个，总费用为:8 X 2 + 12 X 3 = 52（ 万元 ）方案三：建造A型沼气池9个， 建造B型沼气池11个，总费用为：9 X 2 + 11 X 3 = 51（ 万元 ）方案三最省钱 .10.【答案与解析】如图中平行四边形即为所求
