1、第第21章章 一元二次方程一元二次方程 复习与小结复习与小结1 1、一元二次方程、一元二次方程 等号两边都是等号两边都是 ，只含有，只含有 未知数（一未知数（一元），并且未知数的最高次数是元），并且未知数的最高次数是 的方程，叫做的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程。2 2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式一般形式一般形式：(a(a 0 0 )，其中是其中是 二次项，二次项，是二次项系数；是二次项系数；bxbx是一次项，是一次项，是一次项系数；是一次项系数；c c是是 。3 3、一元二次方程的根、一元二次方程的根使方程使方程 的未知数的值，叫做一元的未知数的值，叫做一元二次方程
2、的解，也叫做二次方程的解，也叫做 .b b常数项常数项左右两边都相等左右两边都相等一元二次方程的根一元二次方程的根02cbxax2axa a整式整式一个一个2 2练一练0132mxmxm|1 1、在下列方程中，是一元二次方程的有、在下列方程中，是一元二次方程的有 3x+7=0 3x+7=0 ax+bx+c=0 ax+bx+c=0 (x-2)(x+5)=x-1 (x-2)(x+5)=x-1 3x-=0 3x-=02 2、当、当m m 时，关于时，关于x x的方程的方程 是一元二次方程。是一元二次方程。x5=2=23 3、方程、方程3x-3=2x+13x-3=2x+1的二次项系数为的二次项系数为
3、，一次项系数，一次项系数为为 ，常数项为，常数项为 4 4、已知方程、已知方程5x+mx-6=05x+mx-6=0的一个根是的一个根是x=3,x=3,则则m m的值为？的值为？56xx213 3-2-2-4-45652x5m52-3解解：即即3x=3x=即即 m=-13知识点二知识点二 降次降次解一元二次方程解一元二次方程1 1、配方法、配方法 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个个 来解。来解。步骤：步骤：方程化为一般形式方程化为一般形式;移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；项；化二次项
4、系数为化二次项系数为1 1；一元一次方程一元一次方程 配方，方程两边都加上配方，方程两边都加上 ，方程左边是完全平方式，从而原方程化为（方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+nmx+n）=p=p的形式；的形式；如果如果p0p0就可以用开平方降次来求出方程的解了，就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果如果p p0,0,则原方程则原方程 一次项系数一半的平方一次项系数一半的平方无实数根无实数根 2 2、公式法、公式法方法：先将一元二次方程化为一般形式方法：先将一元二次方程化为一般形式axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)当当=00时，将时，将 a、b、c代入求根公式代入求根公
5、式就得到方程的根就得到方程的根.042422acbaacbbxb-4ac 3 3、分解因式法、分解因式法 先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 的形式，再使这两个一次式分别等于的形式，再使这两个一次式分别等于 ,从而降次从而降次步骤：步骤：通过移项将方程右边化为通过移项将方程右边化为 ；通过因式分解将方程左边化为两个一次因式通过因式分解将方程左边化为两个一次因式的的 .令每个因式等于令每个因式等于 ，得到两个一元一次方程，得到两个一元一次方程;解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。零零零零零零零零乘积形式
6、乘积形式；练一练 解下列方程：x-4x-6=0;x-4x-6=0;解：解：(x-2(x-2）=10=10102x1102x221x,3x21解：解：2x-7x+3=0 2x-7x+3=0 （x-3x-3）(2x-1)=0(2x-1)=02x+3=7x2x+3=7x01x2x212 3x(x+2)=5(x+2)3x(x+2)=5(x+2)解：解：2xx210222x20)2x(22x,35x213x(x+2)-5(x+2)=03x(x+2)-5(x+2)=0 (3x-5)(x+2)=0 (3x-5)(x+2)=0解：解：一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？一元二次方程有哪些解法？各
7、种解法在什么情况下适用？体会降次在解一元二次方程中的作用体会降次在解一元二次方程中的作用配方法、公式法和因式分解法配方法、公式法和因式分解法配方法、公式法适用于所有的一元二次方程配方法、公式法适用于所有的一元二次方程因式分解法适用于某些一元二次方程因式分解法适用于某些一元二次方程 总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次化为一次方程，即降次思思 想想化为一次方程化为一次方程 得到一元二次方程的解得到一元二次方程的解 降次降次解一元一次方程解一元一次方程ac知识点三 一元二次方程根的判别式1 1、=b=b-4ac-4ac 叫一元二次
8、方程叫一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的的根的判别式。根的判别式。0 0 方程有方程有 实数根；实数根；=0 =0 方程有方程有 实数根；实数根；0 0 方程方程 ；2 2、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程如果一元二次方程ax+bx+c=0(aax+bx+c=0(a0)的两个实根是的两个实根是 那么那么 ，x,x21xx21xx21ab两个不等的两个不等的两个相等的两个相等的没有实数根没有实数根练一练练一练1 1、已知三角形两边长分别为、已知三角形两边长分别为2 2和和4 4，第三，第三边是方程边是方程x-4x+3=0 x-
9、4x+3=0的解，则这个三角形的解，则这个三角形的周长是的周长是2 2、已知、已知2 2和和-1-1是关于是关于x x的方程的方程2x+mx+n=02x+mx+n=0的两个根，则的两个根，则m m的值为的值为 ，n n的值为的值为3 3、已知方程、已知方程3x+2x-3=03x+2x-3=0的两根为的两根为 ，则则 xx2,1xx219 9-2-2-4-4xx21=。-1-192232 实际问题实际问题 实际问题的答案实际问题的答案数学问题数学问题002acbxax数学问题的解数学问题的解aacbbx242降降次次设未知数，列方程设未知数，列方程检检 验验解解 方方 程程配方法配方法公式法公式
10、法分解因式法分解因式法1、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡共送贺卡7272张，则这个小组共张，则这个小组共 人。人。2 2、一个两位数等于它的个位数的平方，且各、一个两位数等于它的个位数的平方，且各位数字比十位数字大位数字比十位数字大3 3，则这个两位数为，则这个两位数为3 3、若关于、若关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax-2x+6=0-2x+6=0有两有两个实数根，求个实数根，求a a的取值范围。的取值范围。9 92525或或3636解：依题意得解：依题意得a0,a0,=b-4ac=(-2)-4a=b-4ac=(-2)-4a6=4
11、-24a6=4-24a方程方程 有两个实数根有两个实数根04-24a0 04-24a0 得得 且且a a0 .0 .0622 xax61a61a4 4、k k为何值时，方程为何值时，方程x-(K+1)x+(k-2)=0 x-(K+1)x+(k-2)=0（1 1）两根互为相反数）两根互为相反数;（2 2）两根互为倒数）两根互为倒数(3)(3)有一根为零，另一根不为零。有一根为零，另一根不为零。解：解：(1)(1)（2 2）（3 3）0ab-xx211acxx2102kxx21即即k+1=0 k+1=0 即即 k-2=1k-2=1k=-1 k=-1 K=3K=3K=21.方程方程(2x1)(x3)
12、=x2+1化成一般形为化成一般形为 ，二次项系数、一次项系数和常数项分别是二次项系数、一次项系数和常数项分别是 .2.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（的是（）A.x22x=5 B.2x24x=5 C.x2+4x=5 D.x2+2x=5x2-5x-4=01，-5，-4C3.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，则这个小组共有（张，则这个小组共有（）A.12人人 B.18人人 C.9人人 D.10人人4.某超市一月份的营业额为某超市一月份的营业额为200万元万元,一、二、三月
13、份的一、二、三月份的 总营业额为总营业额为1000万元万元,设平均每月营业额的增长率为设平均每月营业额的增长率为x,则由题意列方程为（则由题意列方程为（）A.200+2002x=1000 B.200(1+x)2=1000 C.200+2003x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)2=1000CD 6.某商店经销一种销售成本为每千克某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品元的水产品,据市场分析，据市场分析，若以每千克若以每千克50元销售，一个月能售出元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨销售单价每涨1元，元，月销售量就减少月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商店想在
14、月销售成，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售元，销售单价应为多少单价应为多少?解：设销售单价为解：设销售单价为x元元.则月销售量为则月销售量为500-10(x-50)kg.由题意可得由题意可得 (x-40)500-10(x-50)=8000，解得解得 x1=60,x2=80，又又 40500-10(x-50)10000.x75.x=6075(舍去舍去)答：答：销售单价应为销售单价应为80元元.7.一个两位数，它的十位数字比个位数字小一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，且个，且个 位数字的位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数平方恰好等于这个两位数，求这个两位数.解：设十位数字是解：设十位数字是x，则个位数字是则个位数字是x+3，根据题意，根据题意，得得(x+3)2=10 x+x+3.整理得整理得x2-5x+6=0、解得、解得x1=2.，x2=3.当当x=2时，时，x+3=5；当；当x=3时，时，x+3=6.这个两位数是这个两位数是25或或36.
