1、第第1313讲二次函数讲二次函数(二二)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与字母系数之间的关系的图象与字母系数之间的关系上上项目项目字母字母字母字母的符号的符号图象的特征图象的特征a aa0a0开口向开口向 a0a00对称轴在对称轴在y y轴轴 侧侧abab00c0抛物线与抛物线与y y轴轴 半轴相交半轴相交c0c0-4ac0抛物线与抛物线与x x轴有轴有 交点交点b b2 2-4ac0-4ac0抛物线与抛物线与x x轴轴 交点交点原点原点正正负负x x两个两个没有没有二次函数图象的平移二次函数图象的平移1.1.将抛物线表达式转化成顶点式将抛物线表达式转化成顶点式
2、y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,确定其顶点坐标确定其顶点坐标 .2.2.保持抛物线保持抛物线y=axy=ax2 2的形状不变的形状不变,将其顶点平移到将其顶点平移到 处处,具体平移方具体平移方法如下法如下:(h,k)(h,k)(h,k)(h,k)应用二次函数模型解决实际问题的步骤应用二次函数模型解决实际问题的步骤1.1.根据题意确定二次函数的表达式根据题意确定二次函数的表达式;2.2.根据已知条件确定自变量的取值范围根据已知条件确定自变量的取值范围;3.3.利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定大利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定大(小小)值值,注意二次函数的注意二次
3、函数的最大值不一定是实际问题的最大值最大值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量的取值范围确定最值要结合自变量的取值范围确定最值.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与字母系数之间的关系的图象与字母系数之间的关系 例例1(20191(2019鄂州鄂州)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示的图象如图所示,对称轴是直线对称轴是直线x=1.x=1.下列结论下列结论:abc0;abc0;3a+c0;(a+c)(a+c)2 2-b-b2 20;0,a-b+c0,可判断可判断;由点由点(1,a+b+c)(1,a+b+c)和和(-1,a-b+c
4、)(-1,a-b+c)的位置可判断的位置可判断;由二次函数当由二次函数当x=1x=1时时,y,y有最小有最小值可判断值可判断.当当 x=x=-1 1 时时,y0,y0,a a-b+c0,b+c0,-2ba=1,=1,b=b=-2a,2a,把把 b=b=-2a2a 代入代入 a a-b+c0b+c0 中得中得 3a+c0,3a+c0,故正确故正确;解析解析:抛物线开口向上抛物线开口向上,a0,a0,抛物线的对称轴在抛物线的对称轴在y y轴右侧轴右侧,b0,b0,抛物线与抛物线与y y轴交于负半轴轴交于负半轴,c0,c0,abc0,故错误故错误;当当x=1x=1时时,y0,y0,即即a+b+c0,
5、a+b+c0,y0,即即a-b+c0,a-b+c0,(a+b+c)(a-b+c)0,(a+b+c)(a-b+c)0,即即(a+c)(a+c)2 2-b-b2 20,0,故正确故正确;抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x=1,x=1,x=1x=1时时,函数的最小值为函数的最小值为a+b+c,a+b+c,a+b+cama+b+cam2 2+mb+c,+mb+c,即即a+bm(am+b),a+bm(am+b),故正确故正确.故选故选C.C.二次函数图象的平移二次函数图象的平移思路点拨思路点拨:(1):(1)把已知点的坐标代入抛物线表达式把已知点的坐标代入抛物线表达式,求出求出b b与与c c的
6、值即可的值即可;解解:(1)(1)把把(1,0)(1,0)和和（0,0,32）代入代入 y=y=-12x x2 2+bx+c,+bx+c,得得10,23,2bcc解得解得1,3.2bc 抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为 y=y=-12x x2 2-x+x+32.思路点拨思路点拨:(2):(2)把求出的抛物线的表达式把求出的抛物线的表达式,化为顶点式化为顶点式,利用平移的利用平移的“左加左加右减右减,上加下减上加下减”的规律得到平移后新抛物线的表达式的规律得到平移后新抛物线的表达式.解解:(2)(2)y=y=-12x x2 2-x+x+32=-12(x+1)(x+1)2 2+2,+2,顶
7、点坐标为顶点坐标为(-1,2).1,2).将抛物线将抛物线 y=y=-12x x2 2-x+x+32平移平移,使其顶点恰好落在原点的一种平移使其顶点恰好落在原点的一种平移.方法方法:先向右平移先向右平移 1 1 个单位长度个单位长度,再向下平移再向下平移 2 2 个单位长度个单位长度.(.(答案不唯一答案不唯一)平平移后的函数表达式为移后的函数表达式为 y=y=-12x x2 2.一次函数与二次函数图象与几何图形的综合运用一次函数与二次函数图象与几何图形的综合运用思路点拨思路点拨:(1):(1)由待定系数法求出抛物线和直线的表达式由待定系数法求出抛物线和直线的表达式;解解:(1)(1)抛物线抛
8、物线 y=y=-x x2 2+bx+c+bx+c 经过点经过点 B(0,3)B(0,3)和点和点 A(3,0),A(3,0),3,930,cbc 解得解得2,3,bc抛物线的函数表达式是抛物线的函数表达式是 y=y=-x x2 2+2x+3.+2x+3.设直线设直线 ABAB 的表达式为的表达式为 y=kx+m,y=kx+m,代入代入(0,3),(3,0),(0,3),(3,0),得得3,30,mkm解得解得1,3.km 直线直线 ABAB 的函数表达式是的函数表达式是 y=y=-x+3.x+3.例例3(20193(2019芜湖二模芜湖二模)如图如图,抛物线抛物线y=-xy=-x2 2+bx+
9、c+bx+c经过点经过点B(0,3)B(0,3)和点和点A(3,0).A(3,0).(1)(1)求抛物线的函数表达式和直线求抛物线的函数表达式和直线ABAB的函数表达式的函数表达式;解解:(2)(2)如图如图,过点过点 P P 作作 PNPNOAOA 于于 N,N,交直线交直线 ABAB 于于 M,M,设点设点 P P 的坐标为的坐标为(a,(a,-a a2 2+2a+3),+2a+3),点点 M M 的坐标是的坐标是(a,(a,-a+3),a+3),PM=PM=-a a2 2+2a+3+2a+3-(-a+3)=a+3)=-a a2 2+3a,+3a,S SPABPAB=S=SPAMPAM+S
10、+SPBMPBM=12PMPMOA=OA=12(-a a2 2+3a)+3a)3=3=-32（a a-32）2 2+278,当当 a=a=32时时,S,S 有最大值有最大值,最大值为最大值为278,此时点此时点 P P 坐标为坐标为（32,154）.思路点拨思路点拨:(2):(2)过点过点P P作作PNOAPNOA于于N,N,交直线交直线ABAB于于M,M,设出点设出点P,MP,M的坐标的坐标,根据根据S SPABPAB=S=SPAMPAM+S+SPBMPBM列出二次函数表达式列出二次函数表达式,再根据二次函数的性质解决问题再根据二次函数的性质解决问题.(2)(2)若点若点P P是抛物线落在第
11、一象限的图象上一点是抛物线落在第一象限的图象上一点,连结连结PA,PB,PA,PB,求求PABPAB的面积的面积S S的最大值及此时点的最大值及此时点P P的坐标的坐标.二次函数的实际应用二次函数的实际应用思路点拨思路点拨:(1):(1)由待定系数法可确定由待定系数法可确定y y与与x x的表达式的表达式.例例4(20194(2019青岛青岛)某商店购进一批成本为每件某商店购进一批成本为每件3030元的商品元的商品,经调查发现经调查发现,该商该商品每天的销售量品每天的销售量y(y(件件)与销售单价与销售单价x(x(元元)之间满足一次函数关系之间满足一次函数关系,其图象如图其图象如图所示所示.(
12、1)(1)求该商品每天的销售量求该商品每天的销售量y y与销售单价与销售单价x x之间的函数关系式之间的函数关系式;解解:(1)(1)设设 y y 与与 x x 之间的函数关系式为之间的函数关系式为 y=kx+b,y=kx+b,将点将点(30,100),(45,70)(30,100),(45,70)代入一次函数表达式代入一次函数表达式,得得10030,7045,kbkb解得解得2,160,kb 故故 y y 与与 x x 之间的函数关系式为之间的函数关系式为 y=y=-2x+160.2x+160.思路点拨思路点拨:(2):(2)根据根据“总利润总利润=每件的利润每件的利润数量数量”求出函数表达
13、式求出函数表达式,化成化成顶点式顶点式,再利用二次函数的性质求解再利用二次函数的性质求解.(2)(2)若商店按单价不低于成本价若商店按单价不低于成本价,且不高于且不高于5050元销售元销售,则销售单价定为多少则销售单价定为多少,才才能使销售该商品每天获得的利润能使销售该商品每天获得的利润w(w(元元)最大最大?最大利润是多少最大利润是多少?解解:(2)(2)由题意得由题意得,w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55),w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2 2+1 250,+1 250,-20,-20,故当故当x55x0,a0,抛物线的对称轴在直线抛物线的对称轴在直线
14、 x=1x=1 的右侧的右侧,x=x=-2ba1,1,b0,bb0,b-2a,2a,即即 b+2a0,b+2a0,故故 B B 错误错误;抛物线与抛物线与 y y 轴交点在轴交点在 x x 轴下方轴下方,c0,c0,abc0,故故 D D 错误错误;抛物线与抛物线与 x x 轴有轴有 2 2 个交点个交点,=b=b2 2-4ac0,4ac0,故故 A A 错误错误;x=1x=1 时时,y0,y0,a+b+c0,a+b+c4ac,4ac,abc0,abc0,2a+b-c0,a+b+c0.a+b+c0.其中正确的是其中正确的是()(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)对称轴为直线对称轴为
15、直线 x=x=-2ba=-1,1,b=2a,b=2a,a0,a0,2a+b2a+b-c=4ac=4a-c0,c0,-4ac0,即即b b2 24ac,4ac,正确正确;由二次函数图象可知由二次函数图象可知,a0,b0,a0,b0,abc0,abc0,故错误故错误;对称轴为直线对称轴为直线x=-1,x=-1,抛物线与抛物线与x x轴一个交点轴一个交点x x1 1-3,-3,抛物线与抛物线与x x轴另一个交点轴另一个交点x x2 21,1,当当x=1x=1时时,y=a+b+c0,y=a+b+c0,故正确故正确.故选故选A.A.C C 解析解析:连结连结 BP,BP,如图如图,当当 y=0y=0 时
16、时,14x x2 2-4=0,4=0,解得解得 x x1 1=4,x=4,x2 2=-4,4,则则 A(A(-4,0),B(4,0),4,0),B(4,0),Q Q 是线段是线段 PAPA 的中点的中点,OQOQ 为为ABPABP 的中位线的中位线,OQ=OQ=12BP,BP,当当 BPBP 最大时最大时,OQ,OQ 最大最大,而而 BPBP 过圆心过圆心 C C 时时,PB,PB 最大最大,如图如图,点点 P P 运动到运动到 PP位置时位置时,BP,BP 最大最大,BC=BC=2234=5,=5,BP=5+2=7,BP=5+2=7,线段线段 OQOQ 的最大值是的最大值是72.故选故选 C
17、.C.y=2(x+1)y=2(x+1)2 2-2-24.(20194.(2019宜宾宜宾)将抛物线将抛物线y=2xy=2x2 2的图象的图象,向左平移向左平移1 1个单位个单位,再向下平移再向下平移2 2个单位个单位,所得图象的表达式为所得图象的表达式为 .解析解析:根据平移规律根据平移规律“左加右减左加右减,上加下减上加下减”,可得可得将抛物线将抛物线y=2xy=2x2 2的图象的图象,向左平移向左平移1 1个单位个单位,再向下平移再向下平移2 2个单位个单位,所得图所得图象的表达式为象的表达式为y=2(x+1)y=2(x+1)2 2-2.-2.(1,0)(1,0)5.(20175.(201
18、7巴中巴中)如图如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆蛋圆”,点点A,B,C,DA,B,C,D分别是分别是“蛋圆蛋圆”与坐标轴的交点与坐标轴的交点,AB,AB为半圆的直径为半圆的直径,且且抛物线的表达式为抛物线的表达式为y=xy=x2 2-2x-3,-2x-3,则半圆圆心则半圆圆心M M的坐标为的坐标为 .解析解析:当当y=0y=0时时,0=x,0=x2 2-2x-3,-2x-3,解得解得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3,=3,故故A(-1,0),B(3,0),A(-1,0),B(3,0),则则ABAB的中点为的中
19、点为(1,0),(1,0),即半圆圆心即半圆圆心M M的坐标为的坐标为(1,0).(1,0).(1)(1)李明第几天生产的粽子数量为李明第几天生产的粽子数量为280280只只?解解:(1):(1)由题意可知由题意可知,当当y=280y=280时时,20 x+80=280,20 x+80=280,解得解得x=10.x=10.答答:第第1010天生产的粽子数量为天生产的粽子数量为280280只只.解解:(2)(2)由图象得由图象得,当当 0 0 x10 x10 时时,p=2;,p=2;当当 1010 x x2020 时时,设设 p=kx+b,p=kx+b,把点把点(10,2),(20,3)(10,
20、2),(20,3)代入代入,得得102,203,kbkb解得解得0.1,1,kbp=0.1x+1,p=0.1x+1,0 0 x x6 6 时时,w=(4,w=(4-2)2)34x=68x,34x=68x,当当 x=6x=6 时时,w,w最大最大=408(=408(元元););(2)(2)如图如图,设第设第x x天生产的每只粽子的成本是天生产的每只粽子的成本是p p元元,p,p与与x x之间的关系可用图中的之间的关系可用图中的函数图象来刻画函数图象来刻画.若李明第若李明第x x天创造的利润为天创造的利润为w w元元,求求w w与与x x之间的函数表达式之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大并求
21、出第几天的利润最大?最大利润是多少元最大利润是多少元?(?(利润利润=出厂价出厂价-成本成本)6x106x10时时,w=(4-2),w=(4-2)(20 x+80)=40 x+160,(20 x+80)=40 x+160,xx是整数是整数,当当x=10 x=10时时,w,w最大最大=560(=560(元元););10 x10 x2020 时时,w=(4,w=(4-0.1x0.1x-1)1)(20 x+80)=(20 x+80)=-2x2x2 2+52x+240,+52x+240,a=a=-20,20,当当 x=x=-2ba=13=13 时时,w,w最大最大=578(=578(元元).).综上综上,第第 1313 天的利润最大天的利润最大,最大利润是最大利润是 578578 元元.
