1、1第十三章 轴对称复习2生活中的轴对称生活中的轴对称 轴对称轴对称 等腰三角形等腰三角形用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称归纳与整理性质性质轴对称图形轴对称图形两个图形关于两个图形关于某条直线对称某条直线对称性质性质判定判定等边三角形等边三角形特殊3复习目标：复习目标：1.1.轴对称的性质轴对称的性质 2.2.线段的垂直平分线性质和判定线段的垂直平分线性质和判定 3.3.等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 4.4.等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定 5.5.作图（作图（1 1）线段垂直平分线）线段垂直平分线 （2 2）轴对称图形）轴对称图形 （3 3）对称轴）对称轴 （4 4
2、）坐标系中的对称）坐标系中的对称 （5 5）最短距离）最短距离专题一：轴对称一、知识要点 1.轴对称 (1)轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。(2)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。(3)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。4 (4)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。(5)图形对称轴的做法：要作两个图
3、形的对称轴，只要找到这两个图形的一对对应点，然后连接它们，得到一条直线，在作出这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是这两个图形的对称轴。2.线段的垂直平分线 (1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。(2)线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(3)线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上分线上。56二、题目特点：判断轴对称图形或对称轴的条数 根据轴对称图形的性质作对称轴 用线段垂直平分线的性质解决计算题
4、或进行证明说理三、解题切入点：熟练掌握轴对称图形概念、性质以及线段垂直平分线的性质是解决有关问题的关键。例1 国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（）A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士 7加拿大加拿大 韩国韩国 澳大利亚澳大利亚 乌拉圭乌拉圭 瑞典瑞典 瑞士瑞士C例例2 小明照镜子的时候，发现小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈恤上的英文单词在镜子中呈现现“”的样子，请你判断这个英文单词（的样子，请你判断这个英文单词（）A B C D例例3 哪一面镜子里是他的像？哪一面镜子里是他的像？8 A例4 如图
5、，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从、B到它的距离相等？9街道居民区A居民区BPNM ABL例5 如图，ABC中，BAC=120，若DE、FG分别垂直平分AB、AC，AEF的周长为10cm,求EAF的度数及BC长。10ACEFGB D解：BAC=120 B+C=60 又 DE垂直平分AB BE=AE，B=BAE同理 AF=CF，C=CAF AE+EF+AF =BE+EF+CF=10cmEAF=BAC-BAE-CAF =120-B-C=60例6 如图，ABC中，AB=AC，A=50，AB的垂直平分线交AB于D,交AC于F，求 FBC的度数。11ACBD
6、解：AB=AC，A=50 ABC=C=65 又 AC是线段AB的垂直平分线 AF=FB ABF=A=50 从而 DBC=ABC-ABD =65-50=15F专题二：轴对称变换一、知识要点 1.轴对称变换 (1)有一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。由轴对称变换得到的图形与原图形形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。(2)作一个平面图形的对称图形，先作一些点的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形。对于线段、三角形、四边形等由直线、线段或射线组成的图形，只要做出原图形上的关键点的对应点，然后连
7、接这些对应点，即可得到相应的对称图形。(3)利用轴对称变换设计图案，主要是借助平移等有关知识。1213ABCmA1B1C1.A1B1C1为所求为所求由一个平面图形得到它的由一个平面图形得到它的轴对称图形轴对称图形叫做叫做轴对称变换轴对称变换 2.以坐标轴为对称轴作轴对称图形 (1)点P（x,y）关于x轴对称的对称点为P1（x,-y）点P（x,y）关于y轴对称的对称点为P2（-x,y）(2)作一个图形关于坐标轴对称的图形，一般先作图形上关键点关于坐标轴的对称点，然后连接对称点即可。二、题型特点 (1)作一个平面图形关于已知直线的对称图形 (2)求已知点关于坐标轴对称的对称点的坐标 (3)根据轴对
8、称变换设计图案 (4)根据轴对称变换解决实际生活中问题三、解题切入点：作一个平面图形的轴对称图形，关键是确定原图形上的关键点，只要作出这些关键点之间的对称点，然后按原图形的顺序连接即可；求一个点关于坐标轴对称点的坐标，关键是熟练掌握对称点之间的坐标特征。14例1 如图，以直线AE为对称轴，画出该图形的另一部分。15BCADEFH解：作图过程如下：(1)分别作出点B、C关于直线AE的对称点F、H。(2)连结AF、FD、DH、HE，得到所求的图形。16A（-,-1）31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1C（-3,2）B（-1,-1）A（-,1）如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特
9、点，分别作出ABCABC关于关于X X轴和轴和y y 轴对称的图形。B（1,-1）C（3,2）A（,1）C（-3,-2）B（-1,1）xy点点P（a，b）关于）关于x轴对称的点的坐标为（轴对称的点的坐标为（a，-b）点点P（a，b）关于）关于y轴对称的点的坐标为（轴对称的点的坐标为（-a，b）例2 如图，(1)作出ABC关于y轴对称的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标；17(2)将ABC向右平移6个单位，作出平移后的A2B2C2，并写出A2B2C2各顶点的坐标；(3)观察A1B1C1和A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，画出这条对称轴。yx-2 -1 0 1 2 3 4 5
10、6 74321A BC(A 1)B1C1X=3A2C2B218例3 点M(3a-b,4)与点N(9，2a+b)关于x轴对称，求a和b。解：由于(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),则 点M(3a-b,4)与点N(9，2a+b)关于x轴对称有 3a-b=9 4=-(2a+b)a=1,b=-6布置作业（布置作业（A本）本）A组：课本P92-93第7、10、11、13、14题B组：课本P91-92第3、5、6、7、10题C组：课本P91-92第2、8题专题三：等腰三角形一、知识要点：1.等腰三角形 (1)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形是轴对称图形。(2)性质:等腰三角形的两
11、个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合。(3)判别方法：有两条边相等（概念）等角对等边20 2.等边三角形 (1)三边都相等的三角形叫做等边三角形，其是轴对称图形，有三条对称轴。(2)性质：等边三角形的三个角都是60 (3)判定：三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 有三个边都相等的三角形是等边三角形21直角三角形中直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半的角所对的直角边等于斜边的一半推论 二、题型特点：(1)计算题，如求等腰三角形的腰长、周长、角等 (2)说理题，如证明一个三角形是等腰(或等边)三角形 (3)实际应用题，如
12、根据实际问题构造等腰三角形解决问题三、解题切入点：解决和等腰三角形有关的计算问题，要把握等腰三角形的性质，注意分类思想在等腰三角形中的应用，解决证明问题主要依据等腰(或等边)三角形的性质和判定方法，有的问题还需要做恰当的辅助线。22例1 如图7,在ABC中,已知AB=AC,BD、CE是两条角平分线，BD、CE相交于点O，OBC是等腰三角形吗？为什么？23解：OBC是等腰三角形 在ABC中，AB=AC ABC=ACB（等边对等角）又 BD、CE是两条角平分 DBC=ABD，ACB=ECB而 ABC=DBC+ABDACB=ACB+ECB DBC=ECB即 OBC是等腰三角形例2 如图，已知ABC为
13、等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB，且DEF也是等边三角形除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的.24解：图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE，ABC与DEF都是等边三角形，A=B=C=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD，又CED+AEF=120，CDE+CED=120AEF=CDE，同理，得CDE=BFD，AEF BFD CDE（AAS），AE=BF=CD，AF=BD=CE.例3 如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边ABD和等边BCE，AE交BD于点，DC交BE于点，(1)求证：
14、AE=DC25证明：ABD、BCE是等边三角形 AB=DB,BE=BC ABD=CBE=60 又 ABE=ABD+DBE DBC=CBE+DBE ABE=DBC在ABE和DBC中 AB=DB ABE=DBC BE=BC ABE DBC AE=DC (2)求证：求证：FG (BFG是等边三角形)(3)求证：求证：FGAC12345证明：由(1)得 ABD BCE 4=5 ABD、BCE是等边三角形 AB=DB，1=2=60 从而有 3=1=60 在ABF和DBG中 3=1 4=5 AB=DB ABF DBGFG27又又 CE=CD，CDE=CED，证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，
15、ABC=ACB=60BDAC，例例4 4、已知、已知：如图如图，ABC 是等边三角形是等边三角形，BD 是是AC 边上的高边上的高，延长延长BC 到到E，使使CE=CD，过点过点D 作作DF BE于于F求证求证：（：（1）BD=DE；ABCDEFDBC=ACB=301212 CED=ACB=30 DBC=CED，BD=DE28证明：证明：在在BDE 中，中，BD=DE，DFBE，BF=EF例例4 4、已知、已知：如图如图，ABC 是等边三角形是等边三角形，BD 是是AC 边上的高边上的高，延长延长BC 到到E，使使CE=CD，过点过点D 作作DFBE于于F求证求证：（：（2）BF=EF；ABC
16、DEF29猜想：猜想：BF=3FC证明：证明：在在RtCDF 中，中，ACB=60，CDF=30CD=2CF例例4 4、已知、已知：如图如图，ABC 是等边三角形是等边三角形，BD 是是AC 边上的高边上的高，延长延长BC 到到E，使使CE=CD，过点过点D 作作DFBE于于F求证求证：（：（3）请猜想请猜想FC 与与BF 间的数量关系间的数量关系，并说明理由并说明理由F又在又在RtBDC 中，中，DBC=30，BC=2CDBC=2CDBC=4CF，即即BF=3CF布置作业布置作业A、B组：组：导导57-58C组：组：导导P57-58选择、填空题选择、填空题1.如图，在ABC中，BC=8，BP
17、、CP分别是ABC和ACB的平分线，且PD/AB，PE/AC，求PED的周长.312.如图,已知ABC中,AB=AC,AF是BC边的中线,D是BA延长线上一点,E在AC上,且AD=AE.求证：DEBC.323.如图，已知AB=AD，BAD=60，BCD=120，延长B到E，使CE=CD，连结DE.求证：BC+DC=AC.33专题四专题四 最短路径最短路径 1.两点在一条直线的两侧 2.两点在一条直线的同侧 3.一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部 4.4.两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部 5.5.两点在一条河两侧两点在一条河两侧 某中学八（4）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中
18、的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的对称点点的对称点点D,2.作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,3.连接连接DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M、N，则CM+MN+CN最短AOB.EDMN 如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线，的最短路线，作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F,2.作点作点D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,3.连接连接EF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH布置作业（布置作业（B本）本）A组：课本P82-83第6、7、11、12题B组：课本P81-82第1、2、5、6、7题C组：课本P67-70归纳模块各三遍
