1、 . . .中考数学24题：二次函数第四节 最值问题一、 典型例题1. (2009 省威海市) 如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为，过三点的抛物线的对称轴为直线为对称轴上一动点OABClyx（1） 求抛物线的解析式；（2） 求当最小时点的坐标；（3） 以点为圆心，以为半径作证明：当最小时，直线与相切写出直线与相切时，点的另一个坐标：_解：（1）设抛物线的解析式为OABClyxDE将代入上式，得解，得抛物线的解析式为即（2）连接，交直线于点点与点关于直线 对称，由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时最小，点的位置即为所求设直线的解析式为，由直线过点，得 解这个方程组，得直线的解析式为由（1）
2、知：对称轴为，即将代入，得点的坐标为（1，2）说明：用相似三角形或三角函数求点的坐标也可，答案正确给2分（3）连接设直线与轴的交点记为点由（1）知：当最小时，点的坐标为（1，2）与相切2. (2009 广西贺州市) 如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B（1）求点A、点B的坐标BOAxy（2）若点P是x轴上任意一点，求证：（3）当最大时，求点P的坐标 BOAxyPH解：（1）抛物线与y轴的交于点B，令x=0得y=2B（0，2） A（2，3）（2）当点P是 AB的延长线与x轴交点时，当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中，综合上述： （3）作直线AB交x轴
3、于点P，由（2）可知：当PAPB最大时，点P是所求的点 作AHOP于HBOOP，BOPAHP 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，OP=4，故P（4，0） 3. (2007 省市) 已知等腰三角形的两个顶点分别是，第三个顶点在轴的正半轴上，关于轴对称的抛物线经过，三点，且点关于直线的对称点在轴上（1）求直线的解析式；（2）求抛物线的解析式及点的坐标；yxABDO（3）点是轴上一动点，求的取值围解：（1），是等腰三角形，且点在轴的正半轴上，设直线的解析式为，直线的解析式为（2）抛物线关于轴对称，yxABDOCPMQ又抛物线经过，两点解得抛物线的解析式是在中，易得在中，易得是的角平分线直线
4、与轴关于直线对称点关于直线的对称点在轴上，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点点在直线：上，故设点的坐标是又点在抛物线上，解得，故所求的点的坐标是，（3）要求的取值围，可先求的最小值I）当点的坐标是时，点与点重合，故显然的最小值就是点到轴的距离为，点是轴上的动点，无最大值，II）当点的坐标是时，由点关于轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短易求得的最小值是6同理没有最大值，的取值围是综上所述，当点的坐标是时，当点的坐标是时， 二、自我检测1. (2007 自治区市) 如图，一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点（1）求此二次函数的解析式（2）设此抛物线的顶点为
5、，对称轴与线段相交于点，求点和点的坐标（3）在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标xyA（3，6）QCOBP解：（1）解方程得抛物线与轴的两个交点坐标为：设抛物线的解析式为在抛物线上 抛物线解析式为：（2）由抛物线顶点的坐标为：，对称轴方程为：设直线的方程为：在该直线上解得直线的方程为：将代入得点坐标为xyA（3，6）QCOBP（3）作关于轴的对称点，连接；与轴交于点即为所求的点设直线方程为解得直线：令，则点坐标为2. (2007 省义乌市) 如图，抛物线与x轴交A，B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2 （1）求A，B 两点的坐标及直线AC的函数表达式
6、；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）（注：x的围不写不扣分）则P，E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（ P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是3. (2009
7、 省市) 已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由ACxyBO解（1）由题意得解得此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.OACxyBEPD设直线的表达式为则解得此直线的表达式为把代入得点的坐标为（3）存在最大值理由：即即方法一：连结
8、=当时，方法二： =当时，4. (2010 省) 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点B、C ；抛物线经过B、C两点，并与轴交于另一点A（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M，交直线BC于点N OBANCPlM 若点P在第一象限试问：线段PN的长度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由； 求以BC为底边的等腰BPC的面积解：（1）由于直线经过B、C两点,令y=0得=3；令=0，得y=3B（3，0），C（0，3） 点B、C在抛物线上，于是得 解得b=2，c=3 BACPOlNM所求函数关系式
9、为 （2）点P（,y）在抛物线上，且PNx轴，设点P的坐标为（, ）同理可设点N的坐标为（，） 又点P在第一象限， PN=PM-NM=（）-（）= 当时，线段PN的长度的最大值为 解法一：由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，又由(1)知，OB=OCBC的垂直平分线同时也是BOC的平分线，设点P的坐标为又点P在抛物线上,于是有 解得 点P的坐标为： 或 若点P的坐标为 ，此时点P在第一象限，在RtOMP和RtBOC中， ，OB=OC=3ONlMPCABP 若点P的坐标为 ， 此时点P在第三象限， 则 解法二：由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，又由知，OB=OCBC的中垂线同时也是BOC的平分线，设点P的坐标为又点P在抛物线上，于是有 解得 点P的坐标为: 或 若点P的坐标为 ，此时点P在第一象限，在RtOMP和RtBOC中， ，OB=OC=3=若点P的坐标为 ， 此时点P在第三象限，（与解法一相同） 当点P在第一象限时，BPC面积其它解法有：，BC= . . .c
