1、专题25 全等三角形的存在性破解策略 全等三角形的存在性问题的解题策略有： （1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解 （2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等例题讲解 例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4与x轴的一个交点为A（2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x3，对称轴
2、与x轴交于点B （1）求抛物线的表达式； （2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得PBDPBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意可列方程组 ， 解得 ， 所以抛物线的表达式为 （2）显然OA2， OB3， OC4 所以 若PBDPBC，则BD BC5，PDPC 所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上，若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重
3、合 如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2y2）两点 此时P1BCP1BD，P2BCP2BD 由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（1，2）所以直线BE的表达式为联立方程组，解得， 所以点P1，P2的坐标分别为（4一，）（4，）若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0） 如图2，取CD的中点F作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，y4）两点 此时P3BCP3BD，P4BCP4BD 由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2）， 所以直线BF的表达式为y2x6联立方程组，解得，所以点P3，P4的坐标分别为（1，82），（ 1，82）， 综
4、上可得，满足题意的点P的坐标为（4一，），（4，），（1，82）或（1，82） （3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m0， 则AM24m2，MN29（mn）2，BN2n2 而AMNABN900， 所以AMN与ABN全等有两种可能：当AMAB，MNBN时，可列方程组，解得；（舍）， 所以此时点M的坐标为（0，）当AMNB，MNBA时，可列方程组：解得，（舍）所以此时点M的坐标为（0，）综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，）或（0，）例2 如图，在平面直角坐标系xoy中，ABO为等腰直角三角形，ABO 900，点A的坐标为（40），点B在第一象限若点D在线段BO上，OD 2DB，点E
5、，F在OAB的边上，且满足DOF与DEF全等，求点E的坐标 图1 图2解： 由题意可得OA4，从而OBAB所以ODOB，BDOB当点F在OA上时，（）若DFODFE，点E在OA上如图1此时DFOA，所以OFOD，所以OE2OF，即点E的坐标为（，0）（）若DFODFE，点F在AB上，如图2此时EDOD2BD，所以sinBED；所以BED300，从而BEBD，AE过点E作EGOA于点G则EGAGAE，所以OG，即点E的坐标为（，）图3 图4（）若DFOFDE，点E在AB上，如图3 此时DEOA，所以BDBE 从而AEOD， 过点E作EGOA于点G， 则EGAGAE，所以OG，即点E的坐标为（，）
6、当点F在AB上时，只能有ODFAFD，如图4 此时DF0A且点E与点A重合， 即点E的坐标为（4，0） 综上可得，端足条件的点E的坐标为（，0），（，），（，）或（4，0）迸阶训练 1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与y轴变于点C直线l；与抛物线的对称轴交于点E连结CE，探究；抛物线上是否存在一点F，使得FOEFCE若存在，请写出点F坐标；若不存在，请说明理由答案：存在点F的坐标为（，4）或（，4）2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点PE为直线l2上一点，反比例函数（k0）的图象过点E且与
7、直线l1相交干点F （1）若点E与点P重合，求k的值； （2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与PEF全等？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由答案：（1）k2（2）存在点E的坐标为（，2）或（，2）【提示】（2）易得点E（，2），F（1，k）如图1，当k2时，只能有MEFPEF过点F作FHy轴于点H，易证BMEHFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM，再解RtBME，得k，所以点E的坐标为（，2）；如图2，当k2时，只能有MEFPFE 过点F作FQy轴于点Q，同可得点E的坐标为（，2）3如图，抛物线经过A（，0），B（，0），C（0，3）三点，线段BC与
8、抛物线的对称轴交干D，该抛物线的顶点为P，连结PA，AD线段AD与y轴相交于点E （1）求该抛物线的表达式； （2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q使以Q，C，D为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由答案：（1）抛物线的表达式为（2）存在点Q的坐标为（，4），（，2），（，1）或（0，7）【提示】（2）方法一：易求直线BC：，从而点D的坐标为（，2），可得CDPD，所以QCD与ADP全等有两种情况设点Q坐标，通过两点间距离公式列出QC，QD，AP，AD的长再分类讨论列方程组，从而求得点Q点坐标方法二：连接CP，易证CDP为等边三角形，ADC60，所以PDA120QCD与ADP全等有两种情况，如图1，DCQ120，CQDA4，此时点Q1的坐标为（0，7），点Q2的坐标为（，1）；如图2，CDQ120，DQDA4，此时点Q3的坐标为（，2），点Q4的坐标为（，4）
