1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，在直角坐标系中，已知点A(8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且M的半径等于4，试判断直线OB与M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；（3）如图3，M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）【答案】（1）OB与M相切；（2）M（，）；（3）M（2，2）【解析】分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可； （2）求出过点A、B的一次函
2、数关系式是y=x+6，设M（a，a），把x=a，y=a代入y=x+6得出关于a的方程，求出即可 （3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据SABC=AOME+BOMF+ABMG=AOBO求得r=2，据此可得答案详解：（1）直线OB与M相切理由如下：设线段OB的中点为D，如图1，连结MD， 点M是线段AB的中点，所以MDAO，MD=4，AOB=MDB=90，MDOB，点D在M上 又点D在直线OB上，直线OB与M相切； （2）如图2，连接ME，MF， A（8，0），B（0，6），设直线AB的解析式是y=kx+b，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6
3、 M与x轴、y轴都相切，点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，a）（8a0），把x=a，y=a代入y=x+6，得：a=a+6，得：a=，点M的坐标为（） （3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO， M与x轴，y轴，线段AB都相切，MEAO、MFBO、MGAB，设ME=MF=MG=r，则SABC=AOME+BOMF+ABMG=AOBO A（8，0），B（0，6），AO=8、BO=6，AB=10，r8+r6+r10=68，解得：r=2，即ME=MF=2，点M的坐标为（2，2）点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综
4、合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和O相切2如图，已知AB是O的直径，点C，D在O上，BC=6cm,AC=8cm,BAD=45点E在O外，做直线AE，且EAC=D（1）求证：直线AE是O的切线（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析：（1）根据圆周角定理及推论证得BAE=90，即可得到AE是O的切线；（2）连接OD，用扇形ODA的面积减去AOD的面积即可.详解：证明：（1） AB是O的直径，ACB=90，即BAC+ABC=90，EAC=ADC，ADC=ABC，E
5、AC=ABCBAC+EAC =90，即BAE= 90直线AE是O的切线；（2）连接OD BC=6 AC=8 OA = 5 又 OD = OAADO =BAD = 45AOD = 90 = （ ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.3(8分)已知AB为O的直径，OCAB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有EDEF.(1)如图，求证：ED为O的切线；(2)如图，直线ED与切线AG相交于G，且OF2，O的半径为6，求AG的长【答案】（1）见解析；（2）12【
6、解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出EDF=EFD，由对顶角相等可得出EDF=CFO；由OD=OC可得出ODF=OCF，结合OCAB即可得知EDF+ODF=90，即EDO=90，由此证出ED为O的切线；（2）连接OD，过点D作DMBA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GAEA，从而得出DMGA，根据相似三角形的判定定理即可得出EDMEGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，ED=EF，EDF=EFD，EFD=CFO，EDF=CFOOD=OC，ODF=OCF
7、OCAB，CFO+OCF=EDF+ODF=EDO=90，ED为O的切线；（2）连接OD，过点D作DMBA于点M，由（1）可知EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10sinEOD=，cosEOD=，DM=ODsinEOD=6=，MO=ODcosEOD=6=，EM=EOMO=10=，EA=EO+OA=10+6=16GA切O于点A，GAEA，DMGA，EDMEGA，即 ，解得GA=12点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相
8、似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出EDO=90；（2）通过相似三角形的性质找出相似比4问题发现(1)如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为_(2)如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值(3)如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2) 的最小值为.(3
9、) 【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，求的长即可;(3) 连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为半径的一段弧过作的垂线，与交于点，垂足为，由求得GM的值，再由 求解即可.试题解析：（）从到距离最小即为过作的垂线，垂足为，（）作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，且与交于，则的最小值为的长，设与交于，则，且，即的最小值为（）连接，则， ，点的轨迹为以为圆心，为半径的一段弧过作的垂线，与交于点，垂足为， ，【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段
10、最短解决问题5已知P是的直径BA延长线上的一个动点，P的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，6，OP=m，如图所示另一个半径为6的经过点C、D，圆心距（1）当m=6时，求线段CD的长；（2）设圆心O1在直线上方，试用n的代数式表示m；（3）POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由【答案】(1)CD=;(2)m= ;(3) n的值为或 【解析】分析：（1）过点作，垂足为点，连接解Rt，得到的长由勾股定理得的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt，得到和Rt中，由勾股定理即可得到结论； （3）成为等腰三角形可分以下几种
11、情况讨论： 当圆心、在弦异侧时，分和当圆心、在弦同侧时，同理可得结论详解：（1）过点作，垂足为点，连接在Rt， 6， 由勾股定理得： ，（2）在Rt，在Rt中，在Rt中，可得： ，解得（3）成为等腰三角形可分以下几种情况： 当圆心、在弦异侧时i），即，由，解得即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去ii），由 ，解得：，即 ，解得当圆心、在弦同侧时，同理可得： 是钝角，只能是，即，解得综上所述：n的值为或点睛：本题是圆的综合题考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形解答（3）的关键是要分类讨论6如图，AC是O的直径，OB是O的半径，PA切O于点A，PB与AC的延长线交于点M，
12、COBAPB（1）求证：PB是O的切线；（2）当MB4，MC2时，求O的半径【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据题意M+P90，而COBAPB，所以有M+COB90，即可证明PB是O的切线.（2）设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明：（1）AC是O的直径，PA切O于点A，PAOA在RtMAP中，M+P90，而COBAPB，M+COB90，OBM90，即OBBP，PB是O的切线；（2）设O的半径为r， , , 为直角三角形 ，即 解得：r3，O的半径为3【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一
13、种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.7如图，O的直径AB26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为O上的两点，若APDBPC，则称CPD为直径AB的“回旋角”(1)若BPCDPC60，则CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；(2)若的长为，求“回旋角”CPD的度数；(3)若直径AB的“回旋角”为120，且PCD的周长为24+13，直接写出AP的长【答案】(1)CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”CPD的度数为45；(3)满足条件的AP的长为3或23【解析】【分析】（1）由CPD、BPC得到APD，得到BPCAPD，所以CPD是直径AB的“回旋角”
14、；（2）利用CD弧长公式求出COD45，作CEAB交O于E，连接PE，利用CPD为直径AB的“回旋角”，得到APDBPC，OPEAPD，得到OPE+CPD+BPC180，即点D，P，E三点共线，CEDCOD22.5，得到OPE9022.567.5，则APDBPC67.5，所以CPD45；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OGCD于G，利用sinDOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OHDF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可【详解】CPD
15、是直径AB的“回旋角”，理由：CPDBPC60，APD180CPDBPC180606060，BPCAPD，CPD是直径AB的“回旋角”；(2)如图1，AB26，OCODOA13，设CODn，的长为，n45，COD45，作CEAB交O于E，连接PE，BPCOPE，CPD为直径AB的“回旋角”，APDBPC，OPEAPD，APD+CPD+BPC180，OPE+CPD+BPC180，点D，P，E三点共线，CEDCOD22.5，OPE9022.567.5，APDBPC67.5，CPD45，即：“回旋角”CPD的度数为45，(3)当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CFAB交O于F，连接PF，PFPC
16、，同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，直径AB的“回旋角”为120，APDBPC30，CPF60，PCF是等边三角形，CFD60，连接OC，OD， COD120，过点O作OGCD于G，CD2DG，DOGCOD60，DGODsinDOG13sin60CD，PCD的周长为24+13，PD+PC24，PCPF，PD+PFDF24，过O作OHDF于H，DHDF12，在RtOHD中，OH在RtOHP中，OPH30，OP10，APOAOP3；当点P在半径OB上时，同的方法得，BP3，APABBP23，即：满足条件的AP的长为3或23【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角
17、形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论8设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的B与AB相交于F点，延长EB交B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD求证：（1）AD是B的切线；（2）ADAQ；（3）BC2CFEG【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】连接BD，由，C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得，再根据正方形的性质，可得；由与，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得，继而求得，由等角对等边，可证得；易求得，即可证得，根据相似三角形的对
18、应边成比例，即可证得结论【详解】证明：连接BD，四边形BCDE是正方形，即，为AB的中点，是线段AB的垂直平分线，即，为半径，是的切线；，；连接DF，在中，又，在与中，又，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法9如图，在ABC中，ABAC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作FEAB于点E，交AC的延长线于点F（1）求证：EF与O相切；（2）若AE6，sinCFD，求EB的长【答案】(1)见解析（2）【解析】【分析】如图，欲证明EF与相切，只需证得通过解直角可以求得设的半径为
19、r，由已知可得FODFAE，继而得到，即，则易求，所以【详解】（1）如图，连接OD，是的半径，与相切；由知，在中，则，FODFAE，设的半径为r，解得，【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.10已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DFBC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求图中阴影部分的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为O的切线只要证明FDP=90即可；（2）首先由已知可得
20、到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOES扇形OED求得阴影部分的面积试题解析：（1）证明：连接DOABC是等边三角形，A=C=60OA=OD，OAD是等边三角形ADO=60，DFBC，CDF=90C=30，FDO=180ADOCDF=90，DF为O的切线；（2）OAD是等边三角形，AD=AO=AB=2CD=ACAD=2RtCDF中，CDF=30，CF=CD=1DF=，连接OE，则CE=2CF=1，EF=1S直角梯形FDOE=（EF+OD）DF=，S扇形OED=，S阴影=S直角梯形FDOES扇形OED=【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积
