1、2013年全国100套中考数学压轴题分类解析汇编专题2：动点问题1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域【答案】解：（1）点O是圆心，ODBC，BC=1，BD=BC=。 又OB=2，。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。D和E是中点，DE=。（3）BD=x，。1=2，
2、3=4，AOB=900。2+3=45。过D作DFOE，垂足为点F。DF=OF=。由BODEDF，得，即，解得EF=x。OE=。2. （2012福建南平14分）如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且1=B=C（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若B=45，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此时BD的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答
3、案】解：（1）AB=AC；AED=ADC；ADEACD。（2）B=C，B=45，ACB为等腰直角三角形。1=C，DAE=CAD，ADEACD。AD：AC=AE：AD， 。当AD最小时，AE最小，此时ADBC，AD=BC=1。AE的最小值为 。CE的最大值= 。当AD=AE时，1=AED=45，DAE=90。点D与B重合，不合题意舍去。当EA=ED时，如图1，EAD=1=45。AD平分BAC，AD垂直平分BC。BD=1。当DA=DE时，如图2，ADEACD，DA：AC=DE：DC。DC=CA=。BD=BCDC=2。综上所述，当ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2。3. （2012甘肃兰州1
4、2分）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)，抛物线yx2bxc经过点B，且顶点在直线x上(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把ABO沿x轴向右平移得到DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得PBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为
5、t，PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）抛物线yx2bxc经过点B(0，4)，c4。顶点在直线x上，解得。所求函数关系式为。（2）在RtABO中，OA3，OB4，。四边形ABCD是菱形，BCCDDAAB5。C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，当x5时，；当x2时，。点C和点D都在所求抛物线上。（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为ykxb，则，解得，。直线CD对应的函数关系式为。当x时，。P()。（4）MNBD，OMNOBD。，即
6、，得。设对称轴交x于点F，则。， ， (0t4)。，04，当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。4. （2012广东省9分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=9，C（0，9）；令y=0，即，解得：x1
7、=3，x2=6，A（3，0）、B（6，0）。AB=9，OC=9。（2）EDBC，AEDABC，即：。s=m2（0m9）。（3）SAEC=AEOC=m，SAED=s=m2，SEDC=SAECSAED=m2+m=（m）2+。CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=ABAE=。又，过E作EFBC于F，则RtBEFRtBCO，得：，即：。以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 SE=EF2=。5. （2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点A（1，0），直线l2经过点B(3，0), l1、l2均为与y轴交于点C(0，)，抛物线经过A、B、C三点。（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次
8、与轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;(3)若l1l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。【答案】解：（1）抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（0，）三点， ，解得。抛物线的解析式为：（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（1，0），C（0，），得 ，解得，直线l1的解析式为：y=-x 。直线l2经过B（3，0），C（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为：y= x 。抛物线，对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1， ）。点E为x=1与直线
9、l2：y= x的交点，令x=1，得y= ，E（1， ）。点G为x=1与直线l1：y=-x 的交点，令x=1，得y= ，G（1，）。各点坐标为：D（1，0），E（1， ），F（1，），G（1， ），它们均位于对称轴x=1上。DE=EF=FG=。（3）如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF，PG。PCG为等腰三角形，有三种情况：当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG。C（0，），对称轴x=1，P1（2， ）。当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG。如图，C（1， ），H点在x=1上，H（1，）。在RtCHG中，C
10、H=1，HG=|yGyH|=| （）|= ，由勾股定理得：。PC=2如图，CP1=2，此时与中情形重合。又RtOAC中，点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上.l1l2，ECG为直角三角形。由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。CF=FG，F为满足条件的P点，P2（1，）。又，CGE=30。HCG=60。又P1C=CG，P1CG为等边三角形。P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与重合。综上所述，P点的坐标为P1（2， ）或P2（1， ）。6. （2012贵州遵义12分）如图，ABC是边长为6的
11、等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由 【答案】解：（1）ABC是边长为6的等边三角形， ACB=60。BQD=30，QCP=90。设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+C=6+x。在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2。当BQD=30时，AP=2。（2）当点P、Q运动时，线段D
12、E的长度不会改变。理由如下：作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。PEAB于E，DFQ=AEP=90。点P、Q做匀速运动且速度相同，AP=BQ。ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60。在APE和BQF中，A=FBQ，AP=BQ，AEP=BFQ=90，APEBQF（AAS）。AE=BF，PE=QF且PEQF。四边形PEQF是平行四边形。DE=EF。EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB。又等边ABC的边长为6，DE=3。当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。7. （2012湖北宜昌12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线
13、上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（xm）2+n经过点EM与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1）a（1）求点A的坐标和ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边CDE的边CE第一次与M相切？【答案】解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=， OA=1，OB=。A的坐标是（0，1）。tanABO=。ABO=30。（2）CDE为等边三角形，点A（0，1），tan30=，OD=。D的坐标是（，0），E的坐标是（，0），把点A（0，1），D（，0），E（，0）代入
14、y=a（xm）2+n，得，解得。a=3。（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CHx轴，H为垂足，过A作AFCH，F为垂足。CDE是等边三角形，ABO=30，BCE=90，ECN=90。CE，AB分别与M相切，MPC=CNM=90。四边形MPCN为矩形。MP=MN，四边形MPCN为正方形。MP=MN=CP=CN=3（1）a（a0）。EC和x轴都与M相切，EP=EQ。NBQ+NMQ=180，PMQ=60。EMQ，=30。在RtMEP中，tan30=，PE=（3）a。CE=CP+PE=3（1）a+（3）a=2a。DH=HE=a，CH=3a，BH=3a。OH=3a，
15、OE=4a。E（4a，0），C（3a，3a）。设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）23a，E在该抛物线上，a（4a+3a+）23a=0，得：a2=1，解之得a1=1，a2=1。a0，a=1。AF=2，CF=2，AC=4。点C移动到4秒时，等边CDE的边CE第一次与M相切。8. （2012湖南常德10分）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连结DP，作CNDP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2） （1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论： BN=CP： OP=ON，且O
16、PON (2) 设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。【答案】（1）证明：如图1，四边形ABCD是正方形，OC=OB，DC=BC，DCB=CBA=90，OCB=OBA=45，DOC=90，DCAB。DPCN，CMD=DOC=90。BCN+CPD=90，PCN+DCN=90。CPD=CNB。DCAB，DCN=CNB=CPD。在DCP和CBN中，DCP=CBN，CPD=BNC，DC=BC，DCPCBN（AAS）。CP=BN。在OBN和OCP中，OB=OC，OCP=OBN， CP=BN ，OBNOCP（SAS）。ON=OP，BON=COP。BON+BOP=
17、COP+BOP，即NOP=BOC=90。ONOP。（2）解：AB=4，四边形ABCD是正方形，O到BC边的距离是2。图1中，图2中，。以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是： 。9. （2012湖南张家界10分）如图，O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与AC重合）（1）求APC与ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形（3）P点移动到什么位置时，APC与ABC全等，请说明理由【答案】解：（1）连接AC，如图所示：AB=4，OA=OB=OC=AB=2。又AC=2，AC=OA=OC。ACO为等边
18、三角形。AOC=ACO=OAC=60，APC=AOC=30。又DC与圆O相切于点C，OCDC。DCO=90。ACD=DCOACO=9060=30。 （2）连接PB，OP，AB为直径，AOC=60，COB=120。当点P移动到弧CB的中点时，COP=POB=60。COP和BOP都为等边三角形。AC=CP=OA=OP。四边形AOPC为菱形。（3）当点P与B重合时，ABC与APC重合，显然ABCAPC。当点P继续运动到CP经过圆心时，ABCCPA，理由为：CP与AB都为圆O的直径，CAP=ACB=90。在RtABC与RtCPA中，AB=CP，AC=ACRtABCRtCPA（HL）。综上所述，当点P与
19、B重合时和点P运动到CP经过圆心时，ABCCPA。10. （2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，DAB=60点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动当P运动到C点时，P、Q都停止运动设点P运动的时间为ts（1）当P异于AC时，请说明PQBC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？【答案】解：（1）四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，AB=BC=2，BAC=DAB。又DAB=60，BAC=BCA=30。
20、如图1，连接BD交AC于O。四边形ABCD是菱形，ACBD，OA=AC。OB=AB=1。OA=，AC=2OA=2。运动ts后，AP=t，AO=t，。又PAQ=CAB，PAQCAB.APQ=ACB.PQBC.（2）如图2，P与BC切于点M，连接PM，则PMBC。在RtCPM中，PCM=30，PM=。由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，此时P与边BC有一个公共点。如图3，P过点B，此时PQ=PB，PQB=PAQ+APQ=60PQB为等边三角形。QB=PQ=AQ=t。t=1。当时，P与边BC有2个公共点。如图4，P过点C，此时PC=PQ，即 =tt=。当1t时，P与边BC有一个公共点。当点P运
21、动到点C，即t=2时，Q、B重合，P过点B，此时，P与边BC有一个公共点。综上所述，当t=或1t或t=2时，P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当时，P与边BC有2个公共点。11. （2012江苏南通12分）如图，在ABC中，ABAC10cm，BC12cm，点D是BC边的中点点P从点B出发，以acm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形若a，求PQ的长；是否存在实数a，使得点
22、P在ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，BD=CD=BC=6。a=2，BP=2t，DQ=t。BQ=BDQD=6t。BPQBDA，即，解得：。（2）过点P作PEBC于E，四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM。PB=PQ。BE=BQ=（6t）。a=，PB=t。ADBC，PEAD。PB：AB=BE：BD，即。解得，t=。PQ=PB=t=（cm）。不存在理由如下：四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=C
23、M：AC。AB=AC，PB=CM，PB=PQ。若点P在ACB的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM。CPM=PCM。PM=CM。四边形PQCM是菱形。PQ=CQ。PB=CQ。PB=at，CQ=BD+QD=6+t，PM=CQ=6+t，AP=ABPB=10at，且 at=6+t。PMCQ，PM：BC=AP：AB，化简得：6at+5t=30。把代入得，t=。不存在实数a，使得点P在ACB的平分线上。12. （2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（1，5）、C（，d）两点点P（m，n）是一次函数的图象上的动点（1）求k、b的值；
24、（2）设，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D试问PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围【答案】解：（1）将点B 的坐标代入，得 ，解得。 反比例函数解析式为。 将点C（，d）的坐标代入，得。C（，2） 一次函数的图象经过B（1，5）、C（，2）两点， ，解得。（2）存在。 令，即，解得。A（，0）。由题意，点P（m，n）是一次函数的图象上的动点，且点P在线段AB 上运动（不含A、B）。设P（）。 DPx轴，且点D在的图象上，即D（）。 PAD的面
25、积为。 S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。又n=，得，而。 当时，即P（）时，PAD的面积S最大，为。（3）由已知，P（）。易知mn，即，即。若，则。由题设，解出不等式组的解为。若，则。由题设，解出不等式组的解为。 综上所述，数a的取值范围为，。13. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出y与x之间的函数关系式 ；（2）若点E与点A重合，则x的值为 ；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D
26、落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）y=x24x。 （2）或。 （3）存在。 过点P作PHAB于点H。则 点D关于直线PE的对称点D落在边AB上， P D=PD=4x，E D=ED= y=x24x，EA=ADED= x24x2，P DE=D=900。 在RtDP H中，PH=2， DP =DP=4x，DH=。 E DA=1800900P DH=900P DH=DP H，P DE=P HD =900， E DADP H。，即，即，两边平方并整理得，2x24x1=0。解得。当时，y=，此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。当时，
27、y=，此时，点E在边AD上，符合题意。当时，点D关于直线PE的对称点D落在边AB上。14. （2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量x的取值范围是 ；（2）d= ，m= ，n= ；（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为1
28、6cm2？【答案】解：（1）0x4。 （2）3，2，25 （3）过点E作EIBC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。 EI=DC=3，CI=DE=x。 BF=x，IF=42x。在RtEFI中，。 y是以EF为边长的正方形EFGH的面积， 。 当y=16时，解得，。F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。15. （2012四川乐山13分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n（mn）分别是方程x22x3=0的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（
29、不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD当OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标【答案】解：（1）解方程x22x3=0，得 x1=3，x2=1。mn，m=1，n=3。A（1，1），B（3，3）。抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx。，解得：。抛物线的解析式为。（2）设直线AB的解析式为y=kx+b。，解得：。直线AB的解析式为。C点坐标为（0，）。直线OB过点O（0，0），B（3，3），直线OB的解析式为y=x。OPC为等腰三角形，OC=OP或OP=PC或OC=PC。设P（x，x）。（i）当OC=
30、OP时，解得（舍去）。P1（）。（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，P2（）。（iii）当OC=PC时，由，解得（舍去）。P3（）。综上所述，P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）。过点D作DGx轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BHx轴，垂足为H设Q（x，x），D（x，）SBOD=SODQ+SBDQ=DQOG+DQGH=DQ（OG+GH）=。0x3，当时，S取得最大值为，此时D（）。利用SBOD=SODQ+SBDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可。16. （2012四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点ACD均在坐标轴上，且AB=5，s
31、inB=（1）求过ACD三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上AE两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值【答案】解：（1）四边形ABCD是菱形，且AB=5，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=。在RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3，OA=ADOD=2。A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）。设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x3），将C（0，4）
32、代入得：2（3）a=4，解得a=。抛物线的解析式为y=（x+2）（x3）。（2）由A（2，0）、B（5，4）得直线AB：。由（1）得：，则：，解得：，。由图可知：当y1y2时，2x5。（3）SPAE等于AE和AE上高乘积的一半， 当在抛物线上AE两点之间，P到直线AB的距离最大时，SPAE最大。若设直线LAB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P。设直线L：，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，且=0。由化简，得，解得，b=。且，解得。直线L：。点P（）。由（2）得：E（5，），则直线PE：。设直线PE与x轴交于点F，则点F（，0），AF=OA+OF=。PAE的最大值：。 综上所述
33、，当P（）时，PAE的面积最大，为。17. （2012四川广元12分）如图，在矩形ABCO中，AO=3，tanACB=，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒。（1）求直线AC的解析式；（2）用含t的代数式表示点D的坐标；（3）当t为何值时，ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以RtODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。【答案】解：（1）根据题意，得 CO=AB=
34、BCtanACB=4，A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）。设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：4k+3=0，k=。直线AC：y=x+3。（2）分别作DFAO，DHCO，垂足分别为F，H，则有ADFDCHACO。AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，而AD=3t（其中0t），OC=AB=4，AC=5，FD=，AF=，DH=，HC=。D（，）。（3）CE= t，E（t，0），OE=OC-CE=4- t，HE=|CH-CE|=，则OD2=DH2+OH2=，DE2=DH2+HE2=。当ODE为直角三角形时，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或D
35、E2+OE2=OD2，即，或，或，上述三个方程在0t内的所有实数解为。（4）当DOOE，及DEOE时，即和时，以RtODE的三个顶点不确定对称轴平行于y轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线。D（，），E（4-t，0）当时，D（，），E（3，0）。抛物线过O（0，0），设所求抛物线为，将点D，E坐标代入，得，解得。所求抛物线为。18. （2012四川巴中12分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tanACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且CEF=ACB。（
36、1）求AC的长和点D的坐标；（2）说明AEF与DCE相似；（3）当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。【答案】解：（1）四边形ABCO为矩形，B=90。在RtABC中，BC=ABtanACB=16=12 ，AC=。则AO=BC=12。 A（-12，0）。点D与点A关于轴对称，D（12，0）。（2）点D与点A关于y轴对称，CDE=CAO。CEF=ACB，ACB=CAO，CDE=CEF。又AEC=AEF+CEF=CDE+DCE（三角形外角性质），AEF=DCE。则在AEF与DCE中，CDE=CAO，AEF=DCE，AEFDCE。（3）当EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：当CE=EF时，AEFD
37、CE，AEFDCE。AE=CD=20。OE=AEOA=2012=8。E（8，0）。当EF=FC时，如图所示，过点F作FMCE于M，则点M为CE中点。CE=2ME=2EFcosCEF=2EFcosACB=EF。点D与点A关于y轴对称，CD=AC=20。AEFDCE， ，即 ，解得。OE=AEOA=，E（ ，0）。当CE=CF时，则有CFE=CEF，CEF=ACB=CAO，CFE=CAO。即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾。综上所述，当EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（，0）。19. （2012山东临沂11分）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向
38、点D运动（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BMC=90；（2）如图2，当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由【答案】（1）证明：b=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a，又在矩形ABCD中，A=D=90，AMB=DMC=45。BMC=90。（2）解：存在，理由如下：若BMC=90，则AMB=DMC=90。又AMB+ABM=90，ABM=DMC。又A=D=90，ABMDMC。设AM=x，则，整理得：x2bx+a2=0。b2a，a0，b0，
39、=b24a20。方程有两个不相等的实数根。又两根之积等于a20，两根同号。又两根之和等于b 0，两根为正。符合题意。当b2a时，存在BMC=90。（3）解：不成立理由如下：若BMC=90，由（2）可知x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程没有实数根。当b2a时，不存在BMC=90，即（2）中的结论不成立。20. （2012山东济宁10分）如图，抛物线y=ax2+bx4与x轴交于A（4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PDAC，交BC于点D，连接CP（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P运动到何处时，BP2=BDBC；（
40、3）当PCD的面积最大时，求点P的坐标【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx4与x轴交于A（4，0）、B（2，0）两点，解得。抛物线的解析式为。（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP2=BDBC，在中，令x=0时，则y=4，点C的坐标为（0，4）。PDAC，BPDBAC。，AB=6，BP=x（2）=x+2，即。BP2=BDBC，解得x1=，x2=2（不合题意，舍去）。点P的坐标是（，0）。当点P运动到（，0）时，BP2=BDBC。（3）BPDBAC， 又，。0，当x=1时，SBPC有最大值为3。点P的坐标为（1，0）时，PDC的面积最大。21. （2012山东青岛12分）如图，在ABC中，
41、C90，AC6cm，BC8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动连接PQ，设运动时间为t(0t4)s解答下列问题：(1)当t为何值时，PQAB？(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为129？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）如图，在RtABC中，AC=6，BC=8，。 点D、E分别是AC、AB的中点，AD=DC=3，AE=EB=5，DEBC，且DE=BC=4。 PQAB，PQB=C=900。 又DEBC，AED=B。PQEABC。由题意，得PE=4t，QE=2t5，解得。当时，PQAB。（2）过点P作PMAB于点M。 由PMEABC，得， ，即。 ， 。（3）假设存在时刻t使129，此时， ，即。 解得（舍去）。 当时，PM=，ME=，E
