1、细品二次函数小题 感受知识运用经典在中考中二次函数占举足轻重的地位，其小题更是涌现出其灵活性、创新性。选择填空题虽阅读量小，但细品来，其解法灵活，且具有探索性，对学生的基础知识、基本技能及分析理解能力的要求不亚于一些压轴题。现加以归类浅析，为大家以后解决小题提供经验：一、与a、b、c有关图1BAC例1 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则值为 。解析：由已知易得A（0，c）则正方形ABOC的C点坐标为（， ），代入得，化简得。图2例2 （2010邯郸）如图2，抛物线y=ax2+bx+c，OA=OC，下列关系中正确的是 ( )Aac+1=b Bab+
2、1=cCbc+1=a D+1=c解析：由已知得C（0，c），又OA=OC，A(-c，0)，将A点代入y=ax2+bx+c得，0=，即ac+1=b。选A。图3例3 （2009义乌）如图3，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则 (填“”或“”)；的取值范围是 。解析：（1）开口向下a0，对称轴0，b0，C是与y轴交点的纵坐标，C0,abc0；（2）a决定开口大小，越大，抛物线开口越小。当抛物线在x轴的交点与抛物线对称轴的距离大，且顶点接近x轴（顶点与x轴距离小）时，抛物线开口就大，即最小，此时抛物线经过点（-
3、2，0），顶点为F（3,2），设这时的抛物线解析式为，代入点（-2，0），得；当抛物线在x轴的交点与抛物线对称轴的距离小，且顶点远离x轴（顶点与x轴距离大）时，抛物线开口就小，即最大，此时抛物线经过点（-1，0），顶点E(1,2), 设这时的抛物线解析式为,代入点（-1，0）,得。所以。AGOBDCEFxy图4二、与阴影面积有关例4 （2010长春）如图4，抛物线yax2c(a0)交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧BAOG于点A，BCOD于点C四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则ABG与BCD的面积之和为 解
4、析：解此题关键是由已知条件得出四边形GODB与四边形ODEF关于y轴对称，这两个四边形面积相等，即四边形GODB为10，则阴影部分面积为10-6=4图5ABCD例5 (2010遵义市)如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ） 8 6 10 4图6解析：因为两抛物线的二次函数都为，是由向下平移2个单位得到的。所以阴影部分面积可以转化为长为4，宽为2的矩形ABCD的面积8，故选A。例6 （2009庆阳改编）如图6，是二次函数的图象在x轴上方的一部分，若这段图象与x轴所围成的阴影部分面积为S，则S取值最接近（ ）A.4 B. C.2 D.8解析：设抛物线与坐
5、标轴的交点A(-2,0),B(0,2),C(2,0).从图中可以看出，阴影部分面积在ABC面积和以O为圆心2为半径的半圆的面积之间，即4S2，故选B。图7例7 （2008年杭州市）如图7，记抛物线的图象与正半轴的交点为，将线段 分成等份，设分点分别为，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点，再记直角三角形，的面积分别为，这样就有，；记，当越来越大时，你猜想最接近的常数是（ ）A. B. C. D.解析：此题有两种方法，方法一：结合图形，设抛物线与y轴交点为B，在第一象限所围成的图形面积大于等腰三角形OAB的面积，小于以O为圆心，1为半径的圆面积，而阴影部分面积是整个图形面积的一半，所以W，满
6、足该条件的只有选C。方法二：从所给的式子入手：= +=，由结果可以看出，当越来越大时， 最接近。三、与分类讨论有关例8 （2010宁波市）如图8，已知P的半径为2，圆心P在抛物线yx21上运动，当P与x轴相切时，圆心P的坐标为_O图8yPx解析：当P在第二象限与x轴相切时，则P点的纵坐标为2，代入yx21得，（舍），；当P在第一象限与x轴相切时，仿方法得故圆心P的坐标为。注：P不可能在第三、四象限与x轴相切，因为抛物线与y轴交点为（0，-1），故抛物线上的点与x轴距离最远是12。四、与探索规律有关图9例9 （2009兰州）二次函数的图象如图9所示，点位于坐标原点，点，在y轴的正半轴上，点，在二
7、次函数位于第一象限的图象上，若,，都为等边三角形，则的边长 。 解析：本题难度较大，考查利用二次函数及等边三角形的知识探 究线段的规律。设B1坐标（x1,y1）,因为A0B1A1为等边三角形，所以x12=3y12,又因为y1=x12,所以，y1=3y12,解得：y1=，所以A0A1=2y1=1.设点B2（x2,y2）, 因为A1B2A2为等边三角形，所以x22=3（y2-1）2，又因为y2=x22,所以y2=3（y2-1）2，解得：y2=或2，故y2=2，所以A1A2=2（y2-1）=2.同理可得A2A3=3.则发现规律：AnAn+1=n+1,所以当n=2007时，A2007A2008=200
8、8。五、与猜想论证有关图10图10例10 （2009湖州）已知图10中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ）A6B7C8D9解析：将最左下角的个点作为坐标原点，建立坐标系。由于二次函数的图像与纵向的每条方格线只有一个交点，所以它的图像经过的格点数必不大于9。要想使它经过的格点数最多，使用对称的方法。设解析式为其中0，当在每条竖线上都经过格点时，可设它经过（0,0），（8,0）两点。则，所以X0123456780-7a-12a-15a-16a-15a-12a-7a0分析a的取值得y的值最多有
9、5 个整数（当a=-时），即函数的图像最多过5个格点；当在左面的八条竖线上都经过格点时，可设它经过（0,0），（7,0）两点，则，所以X012345670-6a-10a-12a-12a-10a-6a0分析a的取值可得y的值最多有8个整数（当a=-时），即函数的图像最多过8个格点所以画出的抛物线最多经过8 个格点，选C。六、与阅读新定义有关例11（2010杭州）定义为函数的特征数, 下面给出特征数为 2m，1 m , 1 m 的函数的一些结论： 当m = 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； 当m 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； 当m 时，y随x的增大而减小； 当m 0时，函数图象经过同
10、一个点. 其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 解析：当m=-3时，函数为，其函数图象的顶点坐标是(，)，故正确；，则，当m0时，故正确；当m0时，函数的对称轴为，即对称轴在的右侧，不正确；当m0时，函数=，所以当x=1时，y=0；当时，。即函数经过点（1,0）或，故正确。七、与函数最值有关MQDCBPNA图11例12 （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P在BC边上移动时，直角边线段MP=且始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点QBP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）xyO2.2563CxyO364B2.25xyO63AD2xyO2解析：由已知易得ABPPCQ，即，化简得，显然对于此二次函数当x=3时，y有最大值是2.25。大部分学生选C;但是当x=3时，MP=5，故x取不到3，而x取值范围是02（当M与A点重合，利用勾股定理求的BP=2），根据二次函数性质，结合图像知在对称轴左侧y随x的增大而增大，当x=2时，y有最大值为2。故答案选D
