1、 重庆中考数学第24题专题训练【典题1】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G已知G为CH的中点，且BEH=HEG（1）若HE=HG，求证：EBHGFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长（1）证明：HE=HG，HEG=HGE，HGE=FGC，BEH=HEG，BEH=FGC，G是HC的中点，HG=GC，HE=GC，HBE=CFG=90EBHGFC；（2）解：过点H作HIEG于I，G为CH的中点，HG=GC，EFDC，HIEF，HIG=GFC=90，FGC=HGI，GIHGFC
2、，EBHEIH（AAS），FC=HI=BH=1，AD=4-1=3【典题2】已知，RtABC中，ACB=90，CAB=30分别以AB、AC为边，向形外作等边ABD和等边ACE（1）如图1，连接线段BE、CD求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F求证：F为DE中点证明：（1）ABD和ACE是等边三角形，AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=60，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE，在DAC和BAE中， AC=AE DAC=BAE AD=AB ，DACBAE（SAS），DC=BE；（2）如图，作DGAE，交AB于点G，由EAC=60，CAB=30得：FAE=EAC+CA
3、B=90，DGF=FAE=90，又ACB=90，CAB=30，ABC=60，又ABD为等边三角形，DBG=60，DB=AB，DBG=ABC=60，在DGB和ACB中， DGB=ACB DBG=ABC DB=AB ，DGBACB（AAS），DG=AC，又AEC为等边三角形，AE=AC，DG=AE，在DGF和EAF中， DGF=EAF DFG=EFA DG=EA ，DGFEAF（AAS），DF=EF，即F为DE中点【典题3】如图，在梯形ABCD中，ADBC，C=90，E为CD的中点，EFAB交BC于点F（1）求证：BF=AD+CF；（2）当AD=1，BC=7，且BE平分ABC时，求EF的长（1）证
4、明： 如图（1），延长AD交FE的延长线于NNDE=FCE=90DEN=FECDE=ECNDEFCEDN=CFABFN，ANBF四边形ABFN是平行四边形BF=AD+DN=AD+FC（2）解：ABEF，ABN=EFC，即1+2=3，又2+BEF=3，1=BEF，BF=EF，1=2，BEF=2，EF=BF，又 BC+AD=7+1 BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF BF+BF=82BF=8，BF=4，BF=EF=4ABDECF【典题4】在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=CD,ABC=60,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.求证：
5、ABECFB;如果AD=6,tanEBC的值.解：（1）证明：连结CE，在BAE与FCB中， BA=FC，A=BCF， AE=BC，BAEFCB；（2）延长BC交EF于点G，作AHBG于H，作AMBG，BAEFCB，AEB=FBG，BE=BF，BEF为等腰三角形，又AEBC，AEB=EBG，EBG=FBG，BGEF，AMG=EGM=AEG=90，四边形AMGE为矩形，AM=EG，在RtABM中，AM=ABsin60=6 = ，EG=AM=，BG=BM+MG=62+6cos60=15，tanEBC=【典题5】已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、
6、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若E=60，且AE=8时，求梯形AECD的面积 （1）证明：连接BFABCD为矩形ABBC ABAD AD=BCABE为直角三角形F是AE的中点AF=BF=BEFAB=FBADAF=CBF AD=BC, DAF=CBF ,AF=BF , DAFCBFADF=BCFFDC=FCDFGH=FHGFG=FH；（2）解：AC=CEE=60ACE为等边三角形CE=AE=8ABBCBC=BE=4根据勾股定理AB=梯形AECD的面积=(AD+CE)CD=(4+8)=【典题6】如图，直角梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，且CD=2AD，tanABC=
7、2，过点D作DEAB，交BCD的平分线于点E，连接BE（1）求证：BC=CD；（2）将BCE绕点C，顺时针旋转90得到DCG，连接EG求证：CD垂直平分EG；（3）延长BE交CD于点P求证：P是CD的中点证明：（1）延长DE交BC于F，ADBC，ABDF，AD=BF，ABC=DFC在RtDCF中，tanDFC=tanABC=2， =2，即CD=2CF，CD=2AD=2BF，BF=CF，BC=BF+CF=CD+ CD=CD即BC=CD（2）CE平分BCD，BCE=DCE，由（1）知BC=CD，CE=CE，BCEDCE，BE=DE，由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，DE=DG，C，D都在E
8、G的垂直平分线上，CD垂直平分EG（3）连接BD，由（2）知BE=DE，1=2ABDE，3=21=3ADBC，4=DBC由（1）知BC=CD，DBC=BDC，4=BDP又BD=BD，BADBPD(ASA)DP=ADAD=CD，DP=CDP是CD的中点【典题7】如图，直角梯形ABCD中，DAB=90，ABCD，AB=AD，ABC=60度以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且EAD=EDA=15，连接EB、EF（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长（1）证明：ADF为等边三角形，AF=AD，FAD
9、=60DAB=90，EAD=15，AD=ABFAE=BAE=75，AB=AF，AE为公共边FAEBAEEF=EB（2）过C作CQAB于Q，CQ=AB=AD=6，ABC=60，BC=6 =【典题8】已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：(1)ADF=BCF；(2) AFCF.证明：（1）在矩形ABCD中，ADC=BCD=90，DCE=90，在RtDCE中，F为DE中点，DF=CF，FDC=DCF，ADC+CDF=BCD+DCF，即ADF=BCF；（2）连接BF，BE=BD，F为DE的中点，BFDE，BFD=90，即BFA+AFD=90，在AFD和
10、BFC中 AD=BC ADF=BCF CF=DF ，ADFBCF，AFD=BFC，AFD+BFA=90，BFC+BFA=90，即AFC=90，AFFC【典题9】如图，在直角梯形ABCD中，ADDC，ABDC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AGBC于E（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长解答：（1）证明：连接AC，DCAB，AB=BC，1=CAB，CAB=2，1=2；ADC=AEC=90，AC=AC，ADCAEC，CD=CE；FDC=GEC=90，3=4，FDCGEC，CF=CG（2）解：由（1）知，CE=CD=2，BE=4C
11、E=8，AB=BC=CE+BE=10，在RtABE中，AE= AB2-BE2 =6，在RtACE中，AC= AE2+CE2 =由（1）知，ADCAEC，CD=CE，AD=AE，C、A分别是DE垂直平分线上的点，DEAC，DE=2EH；（8分）在RtAEC中，SAEC= AECE= ACEH，EH= = =DE=2EH=2=【典题10】如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M（1）求证：BFC=BEA；（2）求证：AM=BG+GM证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，ABC
12、=90，在ABE和CBF中， AB=BC ABC=ABC BE=BF ，ABECBF（SAS），BFC=BEA；（2）连接DG，在ABG和ADG中， AB=AD DAC=BAC=45 AG=AG ，ABGADG（SAS），BG=DG，2=3，BGAE，BAE+2=90，BAD=BAE+4=90，2=3=4，GMCF，BCF+1=90，又BCF+BFC=90，1=BFC=2，1=3，在ADG中，DGC=3+45，DGC也是CGH的外角，D、G、M三点共线，3=4（已证），AM=DM，DM=DG+GM=BG+GM，AM=BG+GM【典题11】直角梯形ABCD中，ABCD，C=90，AB=BC，M为
13、BC边上一点（1）若DMC=45，求证：AD=AM（2）若DAM=45，AB=7，CD=4，求BM的值（1）证明：作AFCD交延长线于点FDMC=45，C=90CM=CD，又B=C=AFD=90，AB=BC，四边形ABCF为正方形，BC=CF，BM=DF，在RtABM和RtAFD中，AB=AF，B=AFD=90，BM=DF，ABMAFD，AD=AM（2）解：把RtABM绕点A顺时针旋转90，使AB与AE重合，得RtAFNDAM=45，BAM+DAF=45，由旋转知BAM=NAF，DAF+NAF=45，即DAM=DAN，由旋转知AM=AN，ADMADN，DM=DN，设BM=x，AB=BC=CF=
14、7，CM=7-x又CD=4，DF=3，BM=FN=x，MD=DN=3+x，在RtCDM中，（7-x）2+42=（3+x）2，解得：x=BM的值为答：BM的值为【典题12】如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DPCQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；求证：（1）BCQCDP；（2）OP=OQ证明：四边形ABCD是正方形，B=PCD=90，BC=CD，2+3=90，又DPCQ，2+1=90，1=3，在BCQ和CDP中， B=PCD BC=CD 1=3 BCQCDP （2）连接OB由（1）：BCQCDP可知：BQ=PC，四边形ABCD是正方形，ABC=90，AB=BC，而点O是AC中点，BO=AC=CO，4=ABC=45=PCO，在BCQ和CDP中， BQ=CP 4=PCO BO=COBOQCOP，OQ=OP
