中考数学24题几何证明.doc

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资源描述

1、 重庆中考数学第24题专题训练【典题1】如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G已知G为CH的中点,且BEH=HEG(1)若HE=HG,求证:EBHGFC;(2)若CD=4,BH=1,求AD的长(1)证明:HE=HG,HEG=HGE,HGE=FGC,BEH=HEG,BEH=FGC,G是HC的中点,HG=GC,HE=GC,HBE=CFG=90EBHGFC;(2)解:过点H作HIEG于I,G为CH的中点,HG=GC,EFDC,HIEF,HIG=GFC=90,FGC=HGI,GIHGFC

2、,EBHEIH(AAS),FC=HI=BH=1,AD=4-1=3【典题2】已知,RtABC中,ACB=90,CAB=30分别以AB、AC为边,向形外作等边ABD和等边ACE(1)如图1,连接线段BE、CD求证:BE=CD;(2)如图2,连接DE交AB于点F求证:F为DE中点证明:(1)ABD和ACE是等边三角形,AB=AD,AC=AE,DAB=EAC=60,DAB+BAC=EAC+BAC,即DAC=BAE,在DAC和BAE中, AC=AE DAC=BAE AD=AB ,DACBAE(SAS),DC=BE;(2)如图,作DGAE,交AB于点G,由EAC=60,CAB=30得:FAE=EAC+CA

3、B=90,DGF=FAE=90,又ACB=90,CAB=30,ABC=60,又ABD为等边三角形,DBG=60,DB=AB,DBG=ABC=60,在DGB和ACB中, DGB=ACB DBG=ABC DB=AB ,DGBACB(AAS),DG=AC,又AEC为等边三角形,AE=AC,DG=AE,在DGF和EAF中, DGF=EAF DFG=EFA DG=EA ,DGFEAF(AAS),DF=EF,即F为DE中点【典题3】如图,在梯形ABCD中,ADBC,C=90,E为CD的中点,EFAB交BC于点F(1)求证:BF=AD+CF;(2)当AD=1,BC=7,且BE平分ABC时,求EF的长(1)证

4、明: 如图(1),延长AD交FE的延长线于NNDE=FCE=90DEN=FECDE=ECNDEFCEDN=CFABFN,ANBF四边形ABFN是平行四边形BF=AD+DN=AD+FC(2)解:ABEF,ABN=EFC,即1+2=3,又2+BEF=3,1=BEF,BF=EF,1=2,BEF=2,EF=BF,又 BC+AD=7+1 BF+CF+AD=8而由(1)知CF+AD=BF BF+BF=82BF=8,BF=4,BF=EF=4ABDECF【典题4】在等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=AD=CD,ABC=60,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F,使DC=CF,连接BE、BF和EF.求证:

5、ABECFB;如果AD=6,tanEBC的值.解:(1)证明:连结CE,在BAE与FCB中, BA=FC,A=BCF, AE=BC,BAEFCB;(2)延长BC交EF于点G,作AHBG于H,作AMBG,BAEFCB,AEB=FBG,BE=BF,BEF为等腰三角形,又AEBC,AEB=EBG,EBG=FBG,BGEF,AMG=EGM=AEG=90,四边形AMGE为矩形,AM=EG,在RtABM中,AM=ABsin60=6 = ,EG=AM=,BG=BM+MG=62+6cos60=15,tanEBC=【典题5】已知:AC是矩形ABCD的对角线,延长CB至E,使CE=CA,F是AE的中点,连接DF、

6、CF分别交AB于G、H点(1)求证:FG=FH;(2)若E=60,且AE=8时,求梯形AECD的面积 (1)证明:连接BFABCD为矩形ABBC ABAD AD=BCABE为直角三角形F是AE的中点AF=BF=BEFAB=FBADAF=CBF AD=BC, DAF=CBF ,AF=BF , DAFCBFADF=BCFFDC=FCDFGH=FHGFG=FH;(2)解:AC=CEE=60ACE为等边三角形CE=AE=8ABBCBC=BE=4根据勾股定理AB=梯形AECD的面积=(AD+CE)CD=(4+8)=【典题6】如图,直角梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,且CD=2AD,tanABC=

7、2,过点D作DEAB,交BCD的平分线于点E,连接BE(1)求证:BC=CD;(2)将BCE绕点C,顺时针旋转90得到DCG,连接EG求证:CD垂直平分EG;(3)延长BE交CD于点P求证:P是CD的中点证明:(1)延长DE交BC于F,ADBC,ABDF,AD=BF,ABC=DFC在RtDCF中,tanDFC=tanABC=2, =2,即CD=2CF,CD=2AD=2BF,BF=CF,BC=BF+CF=CD+ CD=CD即BC=CD(2)CE平分BCD,BCE=DCE,由(1)知BC=CD,CE=CE,BCEDCE,BE=DE,由图形旋转的性质知CE=CG,BE=DG,DE=DG,C,D都在E

8、G的垂直平分线上,CD垂直平分EG(3)连接BD,由(2)知BE=DE,1=2ABDE,3=21=3ADBC,4=DBC由(1)知BC=CD,DBC=BDC,4=BDP又BD=BD,BADBPD(ASA)DP=ADAD=CD,DP=CDP是CD的中点【典题7】如图,直角梯形ABCD中,DAB=90,ABCD,AB=AD,ABC=60度以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且EAD=EDA=15,连接EB、EF(1)求证:EB=EF;(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长(1)证明:ADF为等边三角形,AF=AD,FAD

9、=60DAB=90,EAD=15,AD=ABFAE=BAE=75,AB=AF,AE为公共边FAEBAEEF=EB(2)过C作CQAB于Q,CQ=AB=AD=6,ABC=60,BC=6 =【典题8】已知,矩形ABCD中,延长BC至E,使BE=BD,F为DE的中点,连结AF、CF.求证:(1)ADF=BCF;(2) AFCF.证明:(1)在矩形ABCD中,ADC=BCD=90,DCE=90,在RtDCE中,F为DE中点,DF=CF,FDC=DCF,ADC+CDF=BCD+DCF,即ADF=BCF;(2)连接BF,BE=BD,F为DE的中点,BFDE,BFD=90,即BFA+AFD=90,在AFD和

10、BFC中 AD=BC ADF=BCF CF=DF ,ADFBCF,AFD=BFC,AFD+BFA=90,BFC+BFA=90,即AFC=90,AFFC【典题9】如图,在直角梯形ABCD中,ADDC,ABDC,AB=BC,AD与BC延长线交于点F,G是DC延长线上一点,AGBC于E(1)求证:CF=CG;(2)连接DE,若BE=4CE,CD=2,求DE的长解答:(1)证明:连接AC,DCAB,AB=BC,1=CAB,CAB=2,1=2;ADC=AEC=90,AC=AC,ADCAEC,CD=CE;FDC=GEC=90,3=4,FDCGEC,CF=CG(2)解:由(1)知,CE=CD=2,BE=4C

11、E=8,AB=BC=CE+BE=10,在RtABE中,AE= AB2-BE2 =6,在RtACE中,AC= AE2+CE2 =由(1)知,ADCAEC,CD=CE,AD=AE,C、A分别是DE垂直平分线上的点,DEAC,DE=2EH;(8分)在RtAEC中,SAEC= AECE= ACEH,EH= = =DE=2EH=2=【典题10】如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、AB上两点,且BE=BF,过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M(1)求证:BFC=BEA;(2)求证:AM=BG+GM证明:(1)在正方形ABCD中,AB=BC,ABC

12、=90,在ABE和CBF中, AB=BC ABC=ABC BE=BF ,ABECBF(SAS),BFC=BEA;(2)连接DG,在ABG和ADG中, AB=AD DAC=BAC=45 AG=AG ,ABGADG(SAS),BG=DG,2=3,BGAE,BAE+2=90,BAD=BAE+4=90,2=3=4,GMCF,BCF+1=90,又BCF+BFC=90,1=BFC=2,1=3,在ADG中,DGC=3+45,DGC也是CGH的外角,D、G、M三点共线,3=4(已证),AM=DM,DM=DG+GM=BG+GM,AM=BG+GM【典题11】直角梯形ABCD中,ABCD,C=90,AB=BC,M为

13、BC边上一点(1)若DMC=45,求证:AD=AM(2)若DAM=45,AB=7,CD=4,求BM的值(1)证明:作AFCD交延长线于点FDMC=45,C=90CM=CD,又B=C=AFD=90,AB=BC,四边形ABCF为正方形,BC=CF,BM=DF,在RtABM和RtAFD中,AB=AF,B=AFD=90,BM=DF,ABMAFD,AD=AM(2)解:把RtABM绕点A顺时针旋转90,使AB与AE重合,得RtAFNDAM=45,BAM+DAF=45,由旋转知BAM=NAF,DAF+NAF=45,即DAM=DAN,由旋转知AM=AN,ADMADN,DM=DN,设BM=x,AB=BC=CF=

14、7,CM=7-x又CD=4,DF=3,BM=FN=x,MD=DN=3+x,在RtCDM中,(7-x)2+42=(3+x)2,解得:x=BM的值为答:BM的值为【典题12】如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DPCQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;求证:(1)BCQCDP;(2)OP=OQ证明:四边形ABCD是正方形,B=PCD=90,BC=CD,2+3=90,又DPCQ,2+1=90,1=3,在BCQ和CDP中, B=PCD BC=CD 1=3 BCQCDP (2)连接OB由(1):BCQCDP可知:BQ=PC,四边形ABCD是正方形,ABC=90,AB=BC,而点O是AC中点,BO=AC=CO,4=ABC=45=PCO,在BCQ和CDP中, BQ=CP 4=PCO BO=COBOQCOP,OQ=OP

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