2020年高考数学真题汇编10-圆锥曲线-理(-解析版).doc

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1、2020高考真题分类汇编:圆锥曲线一、选择题1.【2020高考真题浙江理8】如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是A. B。 C. D. 【答案】B【解析】由题意知直线的方程为:,联立方程组得点Q,联立方程组得点P,所以PQ的中点坐标为,所以PQ的垂直平分线方程为:,令,得,所以,所以,即,所以。故选B2.【2020高考真题新课标理8】等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( ) 【答案】C【解析】设

2、等轴双曲线方程为,抛物线的准线为,由,则,把坐标代入双曲线方程得,所以双曲线方程为,即,所以,所以实轴长,选C.3.【2020高考真题新课标理4】设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( ) 【答案】C【解析】因为是底角为的等腰三角形,则有,,因为,所以,,所以,即,所以,即,所以椭圆的离心率为,选C.4.【2020高考真题四川理8】已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )A、 B、 C、 D、 【答案】B【解析】设抛物线方程为,则点焦点,点到该抛物线焦点的距离为, , 解得,所以.5.【2020高考真题山东理1

3、0】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为,所以,所以,即,双曲线的渐近线为,代入椭圆得,即,所以,则第一象限的交点坐标为,所以四边形的面积为,所以,所以椭圆方程为,选D.6.【2020高考真题湖南理5】已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【答案】A【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,即.又,C的方程为-=1.

4、【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.7.【2020高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C.3 D.5【答案】 【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为,又根据双曲线的几何性质可知,所以,从而可得渐进线方程为,即,所以,故选8.【2020高考真题安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若,则的面积为( ) 【答案】C【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。【解析】设及;则点到准线的距离为,得: 又,的面积为。9.【20

5、20高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A +=1 B +=1C +=1 D +=1【答案】C【解析】椭圆的焦距为4,所以因为准线为,所以椭圆的焦点在轴上,且,所以,所以椭圆的方程为,选C.10.【2020高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C:x-y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cosF1PF2=(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】双曲线的方程为,所以,因为|PF1|=|2PF2|,所以点P在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=,|PF1|=,所以根据余弦定理

6、得,选C.11.【2020高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60.则OAF的面积为 【答案】【解析】由可求得焦点坐标F(1,0),因为倾斜角为,所以直线的斜率为,利用点斜式,直线方程为,将直线和曲线联立,因此二、填空题12.【2020高考真题湖北理14】如图,双曲线的两顶点为,虚轴两端点为,两焦点为,. 若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为. 则()双曲线的离心率 ;()菱形的面积与矩形的面积的比值 .【答案】 【解析】()由于以为直径的圆内切于菱形,因此点到直线的距离为,又由于虚轴两端点

7、为,因此的长为,那么在中,由三角形的面积公式知,又由双曲线中存在关系联立可得出,根据解出()设,很显然知道,因此.在中求得故;菱形的面积,再根据第一问中求得的值可以解出.13.【2020高考真题四川理15】椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是_。【答案】3【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、,考查推理论证能力、基本运算能力,以及数形结合思想,难度适中.【解析】当直线过右焦点时的周长最大,;将带入解得;所以.14.【2020高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.

8、【答案】.【解析】设水面与桥的一个交点为A,如图建立直角坐标系则,A的坐标为(2,-2).设抛物线方程为,带入点A得,设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为,则,所以水面宽度为.15.【2020高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则= . 【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为,设A,B的坐标分别为的,则,设,则,所以有,解得或,所以.16.【2020高考真题辽宁理15】已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为_。【答案】4【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐

9、标分别为8,2.由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键。17.【2020高考真题江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若,成等比数列,则此椭圆的离心率为_.【答案】【命题立意】本题考查椭圆的几何性质,等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为,所以,,又因为,成等比数列,

10、所以有,即,所以,离心率为.18.【2020高考江苏8】(5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ,即,解得。三、解答题19.【2020高考江苏19】(16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P(i)若,求直线的斜率;(ii)求证:是定值【答案】解:(1)由题设知,由点在椭圆上,得,。由点在椭圆上,得椭圆的方程为。(2)由(1)得,又, 设、的方程分别为,。 。 。 同理,。 (i)由得,。解得=

11、2。 注意到,。 直线的斜率为。 (ii)证明:,即。 。 由点在椭圆上知,。 同理。 由得, 。 是定值。 20.【2020高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图,椭圆C:(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程;() 求ABP的面积取最大时直线l的方程【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。【答案】()由题:; (1)左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为: (2)由(1) (2)可解得:所求椭圆C的方程为:()易得直线

12、OP的方程:yx,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0)其中y0x0A,B在椭圆上,设直线AB的方程为l:y(m0),代入椭圆:显然m且m0由上又有:m,|AB|点P(2,1)到直线l的距离表示为:SABPd|AB|m2|,当|m2|,即m3 或m0(舍去)时,(SABP)max此时直线l的方程y21.【2020高考真题辽宁理20】(本小题满分12分) 如图,椭圆:,a,b为常数),动圆,。点分别为的左,右顶点,与相交于A,B,C,D四点。 ()求直线与直线交点M的轨迹方程; ()设动圆与相交于四点,其中,。若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值。【答案】【点评】本题主要考查圆的

13、性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强,运算量较大。在求解点的轨迹方程时,要注意首先写出直线和直线的方程,然后求解。属于中档题,难度适中。22.【2020高考真题湖北理】(本小题满分13分)设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线()求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; ()过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;

14、若不存在,请说明理由. 【答案】()如图1,设,则由,可得,所以,. 因为点在单位圆上运动,所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为,所以当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,;当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,. ()解法1:如图2、3,设,则,直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为,于是由韦达定理可得,即.因为点H在直线QN上,所以.于是,. 而等价于,即,又,得,故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. 图2 图3 图1O D xyAM第21题解答图 解法2:如图2、3,设,则,因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得. 依

15、题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,故. 于是由式可得. 又,三点共线,所以,即. 于是由式可得.而等价于,即,又,得,故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. 23.【2020高考真题北京理19】(本小题共14分)【答案】解:(1)原曲线方程可化简得:由题意可得:,解得:(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,解得:由韦达定理得:,设,方程为:,则,欲证三点共线,只需证,共线即成立,化简得:将代入易知等式成立,则三点共线得证。24.【2020高考真题广东理20】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:的离心率e=,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的

16、最大值为3.(1)求椭圆C的方程;(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的OAB的面积;若不存在,请说明理由【答案】本题是一道综合性的题目,考查直线、圆与圆锥曲线的问题,涉及到最值与探索性问题,意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。25.【2020高考真题重庆理20】(本小题满分12分()小问5分()小问7分) 如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段 的中点分别为,且 是面积为4的直角三角形.()求该椭圆的离心率和标准方程;()过

17、做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程【答案】【命题立意】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的基本运算,直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.26.【2020高考真题四川理21】(本小题满分12分) 如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。()求轨迹的方程;()设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。【答案】本题主要考查轨迹方程的求法,圆锥曲线的定义等基础知识,考查基本运算能力,逻辑推理能力,考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 27.【2020高考真题新课标理20】(本小题满分12分)设抛物线的焦点为,准线为,已知以为圆心,为半径的圆交于

18、两点;(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值.【答案】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边 点到准线的距离 圆的方程为 (2)由对称性设,则 点关于点对称得: 得:,直线 切点 直线坐标原点到距离的比值为.28.【2020高考真题福建理19】如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且ABF2的周长为8.()求椭圆E的方程.()设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相较于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存

19、在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 29.【2020高考真题上海理22】(4+6+6=16分)在平面直角坐标系中,已知双曲线:(1)过的左顶点引的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线交于、两点,若与圆相切,求证:;(3)设椭圆:,若、分别是、上的动点,且,求证:到直线的距离是定值.【答案】过点A与渐近线平行的直线方程为,,则到直线的距离为.设到直线的距离为.【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离

20、心率为,它的渐近线为,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 30.【2020高考真题陕西理19】本小题满分12分)已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率。(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,求直线的方程。 【答案】 31.【2020高考真题山东理21】(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.()求抛物线的方程;()是否存在点,使得直线与抛物线相切于点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;()若点的横坐标为,直线与抛物线有两个

21、不同的交点,与圆有两个不同的交点,求当时,的最小值.【答案】32.【2020高考真题江西理21】 (本题满分13分)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.(1) 求曲线C的方程;(2) 动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且QAB与PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值。若不存在,说明理由。【答案】【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.33.【2020高考真题天津理19】(本小题满分14分)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.()若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;()若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足【答案】

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