1、2020年高考文科数学 基本初等函数题型归纳与训练【题型归纳】题型一 幂函数的图像与性质例1 已知幂函数的图象过点，则的值为()A. B C D【答案】【解析】由幂函数的图象过点，得，则幂函数，.故选.【易错点】幂函数的运算法则，以及对数的运算公式.【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数类型.例2 如果幂函数是偶函数，且在上是增函数，求的值，并写出相应的函数的解析式.【答案】，.【解析】因为在上是增函数，所以，所以.又因为是偶函数且，所以，故.【易错点】易忘记这一关键条件，以及幂函数在递增时指数的特征.【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数的奇偶性特征，以及幂函数在上是单调递增时幂函数的指数恒为正数.题型
2、二 二次函数的图像和性质（最值）例1 已知，若的最小值为，写出的表达式 .【答案】【解析】如图所示，函数图像的对称轴为（1） 当，即时，.（2） 当，即时，.（3） 当时，.综上可得【易错点】首先要注意二次函数的开口方向，然后才可以根据二次函数的对称轴去进行分类讨论.【思维点拨】所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.例2 已知函数，若关于的不等式恰有个整数解，则实数的最大值是()A2 B3 C5 D8【答案】D【解析】作出函数的图象如图实线部分所示，由得，若，则满足不等式，即不等式有个整数解，不满
3、足题意，所以，所以，且整数解只能是，当时，所以，即的最大值为，故选.【易错点】这是二次函数的复合函数，务必理清楚和掌握函数的图像.【思维点拨】根据数型结合画出函数的图像，然后利用方程的求根公式进行解题.题型三 指数函数例1 已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（ ）.A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在上是奇函数，所以，又因为在上是增函数，且，所以，即.故选C【思维点拨】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。首先根据奇函数的性质和对数运算法则，再比较比较大小.例2 设函数，则满足的的取值范围是_【答案】【解析】当时，不等式为恒成立；当，不等式恒成立；当时，不等式
4、为，解得，即；综上，的取值范围为【思维点拨】本题以分段函数（含指数函数）为载体，求解不等式。考查了分类思想。解题需注意； (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.题型四 对数函数例1 已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是 A B C D 【答案】 【解析】由图象可知，当时，得例2 若函数,若,则实数的取值范围是（ ）A BC D
5、【答案】 【解析】由分段函数的表达式知，需要对的正负进行分类讨论. 例3 若函数且的值域为，则函数的图象大致是() 【答案】 【解析】由于的值域为， ，则在上是增函数，又 函数的图象关于轴对称.因此的图象应大致为选项.【思维点拨】指数函数、对数函数的图象和性质受底数的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.题型五 函数的应用例1 某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.【答案】24【解析】由已知条件，得，又
6、，设该食品在33 的保鲜时间是小时，则.【思维点拨】重点考察对指数函数应用题的理解和计算.【巩固训练】幂函数的图像与性质1.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是()A1 B2 C3 D1或2【答案】【解析】由题知，解得.故选.2.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_【答案】【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以3.已知幂函数的部分对应值如下表：11则不等式的解集是.【答案】【解析】由，故，故其解集为.题型二 二次函数的图像和性质（最值）1.已知，函数.若，则（ ）.A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】【解析】 因为，所以函数图象应开口向上，即，且其对称轴为，
7、即，所以，故选.2.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】若函数有个零点，即与有个不同的交点，作出的图象和的图象，可得出的取值范围是3.已知对任意的，函数的值总大于，则的取值范围是()A(1,3) B(，1)(3，) C(1,2) D(，2)(3，)【答案】【解析】.令，则由题知，当时，恒成立，则须，解得或.故选.题型三 指数函数1. 已知，则函数和在同一坐标系中的图象只可能是图中的（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，由，函数在上为减函数，可排除选项A、C，又，则函数的图象是开口向下.故选D.2.已知函数（且）的图象如下图所示，则的值是_【答案】6【
8、解析】由函数（且）过点代入表达式得： ，所以3.与函数 的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示，当时不合题意；时，需要，即，故答案为. 题型四 对数函数1.若点在 图像上，,则下列点也在此图像上的是（ ）A B C D【答案】【解析】当时，所以点在函数图象上2.如果那么（ ）A B C D【答案】【解析】根据对数函数的性质得3.当时，则的取值范围是 （ ）A B C D【答案】【解析】由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选B.4已知，若，则=_，=_.【答案】 【解析】设，则，因为，因此6.在同一直角坐标系中,函数,的图象可能是() 【答案】D【解析】因为,所以在上为增函数,故错.在中,由的图象知,由的图象知,矛盾,故错.在中,由的图象知,由的图象知,矛盾,故C错.在D中,由的图象知,由的图象知,相符,故选D.
