1、二次函数常见题型二次函数常见题型及解题策略及解题策略常用公式或结论（5）中点坐标公式（7）两直线平行的结论（5）由特殊数据得到或猜想的结论(2)几个自定义概念 A B PL第二问：最短距离问题第二问：最短距离问题 A BL A P两点之间线段最短两点之间线段最短 A B P|PA-PB|最最大大L A B P P L拓展：变动的两线段之差的最大值拓展：变动的两线段之差的最大值三角形两边之差小于第三边路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线 ,点 在 上，分别在 、上确定两点 、，使得 之和最小。1l2lA2l1l2lMNMNAM 路径最值问题路径最值问题铅垂高法求面积A（x
2、1,y1)B（x2,y2)C（x3,y3)DMNE12ABCSMNAD割补法求面积B(x2,y2)A(x1,y1)C(x3,y3)D（x3,y1)E（x2,y2)F（x2,y1)ABCCD FEAD CAFBBCESSSSSAB(1,0)C(0,-2)OxyX=-1(-3,0)P求PBC的周长最小值AB(1,0)C(0,-2)OxyX=-1(-3,0)P2231acxxy 4(1,)3P xO PE DyCA(-3,0)(0,-2)32DE/AC?PDES例例3：平滑定理及相似：平滑定理及相似ACBDL2L1平滑定理平滑定理SABC=SABDxO PE DyCA(-3,0)(0,-2)32SP
3、ED=SCEDCED1=CD OE2S几何模型1.最短距离对称（1）同侧和最小（2）同侧差最大2.面积的代数解法（1）平滑定理（2）割补法（3）铅垂高法已知：抛物线已知：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a0)0)的对称轴为的对称轴为 x=-1,x=-1,与与x x 轴交于轴交于A,B A,B 两点，与两点，与y y 轴交于点轴交于点 C,C,其中其中A(-3,0A(-3,0）、C C（0 0，-2-2）（1 1）求这条抛物线的函数表达式）求这条抛物线的函数表达式（2 2）1.1.已知在对称轴上存在一点已知在对称轴上存在一点P P，使得，使得 PBCPBC的周长最的周长最小
4、请求出点小请求出点P P的坐标的坐标 2.2.若点若点D D 是线段是线段OC OC 上的一个动点（不与点上的一个动点（不与点O O、点、点C C重重合）过点合）过点D D作作 DE/PC DE/PC交交x x 轴于点轴于点 E,E,连接连接PDPD 、PEPE 设设CDCD 的长为的长为m m ，PDE PDE 的面积为的面积为S S 求求S S 与与m m 之间的函数之间的函数关系式试说明关系式试说明S S是否存在最大值，若存在，请求出最大是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由值；若不存在，请说明理由 ACxyBO（第24题图）在平面直角坐标系中求面积的方法 直接用公式
5、、割补法近几年命题分析2010年近几年命题分析2011年近几年命题分析2012年函数的交点问题函数的交点问题方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式1.求证“两线段相等”的问题、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题5.常数问题6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题8.三角形面积的最大值问题
6、三角形面积的最大值问题9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。10、“定四边形面积的求解”问题 有两种常见解决的方案：方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差）
7、，或几个基本模型的三角形面积的和（差）欣赏压轴题：已知抛物线yax2bxc经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）A(1，0)、B(3，0)在抛物线yax2bxc上，可设抛物线为ya（x1）（x3）.又C(0，3)在抛物线上，代入，得3a（01）（03），即a=1.抛物线的解析式为y（x1）（x3），即yx22x3.如解图，连接BC，直线BC
8、与直线l的交点为P,则此时的点P，使PAC的周长最小.设直线BC的解 析式为ykxb，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：解得：.直线BC的函数关系式yx3.当x=1时，y2，即P的坐标(1，2).（3）存在，点M的坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0).理由如下：抛物线的对称轴为：x=1，设M(1，m).A(1，0)、C(0，3)，根据勾股定理可得MA 2m 24，MC 2m 26m10，AC 210.若MAMC，则MA 2MC 2，得：m 24m 26m10，得：m1.若MAAC，则MA 2AC 2，得：m2410，得：m.若MCAC，则MC 2AC 2，得：m 26m1010
9、，得：m0，m6，当m6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去.综上可知，有符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0).探究探究二二 二次函数与四边形的结合二次函数与四边形的结合 第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题图图412考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题解解 考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与
10、几何综合类存在性问题(1)图中已知抛物线上几个点？图中已知抛物线上几个点？将将B、C的坐标代入求抛物线的解析式；的坐标代入求抛物线的解析式；(2)画出四边形画出四边形POPC，若四边形，若四边形POPC为菱形，那么为菱形，那么P点必在点必在OC的垂直平分线上，由此能求出的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？点坐标吗？(3)由于由于ABC的面积为定值，求四边形的面积为定值，求四边形ABPC的最大面的最大面积，即求积，即求BPC的最大面积的最大面积例题分层分析例题分层分析解题方法点析解题方法点析求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化
11、为三角形面积的和或差边形面积转化为三角形面积的和或差考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题探究探究四四 二次函数与圆的结合二次函数与圆的结合 图图414考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题解解 考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题
12、二次函数与几何综合类存在性问题(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛三点的抛物线解析式是物线解析式是ya(x4)(x1)，如何求出，如何求出C点坐标？点坐标？(2)怎么求出顶点怎么求出顶点M的坐标？的坐标？(3)若直线若直线MC与与 P相切，如何去求证？相切，如何去求证？例题分层分析例题分层分析解题方法点析解题方法点析用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能
13、综合运用的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键这些性质进行推理和计算是解此题的关键考向互动探究考向互动探究“两个三角形相似”的问题 不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再
14、验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合
15、题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题 这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题 进一步有：若是否
16、存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题探究探究三三 二次函数与相似三角形的结合二次函数与相似三角形的结合 图图413考向互动探究考向互动
17、探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题解解 考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题考向互动探究考向互动探究第第41课时课时 二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题(1)将将_代入代入yax22axc，求出抛物线的，求出抛物线的解析式；解析式；(2)根据根据_的坐标，
18、用待定系数法求出直线的坐标，用待定系数法求出直线AC的的解析式；解析式；(3)根据抛物线和直线根据抛物线和直线AC的解析式如何表示出点的解析式如何表示出点P、点、点M的坐标和的坐标和PM的长？的长？(4)由于由于PFC和和AEM都是直角，都是直角，F和和E对应，则若以对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行相似时，分两种情况进行讨论：讨论：PFC_，PFC_例题分层分析例题分层分析考向互动探究考向互动探究4、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题 先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只
19、能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。5、“某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题6、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题7、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题 题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某动图形
20、（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线段长”的问题（此为“单动问题”即定解析式和动图形相结合的问题，本类型实际上是前面14的特殊情形。）先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在x轴或轴上，或者有一边平行于x轴或y轴）面积的和或差，设出相关点的坐标（一母示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。一句话，该问题简称“单动问题”，解题方法是“设点（动点）标，图形转化（分割），列出面积方程”。19.“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）的情况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或参数的值”的问题此为
21、“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程（或方程组）。解此方程，求出相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（注意，此时，一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉）。再注意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常由已知或利用（2）问的结论，从几何知识的角度进行判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。如果动图形是基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设出动点坐标（一母式），然后列出面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话，该问题简称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，得结论”。
