1、2020年高考理科数学圆锥曲线题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1已知，点满足，记点的轨迹为求轨迹的方程【答案】【解析】由可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，由，故轨迹的方程为.【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点满足，则点的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“”只能表示点的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。题型二 定值、定点问题例2已知椭圆C：1过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x
2、轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值【答案】(1)y21，e(2)2.【解析】(1)由题意得所以椭圆C的方程为y21.又c，所以离心率e.(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y(x2).令x0，得yM，从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|从而四边形ABNM的面积为定值.【易错点】(1)想不到设出P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线PA，PB的方程不会由直线PA，PB的方程求解|BM|，|AN|；(2)不知道四边形的面积可用
3、S| AN|BM|表示；(3)四边形ABNM的面积用x0，y0表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值【思维点拨】第(1)问由a2，b1，c，解第一问；第(2)问画草图可知ANBM，四边形ABNM的面积为|AN|BM|，设点P(x0，y0)，得出PA，PB的方程，进而得出M，N的坐标，得出|AN|，|BM|，只需证明|AN|BM|是一个与点P的坐标无关的量即可例3已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点【答案】(1)y21(
4、2)(2，1)【解析】(1)因为P3，P4，所以P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1). 【易错点】(1)观察不出P3，P4对称，忽视对称性导致判断失误;(2)不会用点的坐标代入方程判断P1，P2是否在椭圆
5、上而滞做;(3)联立直线l与椭圆C的方程，计算化简失误而滞做;(4)利用k1k21运算变形不明确变形目标，导致化简不出k，m的关系【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点P1(1,1)不在椭圆上，从而求椭圆方程；第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设l：ykxm，利用条件建立k，m的等量关系，消参后再表示出直线l的方程可证明题型三最值（范围）问题例4已知椭圆C：y21(a0)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范
6、围是，求线段AB长的取值范围【答案】(1)y21(2)【解析】(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以bc1，a，所以椭圆C的方程为y21(2)根据题意，直线A，B的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为yk(x1)，与y21联立，消去y并整理得(12k2)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22)，即M.则直线AB的垂直平分线为y，令y0，得xP，因为xP，即0，所以0k2，.1，|AB|【易错点】运算错误，由于运算方法、运算技巧以及自身运算能力差，都是出
7、错原因。【思维点拨】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法：（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域题型四存在性问题例5.如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)1(2)3，理由见解析【解析】(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0
8、，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，2.当1时，3，为定值综上，存在常数1，使得为定值3.【思维点拨】解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果
9、推出矛盾就不存在，否则就存在。例6已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F2(2,0)，点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【答案】(1)1(2)不存在满足条件的直线l【解析】(1)法一：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，椭圆C的左焦点为F1(2,0)由椭圆的定义可得2a 2，解得a，b2a2c2642.椭圆C的标准方程为1.法二：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，故a2b24，又点P在椭圆C上，则1，故1，化简得3b44b2200，得b22
10、，a26.椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为yxt，由得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)0，(6t)244(3t26)9612t20，解得2t2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由于|F1M|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1EMN，故kF1E1，又F1(2,0)，E，即E，kF1E1，解得t4.当t4时，不满足2tb0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值【答案】(1)1(
11、2)略【解析】(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值2.已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点. 【答案】(1)x24y(2)略【解析】(1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M
12、到直线y1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.圆心M的轨迹方程为x24y(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，联立得x24kx80，kAC，则直线AC的方程为yy1(xx1)，即yy1(xx1)xxx1x28，yxx2，故直线AC恒过定点(0,2)3.已知椭圆C：1(ab0)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，若AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之
13、积是否为定值？ 【答案】(1)1(2)【解析】(1)由题意知解得椭圆C的标准方程为1(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x28kmx4m2120，由(8km)216(4k23)(m23)0，得m24k23x1x2，x1x2，SOAB|m|x1x2|m|，化简得4k232m20，满足0，从而有4k2m2m23(*)，kOAkOB，由(*)式，得1，kOAkOB，即直线OA与OB的斜率之积为定值题型三 最值（范围）问题1.已知平面内一动点M与两定点B1(0，1)和B2(0,1)连线的斜率之积等于.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设直线l：yxm(m0)与轨迹E交于A，
14、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，当m变化时，求PAB面积的最大值. 【答案】(1)y21(x0)(2)【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，1分依题意得，化简得动点M的轨迹E的方程为y21(x0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立化简得3x24mx2m220(x0)，有两个不同的交点，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，(4m)212(2m22)0，即m且m1,0,1.设A，B的中点为C(xC，yC)，则xC，yCxCm，C，线段AB的垂直平分线方程为y，令y0，得P点坐标为 则点P到AB的距离d，由弦长公式得|AB|，SPAB，当且仅当m2，即m(，)时，等号成立，P
15、AB面积的最大值为2.已知椭圆1(ab0)离心率为，过点E(，0)的椭圆的两条切线相互垂直. (1)求此椭圆的方程；(2)若存在过点(t,0)的直线l交椭圆于A，B两点，使得FAFB(F为右焦点)，求t的取值范围. 【答案】(1)1(2)【解析】(1)由椭圆的离心率e，得a2c，b2a2c23c2.不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，由椭圆的对称性知kME1，直线ME的方程为yx， 联立消去y，整理得7x28x2812c20，由(8)247(2812c2)0，得c1，a2，b，椭圆方程为1.(2)设l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x，整理得(3m24
16、)y26mty3t2120，则y1y2，y1y2.又(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2(m21)y1y2(mtm)(y1y2)t22t10，(m21)(3t212)(mtm)(6mt)(t22t1)(3m24)0，化简得7t28t89m2.要满足题意，则7t28t89m2有解，7t28t80，解得t或t.t的取值范围为.3.已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且|PF|max|QF|min. (1)求椭圆的长轴与短轴的比值； (2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，
17、求的取值范围【答案】(1)2(2)【解析】(1)设F(c,0)，则|PF|maxac，|QF|minac，a2c2.b2c2a2，a24b2，长轴与短轴的比值为2a2b2.(2)由(1)知a2b，可设椭圆方程为1.依题意，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为yk(xc)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去y，得(4k21)x28k2cx4k2c24b20，则x1x2，y1y2k(x1x22c)，M.MDPQ，设D(x3,0)，k1，解得x3，D.DMFDOE，的取值范围为.题型四存在性问题1.如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的
18、方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】(1)1(2)2【解析】(1)由P在椭圆上得，1.依题设知a2c，则b23c2.代入解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.在方程中令x4得，M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.由于
19、A，F，B三点共线，则有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k.代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线ykx(k0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)1(2)P(2,0)或P(2,0)【解析】(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，因为椭圆的左焦点为F1(2,0)，所以a
20、2b24.由题可得椭圆的右焦点为F2(2,0)，已知点B(2，)在椭圆C上，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a，所以2a34.所以a2，从而b2.所以椭圆C的方程为1.(2)因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(2，0)因为直线ykx(k0)与椭圆1交于两点E，F，设点E(x0，y0)(不妨设x00)，则点F(x0，y0)联立方程消去y得x2.所以x0，y0，所以直线AE的方程为y(x2)因为直线AE与y轴交于点M，令x0，得y，即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0)，使得MPN为直角，则0.即t20，即t240.解得t2或t2.故存在点P(2,0)或P(2,0)，无论非零实
21、数k怎样变化，总有MPN为直角3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【答案】(1)1(2)所以符合题意的直线l不存在【解析】(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)1443t20，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得4，从而t2.由于2 4，4 ，所以符合题意的直线l不存在
