1、大一轮复习讲义8.4直线、平面平行的判定与性质第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1基础知识 自主学习PART ONE知识梳理1.线面平行的判定定理和性质定理ZHISHISHULIZHISHISHULIlaal 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 _与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)lb此平面内交线lalb2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平
2、面内的两条 与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面 ，那么它们的_平行 ab相交直线相交交线abbabPab1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？【概念方法微思考】提示不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直
3、线，则这条直线平行于这个平面.()(2)平行于同一条直线的两个平面平行.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(6)若，直线a，则a.()基础自测JICHUZICEJICHUZICE题组一思考辨析123456题组二教材改编123452.P58练习T3平面平面的一个充分条件是A.存在一条直线a，a，aB.存在一条直线a，a，aC.存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD.存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析若l，al，a，a，则a，a
4、，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.63.P62A组T3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.平行12345解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1 平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.6题组三易错自纠123454.对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题是真命题的是A.若m，n，则mn B.若m，n，则mnC.若m，n，则mn D.若m，n，则mn解析对A，直
5、线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确.6123455.若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线解析当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.6123456.设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的条件是_.(填上所有正确的序号)解析在条件或条件中，或与相交；由，条件
6、满足；在中，a，abb，又b，从而，满足.62题型分类深度剖析PART TWO题型一直线与平面平行的判定与性质多维探究多维探究命题点1直线与平面平行的判定例1(2018绍兴模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，点M，N分别为A1C1，AB1的中点.(1)证明：MN平面BB1C1C；证明连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，A1B的中点，所以MN为A1BC1的一条中位线，所以MNBC1，又MN 平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.(2)若CMMN，求三棱锥MNAC的体积.解设点D，E分别为AB，AA1的中点，AA1a，连接ND，
7、CD，由CMMN，得CM2MN2CN2，又NE平面AA1C1C，NE1，命题点2直线与平面平行的性质例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1.(1)证明：EF平面PDC；证明取PC的中点M，连接DM，MF，M，F分别是PC，PB的中点，E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，MFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形，EFDM，EF 平面PDC，DM平面PDC，EF平面PDC.(2)求点F到平面PDC的距离.解EF平面PDC，点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.PA平面ABCD，PADA，在RtPAD中，
8、PAAD1，PA平面ABCD，PACB，CBAB，PAABA，PA，AB平面PAB，CB平面PAB，PD2DC2PC2，PDC为直角三角形，其中PDCD，连接EP，EC，易知VEPDCVCPDE，设E到平面PDC的距离为h，CDAD，CDPA，ADPAA，AD，PA平面PAD，CD平面PAD，思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba).(3)利用面面平行的性质(，aa).(4)利用面面平行的性质(，a，aa).(1)求证：EF平面PAD；BCAD，EFAD.又EF 平面PAD，AD平面PAD，EF平面PAD.平面PA
9、C平面ABCD，且平面PAC平面ABCDAC，PAAC，PA平面PAC，PA平面ABCD，PABC.又ABAD，BCAD，BCAB，又PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB，连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，又SABD1，点F到平面ABD的距离为1，例3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；题型二平面与平面平行的判定与性质师生共研师生共研证明G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)平
10、面EFA1平面BCHG.证明E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF 平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB且A1B1AB，A1GEB，A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.又A1E 平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面EFA1，平面EFA1平面BCHG.引申探究1.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C，AC1，交于点M，四边
11、形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM 平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1BD且D1C1BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1 平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1平面AC1D.解连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，同理，AD1C1D，又ADC1D1，所以四边形ADC1D1是平行四边
12、形，所以ADD1C1，又ACA1C1，思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.跟踪训练2如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M为棱AE的中点.(1)求证：平面BDM平面EFC；证明如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，又M为棱AE的中点，MNEC.MN 平面EFC，EC平面EFC，MN平面EFC.BF平面ABCD，DE平面AB
13、CD，且BFDE，BFDE且BFDE，四边形BDEF为平行四边形，BDEF.BD 平面EFC，EF平面EFC，BD平面EFC.又MNBDN，MN，BD平面BDM，平面BDM平面EFC.(2)若AB1，BF2，求三棱锥ACEF的体积.解连接EN，FN.在正方形ABCD中，ACBD，又BF平面ABCD，BFAC.又BFBDB，BF，BD平面BDEF，AC平面BDEF，又N是AC的中点，V三棱锥ANEFV三棱锥CNEF，题型三平行关系的综合应用师生共研师生共研例4如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.(1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH；证明四边形EF
14、GH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF 平面ABD，EF平面ABD.又EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB，又AB 平面EFGH，EF平面EFGH，AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH.(2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围.解设EFx(0 x4)，EFAB，FGCD，四边形EFGH为平行四边形，又0 x4，8l12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.跟踪训练3如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱
15、DD1的中点，过A，C，E三点作平面与正方体的面相交.(1)画出平面与正方体ABCDA1B1C1D1各面的交线；解如图，交线即为EC，AC，AE，平面即为平面AEC.(2)求证：BD1平面.证明连接AC，BD，设BD与AC交于点O，连接EO，四边形ABCD为正方形，O是BD的中点，又E为DD1的中点.OEBD1，又OE平面，BD1 平面.BD1平面.3课时作业PART THREE基础保分练123456789101112131415161.(2018温州模拟)已知，为两个不同的平面，直线l，那么“l”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若l，且
16、l，则，相交或平行，故l且lD/，而且ll，所以“l”是“”的必要不充分条件，故选B.123456789101112131415162.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确.1234567891011121314151
17、63.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1.AB平面ABC，A1B1 平面ABC，A1B1平面ABC.平面A1B1EC平面ABCDE，DEA1B1，DEAB.123456789101112131415164.(2019台州模拟)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有A.0条 B.1条C.2条 D.0条或2条解析如图设平面截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EFGH，EF 平面BCD，GH平面BCD，所以EF平面BC
18、D，又EF平面ACD，平面ACD平面BCDCD，则EFCD，EF平面EFGH，CD 平面EFGH，则CD平面EFGH，同理AB平面EFGH，所以该三棱锥与平面平行的棱有2条，故选C.解析由线面垂直的判定定理，可知C正确.123456789101112131415165.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m的是A.且m B.且mC.mn且n D.mn且123456789101112131415166.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是12345678910111
19、213141516解析A项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交；B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；12345678910111213141516C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；D项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB 平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故选A.123456789101112131415167.(2018杭州模拟)
20、设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_.(填序号)解析mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误.123456789101112131415168.棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是_.解析由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为 .123456789101112131415169.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1
21、中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF平面AB1C，则线段EF的长度为_.解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，又E为AD中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F为DC中点，1234567891011121314151610.(2018金华模拟)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，
22、则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.点M在线段FH上(或点M与点H重合)1234567891011121314151611.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；12345678910111213141516证明由题设知BB1DD1且BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BDB1D1.又BD 平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，所以BD平面CD1B1.因为A1D1B1C1BC且A1D1B1C1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD
23、1C.又A1B 平面CD1B1，D1C平面CD1B1，所以A1B平面CD1B1.又因为BDA1BB，BD，A1B平面A1BD，所以平面A1BD平面CD1B1.12345678910111213141516(2)若平面ABCD平面B1D1C直线l，证明：B1D1l.证明由(1)知平面A1BD平面CD1B1，又平面ABCD平面B1D1Cl，平面ABCD平面A1BDBD，所以直线l直线BD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1BD，所以B1D1l.1234567891011121314151612.(2018绍兴模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD
24、平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，AB2DC ，且PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心.(1)求证：GF平面PDC；12345678910111213141516证明连接AG并延长交PD于点H，连接CH.又HC平面PCD，GF 平面PCD，GF平面PDC.12345678910111213141516(2)求三棱锥GPCD的体积.12345678910111213141516解方法一由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PEAD，BEAD，又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，且PE3，由(1)知GF
25、平面PDC，12345678910111213141516又ABD为正三角形，得CDFABD60，方法二由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PEAD，BEAD，又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，且PE3，连接CE，12345678910111213141516又ABD为正三角形，得EDC120，技能提升练1234567891011121314151613.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF ，则下列结论中错误的是A.ACBFB.三棱锥ABEF的体积为定值C.EF平面ABCDD
26、.异面直线AE，BF所成的角为定值12345678910111213141516解析ABCDA1B1C1D1为正方体，易证AC平面BDD1B1，BF平面BDD1B1，ACBF，故A正确；对于选项B，E，F，B在平面BDD1B1上，A到平面BEF的距离为定值，BEF的面积为定值，三棱锥ABEF的体积为定值，故B正确；12345678910111213141516对于选项C，EFBD，BD平面ABCD，EF 平面ABCD，EF平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，令上底面中心为O，当F与B1重合时，E与O重合，易知两异面直线所成的角是A1AO，当E与D1重合时，点
27、F与O重合，连接BC1，易知两异面直线所成的角是OBC1，可知这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误.1234567891011121314151614.如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN平面DCC1D1，设BNx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是12345678910111213141516解析过M作MQDD1，交AD于点Q，连接QN.MQ 平面DCC1D1，DD1平面DCC1D1，MQ平面DCC1D1，MN平面DCC1D1，MNMQM，平面MNQ平面DCC1D
28、1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，NQDC，可得QNCDAB1，AQBNx，12345678910111213141516在RtMQN中，MN2MQ2QN2，即y24x21，y24x21(x0，y1)，函数yf(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.故选C.拓展冲刺练1234567891011121314151615.如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC10，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为1234567891011
29、1213141516解析取AC的中点G，连接SG，BG.易知SGAC，BGAC，SGBGG，SG，BG平面SGB，故AC平面SGB，所以ACSB.因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，则SBHD.同理SBFE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，12345678910111213141516所以HFDE且HFDE，所以四边形DEFH为平行四边形.因为ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形，1234567891011121314151616.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，
30、AC与BD相交于点O，ADBC，ADAB，ABBCAP3，三棱锥PACD的体积为9.(1)求AD的值；解在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ADAB，ABBCAP3，12345678910111213141516(2)过点O的平面平行于平面PAB，平面与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H，求截面EFGH的周长.12345678910111213141516解方法一由题意知平面平面PAB，平面平面ABCDEF，点O在EF上，平面PAB平面ABCDAB，根据面面平行的性质定理，得EFAB，同理EHBP，FGAP.又易知BEAF，AD2BC，所以FD2AF.12345678910111213141516如图，作HNBC，GMAD，NPBN，GMPAM，则HNGM，HNGM，所以四边形GMNH为平行四边形，所以GHMN，又EFAB3，12345678910111213141516方法二因为平面平面PAB，平面平面ABCDEF，点O在EF上，平面PAB平面ABCDAB，所以EFAB，同理EHBP，FGAP.因为BCAD，AD6，BC3，12345678910111213141516如图，连接HO，则HOPA，所以HOEO，HO1，12345678910111213141516又EFAB3，过点H作HNEF交FG于点N，
