1、一、知识梳理：一、知识梳理：（1 1）、最大公因数和最小公倍数。）、最大公因数和最小公倍数。互质互质:两个数的最大公因数为两个数的最大公因数为1 1就叫做这两个数互质。就叫做这两个数互质。1.1.两个连续自然数是互质的。例如两个连续自然数是互质的。例如:8:8与与9;159;15与与16162.2.两个质数必然是互质的。例如两个质数必然是互质的。例如:5:5和和7;117;11和和1313（2 2）、求最大公因数或最小公倍数的方法）、求最大公因数或最小公倍数的方法1.1.若两个数是互质的若两个数是互质的,则最大公因数为则最大公因数为1,1,最小公倍数为这两个最小公倍数为这两个数的乘积。数的乘积
2、。2.2.若两个数是若两个数是倍数关系倍数关系,则较小的数为它们的最大公因数则较小的数为它们的最大公因数,较大的数为它们的最小公倍数。当两个数相差较大时较大的数为它们的最小公倍数。当两个数相差较大时,要判断大数是否为小数的倍数。要判断大数是否为小数的倍数。3.3.两个数不是倍数关系的两个数不是倍数关系的,也不是互质的才适合用也不是互质的才适合用分解质分解质因数因数去求最大公因数和最小公倍数。去求最大公因数和最小公倍数。（3 3）、应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法）、应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法1.1.分析题意分析题意,判断结果应该比所给数量大判断结果应该比所给数量大,则
3、是求公倍数则是求公倍数;2.2.分析题意分析题意,判断结果应该比所给数量小判断结果应该比所给数量小,则是求公因数则是求公因数3.3.题目中含题目中含“最多最多”或或“最长最长”等字眼等字眼,则是求最大公因数则是求最大公因数4.4.题目中含题目中含“至少至少”,“”,“下一次下一次”字眼字眼,则是求最小公倍数则是求最小公倍数针对性练习：针对性练习：一、填空题。一、填空题。1 1、如果有两个质数的和等于、如果有两个质数的和等于2424，可以是（，可以是（5 5 ）（1919 ），（），（7 7 ）（）（1717 ）或（）或（1111 ）（1313 ）。）。2 2、a b c a b c 都是质数，
4、甲数都是质数，甲数=a=ab bb b，乙数，乙数=a=ab bc c，甲乙两数的最大公因数是（甲乙两数的最大公因数是（abab ），最小公倍数是），最小公倍数是（abab2 2c c ）3 3a=2a=22 25 5，b=2b=23 35 5，那么，那么a a 和和b b的最小公倍数是的最小公倍数是（6060），最大公因数是（），最大公因数是（10 10 ）。）。4 4、找出下列每组数的最大公因数、最小公倍数、找出下列每组数的最大公因数、最小公倍数 1515和和1212的最大公因数是（的最大公因数是（3 3 ），最小公倍数是），最小公倍数是（60 60 ）1818和和2727的最大公因数是（
5、的最大公因数是（9 9 ），最小公倍数是），最小公倍数是（5454 ）1717和和3434的最大公因数是（的最大公因数是（17 17 ），最小公倍数是），最小公倍数是（34 34 ）5 5、一个自然数除以、一个自然数除以4 4余余2 2，除以，除以5 5余余3 3，除以，除以6 6余余4 4，这个数最，这个数最小是（小是（58 58 ）。）。6 6、有三根铁丝，一根长、有三根铁丝，一根长48dm,48dm,一根长一根长60dm,60dm,，一根长，一根长36dm36dm，要把他们截成同样长的几段，不许剩余，每段最，要把他们截成同样长的几段，不许剩余，每段最长是（长是（1212 ）dm,dm,一
6、共可以截成（一共可以截成（12 12 ）段。）段。7 7、三个连续自然数的和是、三个连续自然数的和是1818，这三个自然数的最大公，这三个自然数的最大公约数是（约数是（1 1），最小公倍数是（），最小公倍数是（210210）8 8、a a和和b b都是自然数，而且都是自然数，而且a=8ba=8b，那么，那么a a和和b b的最大公因的最大公因数是（数是（b b），最小公倍数是（），最小公倍数是（a a）9 9、m m和和n n是两个相邻的自然数，都不为是两个相邻的自然数，都不为0 0，则它们的最大公，则它们的最大公因数是（因数是（1 1 ），最小公倍数是（），最小公倍数是（mn mn ）。）。
7、1010、如果自然数、如果自然数A A除以自然数除以自然数B B商是商是17,17,那么那么A A与与B B的最大公约的最大公约数是数是(B B ),),最小公倍数是最小公倍数是(A A）。）。1111、最小质数与最小合数的最大公约数是、最小质数与最小合数的最大公约数是(2 2 ),),最小公倍最小公倍数是数是(4 4 )。1212、能被、能被5 5、7 7、1616整除的最小自然数是（整除的最小自然数是（560 560 ）。）。1313、在、在()()里写最大公因数、里写最大公因数、里写最小公倍数。里写最小公倍数。(1)(7(1)(7、8)=(8)=(1 1 ),7,8=(),7,8=(56
8、56 )(2)(25,15)=(2)(25,15)=(5 5 )25)25、15=(15=(7575 )(3)(140,35)=(3)(140,35)=(35 35 )140,35=()140,35=(140140 )(4)(24,36)=(4)(24,36)=(12 12 )24)24、36=(36=(7272 )(5)3,4,5=(5)3,4,5=(60 60 )8,16=()8,16=(16 16)1414、5 5和和1212的最小公倍数减去的最小公倍数减去(5959 )就等于它们的最就等于它们的最大公因数。大公因数。1515、9191和和1313的最小公倍数是它们最大公约数的的最小公倍
9、数是它们最大公约数的(7 7 )倍。倍。1616、已知两个大于、已知两个大于1 1的互质数的最小公倍数是的互质数的最小公倍数是153153，这两个，这两个互质数是（互质数是（9 9 ）和（）和（17 17 ）。）。1717、3 3个连续自然数的最小公倍数是个连续自然数的最小公倍数是60,60,这三个数是这三个数是（3 3 ）、（）、（4 4）和（）和（5 5 ）。）。1818、被、被2 2、3 3、5 5除除,结果都余结果都余1 1的最小整数是的最小整数是(3131 ),),最小三最小三位整数是位整数是(121 121)。1919、一筐苹果、一筐苹果4 4个个4 4个拿个拿,6,6个个6 6个
10、拿个拿,或者或者8 8个个8 8个拿都正好拿个拿都正好拿完完,这筐苹果这筐苹果,最少有最少有(2424 )个。个。2020、三个连续偶数的和是、三个连续偶数的和是42,42,这三个数的最大公约数是这三个数的最大公约数是(2 2 )。2121、三个不同质数的最小公倍数是、三个不同质数的最小公倍数是105,105,这三个质数是这三个质数是（3 3 )、(5 5)和和(7 7 )。2222、自然数、自然数m m和和n,n=m+1,mn,n=m+1,m和和n n的最大公约数是的最大公约数是(1 1 ),),最最小公倍数是小公倍数是(mn mn ）2323、把自然数、把自然数a a与与b b分解质因数分
11、解质因数,得到得到a=2a=25 57 7m,b=3m,b=35 5m,m,如果如果a a与与b b的最小公倍数是的最小公倍数是2730,2730,那么那么m=(m=(13 13 )。2424、三个数的和是、三个数的和是312,312,这三个数分别能被这三个数分别能被7 7、8 8、9 9整除整除,而而且商相同。这三个数分别是（且商相同。这三个数分别是（9191 ）、（）、（104 104）、）、（117117 ）。）。2525、已知、已知(A,40)=8,A,40=80,(A,40)=8,A,40=80,那么那么A=(A=(1616 )。二、选择题二、选择题1 1两个合数的最大公因数是两个合
12、数的最大公因数是1 1，最小公倍数是，最小公倍数是144144，这，这两个数是（两个数是（D D）A A1 1和和144144B B8 8和和1818C C7 7和和7272D D9 9和和16162 2a a和和b b都是自然数，而且都是自然数，而且a=4ba=4b，那么，那么a a和和b b的最大公因的最大公因数是（数是（B B），最小公倍数是（），最小公倍数是（C C）A A4 4B Bb bC Ca aD Dabab3 3a=2a=22 25 5，b=2b=23 35 5，那么，那么a a 和和b b的最小公倍数是的最小公倍数是（C C）A A600600B B300300C C606
13、0D D10104 4m m是是n n的的1/31/3（m m、n n均为非零自然数），均为非零自然数），m m与与n n两个数的两个数的最小公倍数是（最小公倍数是（A A）A An nB B1 1C Cm mD Dmnmn5 5两个数的最大公因数是两个数的最大公因数是1212，最小公倍数是，最小公倍数是144144，其中，其中一个数是一个数是3636，另一个数是（，另一个数是（C C）A A156156B B1212C C4848D D1321329 9如果如果a ab=7b=7（a a和和b b都是不为都是不为0 0的自然数），的自然数），a a和和b b的最大的最大公因数是（公因数是（B
14、 B）A Aa aB Bb bC C7 71010甲、乙两个数的最大公约数是甲、乙两个数的最大公约数是4 4，最小公倍数是，最小公倍数是2424，甲，甲数是数是1212，乙数是（，乙数是（C C）A A4 4B B6 6C C8 8D D24241111已知甲数已知甲数=2=22 22 23 35 5，乙数，乙数=2=23 33 33 35 5，那，那么甲数和乙数的最小公倍数是（么甲数和乙数的最小公倍数是（D D）A A120120B B180180C C270270D D108010801212m m、n n是非零自然数，是非零自然数，m mn=11n=11，那么，那么n n和和m m的最小
15、公倍的最小公倍数是（数是（B B）A Am mB BmnmnC Cn n1313如果如果a ab=5b=5（a a、b b是不为是不为0 0的自然数），那么的自然数），那么a a、b b的最的最大公因数是（大公因数是（B B）A Aa aB Bb bC C5 5D D0 01414甲和乙的最大公约数是甲和乙的最大公约数是6 6，最小公倍数是，最小公倍数是6060，若甲为，若甲为1212，则乙是（则乙是（C C）A A2424B B1515C C3030三、判断题：三、判断题：1 1、一个数的因数的个数是有限的，而倍数的个数是无、一个数的因数的个数是有限的，而倍数的个数是无限的。（限的。（）2
16、2、因为、因为7 78=568=56，所以，所以5656是倍数，是倍数，7 7和和8 8是因数。是因数。（）3 3、1414比比1212大，所以大，所以1414的因数比的因数比1212的因数多。（的因数多。（）4 4、1 1是是1 1，2 2，3 3，4 4，5.5.的因数。（的因数。（）5 5、一个数的最小因数是、一个数的最小因数是1 1，最大因数它本身。（，最大因数它本身。（）6 6、一个数的最小倍数是它本身。（、一个数的最小倍数是它本身。（）7 7、1212是是4 4的倍数，的倍数，8 8是是4 4的倍数，的倍数，1212与与8 8的和也是的和也是4 4的倍数。的倍数。（）四、解答题：四
17、、解答题：1 1、一批练习本，如果平均分给、一批练习本，如果平均分给6 6位同学，就多出位同学，就多出3 3本；如果本；如果平均分给平均分给8 8位同学，还是多出位同学，还是多出3 3本，如果平均分给本，如果平均分给1010位同学，位同学，仍然会多出仍然会多出3 3本，这批练习本至少有多少本？本，这批练习本至少有多少本？先把多的先把多的3 3本练习本拿出来，那么平均分给本练习本拿出来，那么平均分给6 6位同学可以分完，位同学可以分完，平均分给平均分给8 8位同学可以分完，平均分给位同学可以分完，平均分给1010位同学也可以分完，位同学也可以分完，说明是说明是6 6，8 8，1010的公倍数的公
18、倍数6 6，8 8，1010的最小公倍数是的最小公倍数是120120120+3=123120+3=123（本）（本）2、一袋糖果，如果平均分给、一袋糖果，如果平均分给4个小朋友，还剩个小朋友，还剩3块，如果平块，如果平均分给均分给5个小朋友，还缺个小朋友，还缺1块，如果平均分给块，如果平均分给6个小朋友，还个小朋友，还缺缺1块，这袋糖果至少有多少个？块，这袋糖果至少有多少个？平均分给平均分给4 4个小朋友，还剩个小朋友，还剩3 3块，说明缺块，说明缺1 1块块平均分给平均分给5 5个小朋友，还缺个小朋友，还缺1 1块块平均分给平均分给6 6个小朋友，还缺个小朋友，还缺1 1块块如果给这袋糖果补
19、上如果给这袋糖果补上1 1块，那么就会变成块，那么就会变成4 4，5 5，6 6的公倍数的公倍数4 4，5 5，6 6的最小公倍数是的最小公倍数是606060-1=5960-1=59（块）（块）3 3、有一条小路边上种了、有一条小路边上种了3636棵小树，每两棵树之间的间棵小树，每两棵树之间的间隔是隔是2 2米，现在改为株距是米，现在改为株距是5 5米，一共有多少棵小树不必米，一共有多少棵小树不必挪动？挪动？总距离：（总距离：（36-136-1）2=702=70（米）（米）【2 2，5 5】=10=10707010+1=810+1=8（棵）（棵）4 4、甲、乙、丙三个班的同学去公园划船、甲、乙
20、、丙三个班的同学去公园划船,甲班甲班4949人人,乙乙班班5656人人,丙班丙班4242人。把各班同学分别分成小组人。把各班同学分别分成小组,分乘若干分乘若干条小船条小船,使每条船上人数相等使每条船上人数相等,最少要多少条船最少要多少条船?要使使用的船的条数越少，每条船上的人数就要越多要使使用的船的条数越少，每条船上的人数就要越多（4949，5656，4242）=7=7最少使用的船的条数：最少使用的船的条数：49497+567+567+427+427=217=21（条）（条）5 5、有三根铁丝、有三根铁丝,长度分别是长度分别是120120厘米、厘米、180180厘米、厘米、300300厘米。厘
21、米。现在要把它们截成相等的小段现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余。每小每根都不能有剩余。每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段段最长多少厘米？一共可以截成多少段？每小段最长，即求最大公因数每小段最长，即求最大公因数（120120，180180，300300）=60=60每小段最长每小段最长6060厘米厘米段数：段数：12012060+18060+18060+30060+30060=1060=10（段）（段）6 6、兄弟三人在外工作、兄弟三人在外工作,大哥大哥6 6天回家一次天回家一次,二哥二哥8 8天回家天回家一次一次,小弟小弟1212天回家一次。兄弟三人同时在十月一日回天回家一次。
22、兄弟三人同时在十月一日回家家,下一次三人再见面是哪一天下一次三人再见面是哪一天?【6 6，8 8，1212】=24=241010月月1 1日日+24+24天天1010月月2525日日7 7、有一个长、有一个长8080厘米厘米,宽宽6060厘米厘米,高高115115厘米的长方体储冰厘米的长方体储冰容器容器,往里面装入大小相同的立方体冰块往里面装入大小相同的立方体冰块,这个容器最少这个容器最少能装多少数量冰块能装多少数量冰块?（8080，6060，115115）=5=5，说明正方体的棱长最大为，说明正方体的棱长最大为5 5厘米厘米块数：（块数：（80805 5）（）（60605 5）（）（1151
23、155 5）=4416=4416（块）（块）8 8、已知某小学六年级学生超过、已知某小学六年级学生超过100100人人,而不足而不足140140人。将他人。将他们按每组们按每组1212人分组人分组,多多3 3人人;按每组按每组8 8人分人分,也多也多3 3人。这个学人。这个学校六年级学生多少校六年级学生多少?先去掉先去掉3 3人，剩下的人数是人，剩下的人数是1212和和8 8的公倍数的公倍数1212，8=248=24（人）（人）24245+3=1235+3=123（人）（人）9 9、把长、把长120120厘米厘米,宽宽8080厘米的铁板裁成面积相等厘米的铁板裁成面积相等,最大的最大的正方形而且
24、没有剩余正方形而且没有剩余,可以裁成多少块可以裁成多少块？要裁成最大的正方形，正方形的边长是要裁成最大的正方形，正方形的边长是120120和和8080的最大公因数的最大公因数（120120，8080）=40 =40 边长是边长是4040厘米厘米可以裁成的块数：（可以裁成的块数：（1201204040）（）（80804040）=6=6（块）（块）1010、从小明家到学校原来每隔、从小明家到学校原来每隔5050米安装一根电线杆米安装一根电线杆,加加上两端的两根一共是上两端的两根一共是5555根电线杆根电线杆,现在改成每隔现在改成每隔6060米安米安装一根电线杆装一根电线杆,除两端的两根不用移动外除
25、两端的两根不用移动外,中途还有多少中途还有多少根不必移动根不必移动？总距离：总距离：5050（55-155-1）=2700=2700（米）（米）【5050，6060】=300=30027002700300=9300=9（根）（根）9-1=8 9-1=8（根）（根）1111、现在有香蕉、现在有香蕉4242千克千克,苹果苹果112112千克千克,桔子桔子7070千克千克,平均平均分给幼儿园的几个班分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分每班分到的这三种水果的数量分别相等别相等,那么最多分给了多少个班那么最多分给了多少个班,每个班至少分到了三每个班至少分到了三种水果各多少千克？种水果各多少千
26、克？（4242，112112，7070）=14=14，说明最多分给，说明最多分给1414个班级个班级每个班分到的香蕉：每个班分到的香蕉：424214=314=3（个）（个）每个班分到的苹果：每个班分到的苹果：11211214=814=8（个）（个）每个班分到的句子：每个班分到的句子：707014=514=5（个）（个）1212、把、把1.361.36米，宽米，宽0.80.8米的长方形纸裁剪成同样大小的米的长方形纸裁剪成同样大小的正方形纸，如果要使得正方形纸的面积尽可能大，且裁正方形纸，如果要使得正方形纸的面积尽可能大，且裁完没有剩余，可以裁出多少张？完没有剩余，可以裁出多少张？1.361.36
27、米米=136=136厘米厘米 0.8 0.8米米=80=80米米正方形的边长是正方形的边长是136136和和8080的最大公因数的最大公因数（136136，8080）=8=8所以边长为所以边长为8 8厘米厘米（1361368 8）（）（80808 8）=170=170（张）（张）1313、五年级甲班的学生不超过、五年级甲班的学生不超过6060人，在一次数学测验中，分数不低于人，在一次数学测验中，分数不低于9090分的人数占分的人数占1/71/7，得，得80808989分的人数占分的人数占1/21/2，得，得70707979分的人数占分的人数占1/31/3，那么，得那么，得7070分以下的有多少
28、人？分以下的有多少人？分数不低于分数不低于9090分的人数占分的人数占1/71/7，说明总人数是，说明总人数是7 7的倍数；的倍数；得得80808989分的人数占分的人数占1/21/2，说明总人数是，说明总人数是2 2的倍数；的倍数；得得70707979分的人数占分的人数占1/31/3，说明总人数是，说明总人数是3 3的倍数，的倍数，则总人数是则总人数是2 2，3 3，7 7的公倍数，的公倍数，【2 2，3 3，7 7】=42=429090的人数：的人数：42427=67=6（人）（人）80-8080-80的人数：的人数：42422=212=21（人）（人）70-7970-79的人数：的人数：
29、42423=143=14（人）（人）7070的人数的人数:42-6-21-14=1(:42-6-21-14=1(人人)1414、大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，、大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长5454厘米，爸爸每厘米，爸爸每步长步长7272厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下地上留下6060个脚印。求圆形花圃的周长。个脚印。求圆形花圃的周长。【5454，7272】=216=216，把，把216216厘米当作
30、一个小周期，在这个周期中，厘米当作一个小周期，在这个周期中，小明走：小明走：21621654=454=4（步）（步）爸爸走：爸爸走：21621672=372=3（步）（步）一个周期中会留下：一个周期中会留下：3+4-1=63+4-1=6（个）脚印（个）脚印周期数：周期数：60606=10(6=10(个个)周长：周长：21621610=216010=2160（厘米）（厘米）1515、甲数是、甲数是3636，甲、乙两数最大公约数是，甲、乙两数最大公约数是4 4，最小公倍数是，最小公倍数是288288，那么乙数是多少？，那么乙数是多少？最大公约数与最小公倍数常用结论：最大公约数与最小公倍数常用结论：
31、A AB=B=（A,BA,B）A,BA,B4 428828836=3236=321616、已知两个自然数的积为、已知两个自然数的积为240240，最小公倍数为，最小公倍数为6060，求，求这两个数。这两个数。最大公因数：最大公因数：24024060=460=460604=15=14=15=115=315=35 5（1 1）4 41=41=4，4 415=6015=60（2 2）4 43=123=12，4 45=205=20所以这两个数是所以这两个数是4 4和和6060，或者，或者1212和和20201717、已知两数的最大公约数是、已知两数的最大公约数是2121，最小公倍数是，最小公倍数是12
32、6126，求这两个数分别是多少？求这两个数分别是多少？12612621=6=121=6=16=36=32 2（1 1）21211=211=21，21216=1266=126（2 2）21213=633=63，21212=422=42所以这两个数是所以这两个数是2121和和126126，或者，或者6363和和42421818、两个数的最大公因数是、两个数的最大公因数是1515，最小公倍数是，最小公倍数是9090，求这，求这两个数分别是多少？两个数分别是多少？909015=6=115=6=16=36=32 2（1 1）15151=151=15，15156=906=90（2 2）15153=453=
33、45，15152=302=30所以这两个数是所以这两个数是1515和和9090，或者，或者4545和和30301919、两个数的最大公因数是、两个数的最大公因数是9 9，最小公倍数是，最小公倍数是9090，求这，求这两个数分别是多少？两个数分别是多少？90909=10=19=10=110=510=52 2（1 1）9 91=91=9，9 910=9010=90（2 2）9 95=455=45，9 92=182=18所以这两个数是所以这两个数是9 9和和9090，或者，或者4545和和18182020、两个三位数的最大公约数、两个三位数的最大公约数2929，它们的最小公倍数是，它们的最小公倍数是
34、49594959那么这两个三位数的差是多少？那么这两个三位数的差是多少？4959495929=171=129=171=1171=3171=357=957=91919要使这两个数都是三位数，那么只能是要使这两个数都是三位数，那么只能是171=9171=91919这种情况这种情况29299=261 299=261 2919=55119=551，相差：，相差：551-261=290551-261=2902121、两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是、两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是1010，最，最小公倍数是小公倍数是450450那么，较小的数是多少？那么，较小的数是多少？45045010=4510=45，45=145=145=345=315=515=59 9不成倍数关系的两个数分别是：不成倍数关系的两个数分别是：5 510=5010=50，9 910=9010=90较小的数是较小的数是50502222、两个大于、两个大于1 1的自然数互质，且它们的最小公倍数是的自然数互质，且它们的最小公倍数是216216，求较大的那个数是几，求较大的那个数是几216=2216=2108=3108=372=472=454=654=636=836=827=927=924=1224=121818互质的情况只有互质的情况只有8 8和和2727，所以较大的数是，所以较大的数是2727
