1、数学数学立体几何立体几何一、空间多边形及一些基本定义1、.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.2、若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.3、若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.4、平面通常用一个平行四边形来表示.5、平面常用希腊字母、或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.n6、在立体几何中，大写字母A，B，C，表示点，小写字母，a,b,c,l,m,n,表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的
2、符号表示它们之间的关系，例如：n Al点A在直线l上；A点A不在平面内；nl属于直线l在平面内；na不属于直线a不在平面内；nlm=A直线l与直线m相交于A点；nl=A平面与直线l交于A点；n=l平面与平面相交于直线l.shu二.平面的基本性质n公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.n公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.n公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.n根据上面的公理，可得以下推论.n推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.n推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.n推
3、论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.三.空间线面的位置关系n 共面 平行没有公共点n(1)直线与直线 相交有且只有一个公共点n 异面(既不平行，又不相交)n 直线在平面内有无数个公共点n(2)直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点n 相交有且只有一公共点n(3)平面与平面 相交有一条公共直线(无数个公共点)n 平行没有公共点、四.异面直线的判定 n证明两条直线是异面直线通常采用反证法.n有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.五.线面平行与垂直的判定n(1)两直线平行的判定n定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.n如果一条直线和
4、一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a,a，=b,则ab.n平行于同一直线的两直线平行，即若ab,bc,则ac.n垂直于同一平面的两直线平行，即若a，b，则abn两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若,=b,则abn如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若=b,a,a，则ab.例1、n已知四边形是ABCD空间四边形，E、F、G、H分别是四边的中点n求证：EFGH是平行四边形AHGFEDCBn(2)两直线垂直的判定n定义：若两直线成90角，则这两直线互相垂直.n一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂
5、直.即若bc,ab,则acn一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a,b，ab.三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.n如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a,b,则ab.n三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若,，,且=a,=b,=c，则ab,bc,ca.例2、n如图P是 所在平面外一点，平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，（1）求证：；n（2）当 ，时，求MN的长。N M P C B AABC,PAPB CB3ANNBMNAB90APB24ABBCn(3)直线与平面平
6、行的判定n定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.n如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a,b，ab,则a.n两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若,l，则l.n如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若,l，l，则l.n在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A，B，A、B在同侧，且A、B到等距，则AB.n两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若,a，a，a，则.n如果一条直线与一个平面垂直，则平面
7、外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a,b，ba，则b.n如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若ab,a,b(或b)例3、n如图，在正方体中 ，E是AA1的中点，n求证：平面BDE。1111ABCDABC D1/ACA1ED1C1B1DCBA例4、n已知正方体 ，O是底 对角线的交点.n求证：()C1O面 n （2）面A B C D1111ABCDABC D11AB D11AB D1AC D1ODBAC1B1A1C例5、n如图，在正方体 中，E是AA1的中点.n（1）求证：平面BDE；1/AC1111ABCDA B C Dn(4)直线与平
8、面垂直的判定n定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.n如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,则l.n如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若la,a,则l.n一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若,l，则l.n如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若,a=，l，la,则l.n如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若,且a=,则a.例6、n如图，已知空间四边形AB
9、CD中，E是AB的中点。n求证：（1）平面CDE;,BCAC ADBDABAEDBC例7、n已知 中 ,面ABC,求证：面 SBC ABC90ACBSAADSCAD SDCBA例8、n已知正方体 ，O是底ABCD对角线的交点.n求证：()C1O面 AB1D1 ；(2)面 AB1D1 1111ABCDABC D1AC D1ODBAC1B1A1C例9、n正方体中 ，n求证：（1）；n（2）.ABCDA B C DACB D DB 平面BDACB 平面例10、n四面体ABCD中，分别为AD,BC的中点，且 ，n ，n求证：平面ACD,ACBD E F22E FA C90BDCBD 例11、n如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，n作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD
