1、3.2简单的三角恒等变换(二)【自主预习【自主预习】主题主题:辅助角公式辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+asinx+bcosx=sin(x+)1.1.能否作为同一个角的正弦能否作为同一个角的正弦(余弦余弦)值和余弦值和余弦(正弦正弦)值值?22ab2222ababab和提示提示:因为因为 所以所以 与能作为同一个角的正弦与能作为同一个角的正弦(余弦余弦)值和余弦值和余弦(正弦正弦)值值.222222ab()()1.abab2222ababab与2.2.设设 则则asinx+bcosxasinx+bcosx的化的化简结果是什么简结果是什么?2222abcos,sinabab ，提示
2、提示:asinx+bcosxasinx+bcosx2222222222abab(sin xcos x)ababab(sin xcoscos xsin)ab sin(x).3.3.设设 则则asinx+bcosxasinx+bcosx的化简的化简结果是什么结果是什么?提示提示:asinx+bcosxasinx+bcosx 2222absin,cosabab ，2222222222abab(sin xcos x)ababab(cos xcossin xsin)ab cos(x).通过以上探究过程通过以上探究过程,试着写出辅助角公式的两种形式试着写出辅助角公式的两种形式:22ab sin(x)22a
3、b cos(x)【深度思考【深度思考】结合教材结合教材P140P140例例3 3你认为应怎样求函数你认为应怎样求函数f(x)=asinx+bcosxf(x)=asinx+bcosx的最小正周期的最小正周期.第一步第一步:_:_._.第二步第二步:_.:_.利用辅助角公式将函数利用辅助角公式将函数f(xf(x)化为化为y=Asin(x+y=Asin(x+)的形式的形式 2Tf x|借助公式求的最小正周期【预习小测【预习小测】1.1.若若sin ,sin ,则则coscos等于等于()【解析【解析】选选C.cosC.cos=1-2sin=1-2sin2 2 3232112A.B.C.D.33332
4、311 2()233 2.2.函数函数f(x)=sinx-cosx,xf(x)=sinx-cosx,x 的最小值为的最小值为()A.-2A.-2 B.-B.-C.-C.-D.-1 D.-1【解析【解析】选选D.f(xD.f(x)=)=因为因为-x-,-x-,所以所以f(x)f(x)minmin=0,2322sin(x),x0,.424442sin()1.4 3.3.将下列各式化为将下列各式化为Asin(x+Asin(x+)的形式的形式(1)sin2x-cos2x=(1)sin2x-cos2x=.(2)sinx+cosx(2)sinx+cosx=.3【解析【解析】答案：答案：221sin 2xc
5、os 2x2(sin 2xcos 2x)222(sin 2xcoscos 2xsin)2sin(2x).444（）2sin(2x)4答案：答案：3123sin xcos x2(sin xcos x)222(sin xcoscos xsin)2sin(x).6662sin(x)64.4.函数函数f(x)=sin(2x-)-2 sinf(x)=sin(2x-)-2 sin2 2x x的最小正周期的最小正周期是是_._.【解析解析】f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x-=sin(2x+)-,=
6、sin 2x+cos 2x-=sin(2x+)-,所以所以T=.T=.答案：答案：4222222222224222【备选训练【备选训练】求函数求函数f(x)=sinxcosxf(x)=sinxcosx+cos2x+cos2x的最小的最小正周期和振幅正周期和振幅.(仿照教材仿照教材P140P140例例3 3的解析过程的解析过程)32【解析【解析】f(x)=sinxcosx+cos2xf(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=因为因为=2,=2,所以周期所以周期T=T=故最小正周期为故最小正周期为,振幅为振幅为1.1.323212sin(2x).322
7、2，【互动探究【互动探究】1.1.在公式在公式asinx+bcosx=sin(x+asinx+bcosx=sin(x+)中如何中如何确定确定?提示提示:的值由的值由tantan=来确定来确定,所在的象限与点所在的象限与点(a,b(a,b)所在的象限相同所在的象限相同.22abba2.2.在公式在公式asinx+bcosx=sin(x+asinx+bcosx=sin(x+)中中,的值唯的值唯一吗一吗?提示提示:不唯一不唯一,一般取一般取(0,2(0,2)或或(-(-,)内的角内的角.22ab【探究总结【探究总结】知识归纳知识归纳:方法总结方法总结:三角恒等变换的步骤三角恒等变换的步骤【题型探究【
8、题型探究】类型一类型一:辅助角公式的应用辅助角公式的应用【典例【典例1 1】(2016(2016长春高一检测长春高一检测)已知函数已知函数f(x)=asinxcosxf(x)=asinxcosx-acos-acos2 2x+a+b(ax+a+b(a0),0),(1)(1)求函数的单调递减区间求函数的单调递减区间.(2)(2)设设x ,f(xx ,f(x)的最小值是的最小值是-2,-2,最大值是最大值是 ,求实数求实数a,ba,b的值的值.32302，3【解题指南【解题指南】先将函数式化为先将函数式化为Asin(x+Asin(x+)+m)+m的形式的形式,再求单调区间和最值再求单调区间和最值.【
9、解析【解析】(1)f(x)=asinxcosx-acos(1)f(x)=asinxcosx-acos2 2x+a+bx+a+b由由 解得解得 故函数的单调递减区间为故函数的单调递减区间为 323a33sin 2xa 1cos 2xab222a3sin 2xacos 2xbasin(2x)ba0223（）32k2x2kkZ232，511kxkkZ1212，511kkkZ1212，(2)(2)因为因为x ,x ,所以所以 所以所以 又因为又因为a0,a0,所以所以f(x)f(x)minmin=a+b=a+b=-2,f(x)=-2,f(x)maxmax=a+b=a+b=解得解得a=2,b=a=2,b
10、=02，22x333，3sin(2x)123 323，23【延伸探究【延伸探究】1.1.本例中本例中,若若a0,a0),sin (0),且函数且函数f(xf(x)的最小正周期为的最小正周期为,试讨论试讨论f(xf(x)在区间在区间 上的单调性上的单调性.(x)4 02，【解析【解析】f(xf(x)=4cos)=4cosx xsin sin 因为因为f(xf(x)的最小正周期为的最小正周期为,且且0,0,从而有从而有 =,=,=1,=1,则则f(xf(x)=)=(x)4 22 2sin x cos x2 2cosx2(sin 2 xcos 2 x)22sin(2 x)2.4 222sin(2x)
11、2.4若若0 x 0 x 则则 当当 即即0 x 0 x 时时,f(x,f(x)单调递增单调递增;当当 即即 时时,f(x,f(x)单调递减单调递减.综上可知综上可知,f(x,f(x)在区间在区间 上单调递增上单调递增,在区间在区间 上单调递减上单调递减.2，52x.4442x442，852x,244x8208，,8 2【规律总结【规律总结】运用公式解决三角函数综合问题的思路运用公式解决三角函数综合问题的思路【补偿训练【补偿训练】(2013(2013新课标全国卷新课标全国卷)设当设当x=x=时时,函数函数f(xf(x)=sinx-2cosx)=sinx-2cosx取得最大值取得最大值,则则co
12、scos=.【解题指南【解题指南】利用辅助角公式利用辅助角公式f(x)=asinx+bcosxf(x)=asinx+bcosx 构造求解构造求解coscos的值的值.22bab sinx)(tan)a（其中【解析【解析】f(x)=sinx-2cosx=sin(x+f(x)=sinx-2cosx=sin(x+),),其中其中tantan=-2,=-2,当当x+x+=2k+(kZ=2k+(kZ)时时,函数函数f(xf(x)取得取得最大值最大值,即即=2k+-=2k+-(kZ(kZ).).所以所以cos=coscos=cos =sin=sin,又因为又因为tantan=-2,=-2,在第四象限在第四
13、象限,所以所以sinsin=即即coscos=答案答案:52()22 55，2 5.52 552类型二类型二:三角恒等变换在实际问题中的应用三角恒等变换在实际问题中的应用【典例【典例2 2】点点P P在直径在直径AB=1AB=1的半圆上移动的半圆上移动,过过P P作圆的切作圆的切线线PTPT且且PT=1,PAB=,PT=1,PAB=,问问为何值时为何值时,四边形四边形ABTPABTP的面的面积最大积最大?【解题指南【解题指南】将四边形将四边形ABTPABTP的面积表示为的面积表示为的三角函的三角函数数,利用辅助角公式及三角函数的性质求解利用辅助角公式及三角函数的性质求解.【解析【解析】如图所示
14、如图所示,因为因为ABAB为直径为直径,所以所以APB=90APB=90,又又AB=1,AB=1,所以所以PA=cos,PB=sinPA=cos,PB=sin.又又PTPT切圆于切圆于P P点点,TPB=PAB=,TPB=PAB=,所以所以S S四边形四边形ABTPABTP=S=SPABPAB+S+STPBTPB=PA=PAPB+PTPB+PTPBPBsinsin=sincos+sin=sincos+sin2 2=sin2+(1-cos2)=sin2+(1-cos2)=(sin2-cos2)+=(sin2-cos2)+因为因为0 ,0 ,所以所以 所以当所以当2-,2-,即即=时时,S,S四边
15、形四边形ABTPABTP最大最大.12121212141414121sin(2).4444232,444 4238【规律总结【规律总结】应用三角函数解决实际问题的步骤应用三角函数解决实际问题的步骤三角函数的实际应用多与最值有关三角函数的实际应用多与最值有关,解决这类问题的一解决这类问题的一般步骤如下般步骤如下:(1)(1)审读题意审读题意,合理地选取合理地选取“角角”为自变量为自变量,建立三角函建立三角函数关系式数关系式.(2)(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理利用和、差、倍、半角公式进行化简整理,通常要通常要整理为整理为y=Asin(x+y=Asin(x+)+b)+b的形式的形式.(
16、3)(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.【巩固训练【巩固训练】福建沿海的超强台风过后福建沿海的超强台风过后,当地人民积极恢复生产当地人民积极恢复生产,焊接工王师傅焊接工王师傅每天都很忙碌每天都很忙碌.今天他遇到了一个难题今天他遇到了一个难题:如图所示如图所示,有一块扇形钢板有一块扇形钢板,半径为半径为1 1米米,圆心角圆心角=,=,施工要求按图中所画的那样施工要求按图中所画的那样,在钢板在钢板OPQOPQ上裁下一块平上裁下一块平行四边形钢板行四边形钢板ABOC,ABOC,要求使裁下的钢板面积最大要求使裁下的钢板面积最大.3试问王师傅如何确定试
17、问王师傅如何确定A A的位置的位置,才能使裁下的钢板符合才能使裁下的钢板符合要求要求?最大面积为多少最大面积为多少?【解析【解析】连接连接OA,OA,设设AOP=AOP=,过过A A作作AHAHOP,OP,垂足为点垂足为点H,H,在在RtRtAOHAOH中中,OH=cos,OH=cos,AH=sinAH=sin,所以所以BH=BH=所以所以OB=OH-BH=cosOB=OH-BH=cos-sin-sin,设平行四边设平行四边形形ABOCABOC的面积为的面积为S,S,则则S=OBS=OBAH=AH=sinsin=sin=sincoscos-sin-sin2 2=AH3sintan 603，333(cossin)333由于由于00 ,所以所以 当当 即即=时时,S,Smaxmax=所以当所以当A A是是 的中点时的中点时,所裁钢板的面积最大所裁钢板的面积最大,最大面积为最大面积为 平平方米方米.352,666262，6133663，PQ3613133sin 21 cos 2sin 2cos 226266131313(sin 2cos 2)sin(2).2266633 （）
