1、3.4导数在研究函数中的应用 例例1海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 。128512()(4)(2)12828,0S xxxxxx 求导数，得2512()2S xx令 2512()20S xx解得16(16xx 舍去）舍去）。于是宽为 128128816x0.因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是最小值点
2、。所以，当版心高为的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为答：当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。时，海报四周空白面积最小。解法二解法二：由解法由解法(一一)得得256256()482 48S xxxxx2 328722564,8(0)xxxSx当且仅当即时 取最小值16128此时y=8816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面积最小问题问题2:2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比
3、大包装的市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些要贵些?你想从数学上知道它的道理吗你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大饮料公司的利润越大?例例2:2:某制造商制造并出售球形瓶装饮料某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是瓶子制造成本是0.8r0.8r2 2分分.已知每出售已知每出售1ml1ml的饮料的饮料,可获利可获利0.20.2分分,且瓶子的且瓶子的最大半径为最大半径为6cm.6cm.）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？利润最大？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
4、最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是324()0.20.83yf xrr320.8(),3rr06r 令2()0.8(2)0fxrr当2()0rfr时,当半径当半径r时，时，f(r)0它表示它表示 f(r)单调递增，单调递增，即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f(r)0 它表示它表示 f(r)单调递减单调递减，即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低0)(,)2,0(xfr时当0)(,)6,2(xfr时当1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本
5、，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大未命名.gspryo)3(8.0)(23rrrf231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存 储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任
6、何信息）？解：存储量=磁道数每磁道的比特数)(22)(rRrmnnrmrRrf(1)它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。(2)为求f(r)的最大值，先计算0)(rf)2(2)(rRmnrf0)(,2;0)(,2rfRrrfRr时当时当0)(rf令mnR，Rr2,2,2最大存储量为磁盘具有最大存储量时当因此2Rr 解得例例4:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的如何确定它的高与底半径高与底半径,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 设圆柱的高为设圆柱的高为h,底面半径为底面半径为R.则表面积为则表面积为 S(
7、R)=2Rh+2R2.又又V=R2h(定值定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR 解得3222VRVh从而即即h=2R.可以判断可以判断S(R)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答 罐高与底的直径相等时罐高与底的直径相等时,所用材料最省所用材料最省.变式：当圆柱形金属饮料罐变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值的表面积为定值S时，它的时，它的高与底面半径应怎样选取，高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？才能使所用材料最省？课堂练习课堂练习 1用总长为用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的
8、钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积容积最大？并求出它的最大容积2.课本课本P104利用导数解决优化问题的基本思路：利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题优化问题的答案优化问题的答案用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题回顾总结回顾总结 解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。有利的工具。
