1、第一章 1.2 排列与组合学习目标1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一排列数公式 (n，mN*，mn).(叫做n的阶乘).另外，我们规定0！.n(n1)(n2)(nm1)n(n1)(n2)21n！1答案求排列应用题时，正确地理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语.正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的.分类时，要注意各类之间不重复、不遗漏.分步时，要注意依次做完各个步骤后，事情才能完成.如果不符合条
2、件的情况较少时，也可以采用排除法.知识点二排列应用问题解简单的排列应用问题首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，最后运用排列数公式求解.解排列应用问题的基本思路如图所示：返回 题型探究 重点突破题型一数字排列问题例1用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数.(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？解第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有 种排法；第二步排千、百、十这三个
3、数位上的数字，有 种排法.故这样的四位数有360个.解析答案(2)如果组成的四位数必须大于6 500，那么这样的四位数有多少个？解因为组成的四位数要大于6 500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类.第一类：千位上排7，有 种不同的排法；第二类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有 种不同的排法.根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是 160.故这样的四位数有160个.解析答案反思与感悟反思与感悟用分步排位的方法计算排列数，必须注意三个方面：(1)在题设条件的限制下，根据哪些元素可取、哪些元素不可取，对每一步排位；(2)在某一步排位后
4、，下一步排位可取元素的个数，应视具体情况而定；(3)若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算.跟踪训练1(1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间无重复数字的六位数有多少个？解析答案解第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数.第一步，把1,3,5三个数排列在奇数位上，有 种方法；第二步，把0,2,4三个数排列在偶数位上，有 种方法.根据分步乘法计数原理，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有 36(个).第二类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数.第一步，把1,3,5三个数排列在偶数位上，有 种方法；第二步，把0,2,4三个数排列在奇数位上，有
5、2 种方法.根据分步乘法计数原理，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有 2 24(个).根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有362460(个).(2)在由0,1,2,3,4,5六个数字组成的数中，数字1排在奇数位上的六位数有多少个？解第一类，当数字“1”在首位时，数字“0”有5种选择，其他数字不受限制，其排列方法为 种，所以当数字“1”在首位时，满足条件的六位数共有15 120(个)；第二类，当数字“1”不在首位时，根据数字“1”只能在奇数位上，数字“1”的位置只能在千位和十位，有2种选择，数字“0”不能在首位，有4种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法为 种，所以当数字“1
6、”不在首位时，满足条件的六位数共有24 192(个).根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有120192312(个).解析答案题型二排队问题例2三个女生和五个男生排在一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？解(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有 种不同的排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又有 种不同的排法.因此共有 4 320(种)不同的排法.解析答案(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？解(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四
7、个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有 种排法，因此共有 14 400(种)不同的排法.解析答案(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？解析答案解方法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有 种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有 种不同的排法，所以共有 14 400(种)不同的排法.方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排
8、共有 种不同的排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，解析答案方法三(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有 种不同的排法，(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解析答案反思与感悟反思与感悟排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.(3)对
9、于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.跟踪训练2分别求出符合下列要求的不同排法的种数.(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；解分排与直排一一对应，故排法种数为 720.(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；解甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 种选法，然后其他5人排，有 种排法，故排法种数为 480.(3)6人排成一排，甲、乙不相邻.解甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有 480(种)排法.解析答案题型三排列的综合应用例3从数字0,1,3,5,7中取出
10、不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2bxc0？其中有实根的方程有多少个？解析答案反思与感悟解先考虑组成一元二次方程的问题.首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有 种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有 种.方程要有实根，必须满足b24ac0.分类讨论如下：当c0时，a，b可以从1,3,5,7中任取两个，有 种；当c0时，分析判别式知b只能取5,7中的一个.当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有 种；解析答案反思与感悟当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，有2 种.由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：反思与感悟反思与感悟该例的限制条件较隐
11、蔽，需仔细分析，一元二次方程中a0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b24ac0，所以需先对c能否取0进行分类讨论.实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法.因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想.跟踪训练3从1,2,3，9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，一共可以得到多少个不同的对数值？其中比1大的有几个？解析答案解从2,3，9这8个数中任取2个数组成对数，有 个，在这些对数值中，log24log39，log42log93，log23
12、log49，log32log94，重复计数4个，又1不能作为对数的底数，1作为真数时，不论底数为何值，其对数值均为0.所以可以得到 4153(个)不同的对数值.要求对数值比1大，分类完成：底数为2时，真数从3,4,5，9中任取一个，有7种选法；底数为3时，真数从4,5，9中任取一个，有6种选法；解析答案依次类推，当底数为8时，真数只能取9，故有765432128(个).但其中log24log39，log23log49，所以其中比1大的对数值有28226(个).分类讨论思想的应用思想方法例4将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i1,2，6)，若a11，a33，a55，a1a3
13、a5，则不同的排列方法共有多少种？分析本题有6个元素和6个位置，其中有3个元素，1,3,5和3个位置a1，a3，a5是受限制的元素和位置，故可考虑分类法计算其方法种数，且应优先安排特殊元素或特殊位置.返回解析答案点评分析解以特殊位置进行分类由于a11，且在a1，a3，a5中a1最小，故a1只能取2,3,4三个数，故可以以a1的取值进行分类.第一类，当a12时，a3可以取数字4或5，共2种选择，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有 种排列方法，故当a12时，排列方法有2 12(种)；解析答案点评第二类，当a13时，a3可以取数字4或5，共2种选择，不管a3取何值，a5只能取数字
14、6，其他位置不受限制，有 种排列方法，故当a13时，排列方法有2 12(种)；第三类，当a14时，a3只能取数字5，只有1种选择，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有 种排列方法，故当a14时，排列方法有1 6(种).根据分类加法计数原理，满足题意的排列方法共有1212630(种).点评点 评利用分类讨论思想解决问题时，首先要明确分类的标准，如本例以a1的取值作为分类的标准，其次要做到不重不漏，合理简洁.返回 当堂检测1.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种 B.216种C.240种 D.288种解析答案解析第一类：甲在最左端，有 54
15、321120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4 4432196(种)方法.所以共有12096216(种)方法.B2.6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有()A.720种 B.360种C.240种 D.120种解析答案解析将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有 种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有 240(种).C3.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有()A.504种 B.960种C.1 008种 D.1 108种解析答案解
16、析由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有 1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有 240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有 240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有 48(种).因此，满足题意的方案共有1 4402240481 008(种).答案C4.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种.解析答案而A，B，C这3 件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有 种摆法.365.将序号分别为1,
17、2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_.解析答案解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4 96(种).96课堂小结返回求解排列问题的主要方法：直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法
