1、栏目索引绝对值不等式栏目索引1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是()A.(-,4)B.(-,1)C.(1,4)D.(1,5)答案答案 A当x1时,原不等式等价于1-x-(5-x)2,即-42,其恒成立,x1.当1x5时,原不等式等价于x-1-(5-x)2,即x4,1x5时,原不等式等价于x-1-(x-5)2,即42,无解.综合知原不等式的解为(-,4).栏目索引2.不等式|2x-a|b的解集为x|-1x4,则a+b的值为()A.-2B.2C.8D.-8答案答案 C|2x-a|b的解集为x|-1x0,由|2x-a|b,得-b2x-ab,即x.=4,a+b=8,故选
2、C.2ab2ab2ab栏目索引3.不等式|x-1|+|x+2|5的解集为.答案答案x|-3x2解析解析原不等式等价于或或即或或亦即-3x-2或-2x1或1x2.原不等式的解集为(-3,-2)-2,1(1,2)=(-3,2).2,(1)(2)5xxx 21,(1)(2)5xxx 1,125,xxx 2,3xx 21,35x 1,2,xx栏目索引4.不等式x+|2x+3|2的解集为.答案答案(-,-5解析解析原不等式可化为或解得x-5或x-.所以原不等式的解集是.1,33,232xx 3,2332.xx 131|53x xx 或栏目索引考点一绝对值不等式的解法考点一绝对值不等式的解法典例典例1已知
3、函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.解析解析(1)当a=-3时,f(x)=当x2时,由f(x)3得-2x+53,解得x1;当2x1的解集.栏目索引解析解析(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.4,1,332,1,234,2xxxxxx 栏目索引(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5,故f(x)1的解集为x|1x3;f(x)1的解集为.131|53x xx或1|1353x xxx或或栏目索引1-2已知函数f(x)=|
4、x-2|-|x-5|.(1)证明:-3f(x)3;(2)求不等式f(x)x2-8x+15的解集.解析解析(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=当2x5时,-32x-73,所以-3f(x)3.(2)由(1)可知,3,2,27,25,3,5.xxxx当x2时,f(x)x2-8x+15的解集为空集;当2x5时,f(x)x2-8x+15的解集为x|5-x5;3当x5时,f(x)x2-8x+15的解集为x|5x6.综上,不等式f(x)x2-8x+15的解集为x|5-x6.3栏目索引考点二绝对值不等式的证明考点二绝对值不等式的证明典例典例2已知f(x)=,ab,求证:|f(a)-f(b)|a-b|
5、.证明证明因为|f(a)-f(b)|=|-|=,又|a+b|a|+|b|=+,所以0.所以|f(a)-f(b)|a-b|.21x21a21b2222|11abab22|11ab abab2a2b21a21b22|11abab栏目索引方法技巧方法技巧含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题,或利用绝对值三角不等式定理;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程根的分布等方法来证明.栏目索引2-1已知x,yR,且|x+y|,|x-y|,求证:|x+5y|
6、1.证明证明因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|,所以|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|3+2=1,即|x+5y|1.16141614栏目索引2-2 (2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.解析解析(1)f(x)=当x-时,由f(x)2得-2x-1,-1x-;当-x时,f(x)2恒成立;12x12x 12,2111,2212,.2x xxx x 12121212栏目索引当x时,由f(x)2得2x2,解得x1,x
7、1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.1212(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|x-f(x)恒成立时a的取值范围.解析解析(1)当a=2016时,f(x)=因为f(x)在2016,+)上单调递增,所以f(x)在2016,+)上的值域为2016,+),f(x)在(-,2016)上的值域为2016,所以f(x)的值域为2016,+).(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|2恒成立,22016,2016,2016,20
8、16,xxx栏目索引即(|x+1|+|x-a|)min2.而|x+1|+|x-a|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,所以|1+a|2,解得a1或a-3.故a的取值范围为(-,-3)(1,+).方法技巧方法技巧绝对值不等式的恒成立问题(1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,将原函数转化为分段函数,然后利用数形结合解决问题,这是常用的思想方法.(2)f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.栏目索引3-1 (2016河北保定模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|(aR).(1)当a=4时,求不等式f(x)5的解集;(2)若f(x)4对xR
9、恒成立,求a的取值范围.解析解析(1)当a=4时,不等式即为|x-1|+|x-4|5,等价于或或解得x0或x5,故不等式f(x)5的解集为x|x0或x5.(2)因为f(x)=|x-1|+|x-a|(x-1)-(x-a)|=|a-1|,所以f(x)min=|a-1|,故|a-1|4,解得a-3或a5.1,255xx14,35x4,255,xx栏目索引3-2(2016河南开封模拟)设函数f(x)=|x-a|,a0.(1)证明:f(x)+f2;(2)若不等式f(x)+f(2x)的解集非空,求a的取值范围.解析解析(1)证明:f(x)=|x-a|,a0,则f(x)+f=|x-a|+=|x-a|+=|x|+2=2(当且仅当|x|=1时取等号).(2)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,a0.当xa时,f(x)+f(2x)=a-x+a-2x=2a-3x,则f(x)+f(2x)-a;1x121x1ax1ax1()xaax1xx1|x1|xx栏目索引当ax时,f(x)+f(2x)=x-a+a-2x=-x,则-f(x)+f(2x)-a;当x时,f(x)+f(2x)=x-a+2x-a=3x-2a,则f(x)+f(2x)-,则f(x)的值域为,不等式f(x)+f(2x)-,解得a-1,由于a0,则a的取值范围是(-1,0).2a2a2a2a,2a12122a
