1、第二讲 多项式理论题记:克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元素。”初等代数研究初等代数研究 第二讲 多项式理论一、一元多项式理论与轮换、对称多项式二、根式、指数式、对数式理论三、三角式理论一、一元多项式理论与轮换多项式 多项式是代数学中的一个基本概念，也是代数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算对
2、象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论体系，为解代数方程奠定了理论基础。（一）解析式的定义和恒等 1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子叫做解析式。说明：1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他们在什么范围内讨论。（公共定义域）2、解析式的恒等变形，可能引起定义域的变化。（二）一元多项式理论 1、一元多项式的标准形式、一元多项式的标准形式 多项式理论是方程理论、函数理论、不等多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理论的基础。式理论的基础。2、多项式的恒等、多项式的恒等定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值
3、，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0，这个多项式称为0多项式。定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。定理3：数域F上以标准形式给出的两个多项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同的取值，那么这两个多项式恒等。定理定理2、定理、定理3是是“待定系数法待定系数法”的理论依据的理论依据。3、多项式的整除、多项式的整除 因式分解的理论基础是因式定理因式分解的理论基础是因式定理 4、多项式的因式分解、多项
4、式的因式分解 中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”高等代数中规定因式分解的涵义是：“所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化成几个既约多项式乘积的形式。”关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的；在实数域中，次数大于等于3的多项式是可约的；在有理数域中，情况比较复杂，具体问题具体讨论。分解因式中的两个有用的结论：对称、轮换多项式主要内容：1、对称多项式的定
5、义；2、对称多项式的形式；3、基本对称函数与根与系数的关系；4、轮换多项式的定义与因式分解；5、用基本对称函数表示对称多项式。定义分析：1、一个置换实际上是指一个排列；2、置换的总数共有n!种。判断下列多项式是否是对称多项式（2）基本对称函数（基本对称多项式）广义韦达定理：结论1：任何对称多项式都可以表示成基本对称函数的形式。结论2：两个对称多项式的和、差、积、商、乘方（幂）也是对称多项式。定义分析：1、轮换：轮流替换；2、轮换的总数共有 种。对称多项式与轮换多项式的关系：对称多项式是轮换多项式，反之不然。性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、幂仍是轮换多项式。（4）轮换多项式的因式分解（因式
6、定理）轮换多项式因式分解的一般步骤：1）确定要分解的多项式是轮换多项式；2）利用因式定理确定出部分因式；3）据多项式的对称性，写出其他有关多项式的形式（待定系数法）4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。用基本对称函数表示对称多项式题记：赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。（5）用基本对称函数表示对称多项式多元多项式的因式分解 分式与根式分式与根式研究的主要内容：1、分式的恒等2、根式的定义与意义3、复合根式的计算4、根式的恒等变形和化简一、有理分式的恒等二、根式的定义和意义三、复合根式的计算四、根式的恒等变形的化简类型1 多元代数式型 基本思想：观察代数式
7、的结构，转化为基本对称多项式的形式类型2 一元代数式型根式 基本思想：转化为一元代数方程式类型3 一元代数式型 基本思想：降低次数法类型4 方程型无理根式 基本思想：构造对偶式、函数等方法，利用相关性质求解5、代数代换法6、函数型根式构造几何模型法7、三角形代换法（三）三角方法的应用指数式与对数式 如果计算生命的长短不以活着的年龄为标准，而以人的贡献来计算的话，那么对数的发现将人类的寿命延长了两倍。拉普拉斯题记主要内容1、对数的起源和发展；2、指数式与对数式的相互关系；3、指数式与对数式的恒等变形。历史背景 16世纪的欧洲，资本主义迅速发展，科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、造船等行业不断
8、向数学提出新的课题。令人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结构设计等一系列课题中，人们遇到的数据越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何方？1、制造各种表格 1544年，德国的斯提菲（Stifei）在普通算术中叙述了“关于整数的这些奇妙性质”写出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做原数），右边是一个等差数列（叫做原数的代表人物）2、对数研究的起源和发展：恩格斯在自然辨证法中高度评价了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿的解析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分并列为“17世纪最重要的数学方法”。17世纪最重要的数学方法 2、指数式与对数式的
9、关系注明：1、理解指数式与对数式相互转化的过程；2、明确各字母的含义。问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）3、指数式与对数式的恒等变形三角式 题 记：形长影短角不同。东升西落照苍穹，昼夜循环潮起伏，春秋更替草欣荣。三角式三角式的内容结构：1、三角函数的定义；2、三角式的恒等变形；3、欧拉函数与反三角式一、三角函数的定义 （初中课本）（高中课本）在初中数学中，三角函数的概念是以欧氏几何学的相似原理为理论基础定义的。三角式来自于解直角三角形，它揭示了直角三角形中边与角的联系。在高中教材采用坐标法定义三角函数，其优点是便于推广三角函数的概念，从方法上看，把几何问题转化为代数问题来研究可以简化讨论
10、程序。新课程标准：用解析几何思想理解三角函数定义新课程标准：用解析几何思想理解三角函数定义 （1）强调了单位圆在学习三角函数中的作用。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解，从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意角，它们会很清晰地反映在单位圆中。（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。在单位圆中，给定一个角x，角的终边与单位圆相交于一点M，这一点M的坐标（a，b）就完全地确定了所有三角函数的值。即sinx=b，cosx=a，tanx=（a不为0），等等。点M的坐标蕴含着丰富的含义，包括代数的和几何的含义。如，b是一个数，它的符号表示点M所处的位置，当b大于0，点M处于一或三象限，当b
11、小于0，点M处于二或四象限，b等于0，点M处在y轴上；这样，a、b都大于0，则M点位于第一象限，角是第一象限的角。数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函数的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函数线很难体现正负关系。对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数，需要做一个转化，把点M（a，b）转换为点（1，），这个点的纵坐标就直接、准确的反映了正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负关系。（3）三角函数线的使用是历史的原因造成的，在前面介绍了一点历史，早期的三角学是“静态”数学，函数思想、解析几何的思想的产生比“静态”的三角学
12、要晚。在现代的数学教育中，应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡化了三角函数线，强调了解析几何的思想，这将会变成趋势。注明：1、理论基础：欧氏几何中的相似原理；2、研究观点：直角三角形与函数观点；3、采用方法：坐标法几何问题代数攻，数形结合两相通。初高中教材对三角函数定义的联系和区别 应该说明：中学阶段的三角式虽然建立在几何理论基础之上，但它并不依赖于几何理论，也可以建立在解析理论基础之上。在数学分析中，通过泰勒公式，将三角函数展成幂级数的形式。由此表明，三角式的值不能由有限次代数运算得到，还包括取极限的过程。三角函数的解析定义：三角函数的常微分方程定义三角函数的公理化定义（函数方程）二、三
13、角式的恒等变形理论基础：正六边形法则（1）倒数关系；（2）平方关系；（3）和差公式；（4）和差化积、积化和差；（5）倍角、半角、三倍角、降幂公式；（6）特殊的三角公式正六边形法则 六边正方顶角处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两相除。三角函数共六式，象限符号坐标制，函数图象单位圆，周期奇偶现增减。万能公式不一般，化为有理式居先，和差化积须同名，互余角度变名称。三角函数反函数，实质就是求角度，利用直角三角形，形象直观好换名。三角函数解题口诀 特殊三角函数值口诀：一二三，三二一，三九二十七。特殊三角函数值（1）试计算下列三角
14、式的值（一）计算型（2）试计算下列三角式的值（3）试计算下列三角式的值（4）试计算下列三角式的值 三角式的恒等变形题 记：在孤独中能沉淀出自我便是战胜；在孤独中能产生出智慧就是超越。（二）证明型（三）三角方法的应用欧拉公式题 记平静的湖面难于练就精悍的水手，安适的环境造就不出时代的伟人。主要内容：1、欧拉公式与用指数式表示三角式 2、用对数式表示反三角式。阿拉哥欧拉进行复杂的演算不费吹灰之力，就象常人进行呼吸，或如雄鹰翱翔于天空那样轻松自如。被誉为“数学界的莎士比亚”的数学家是 。被誉为“数学英雄”的数学家是 。欧拉临终遗言：“我要死了。”欧拉公式 一、欧拉公式的由来方法1（幂级数）方法2（构
15、造函数法）二、用欧拉公式（指数式）表示三角式 1：指数函数的幂级数展开式 （1）2：正余弦函数的幂级数展开式!212nxxxenx.)!12()1(.!5!3sin.)!2()1(.!4!21cos12153242nxxxxxnxxxxnnnn.)!12()1(.!5!3.)!2()1(.!4!21.)!5!3(.)!4!21(.!)(.!2)(11215324253422nxyyyinxyyyyyiyyniyiyiyennnnniy举例说明 题记：研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。高斯 主要内容：（1）复数的自然对数（2）自然对数表示反正切（3）自然对数表示反正切公式的应用（1）复数的
16、自然对数设由欧拉公式得 （这里 ）取自然对数有：由 表明复数的自然对数有多个值把其中的ikiikiiieeeeeZ2ln2lnln1，2,1,0,0kikiZ2lnlnik2LnZZi着的自然对数的主值，记称为ln复数的三角式表达）（sincosiZibaiyiy11lniyiyix11ln21纯虚数ibiyiy11ln）（ixixixixeeieextaniyiyiyxyx11ln21arctantan，那么从而设的公式）（自然对数表示反正切因此取主值时才有当且仅当iyiyLniyiyiyLniiyiyi1121arctan21121211ln2122（3）自然对数表示反正切的公式运用 26516arcsin135arcsin54arcsin1：证明：例，：已知例zyxarctanarctanarctan2xyzzyx证明：112iiee，注意：初等代数研究上册复习题 记：高斯被誉为“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才“。主要内容两个字：数 式数：自然数、有理数、无理数、复数式：多项式、根式、指数式与对数式、三角式与反三角式
