1、1物体的平衡2物体平衡的种类物体平衡的种类 稳定平衡稳定平衡O稍微偏离原平衡位置后能回到原位置稍微偏离原平衡位置后能回到原位置 不稳定平衡不稳定平衡稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置 随机平衡随机平衡能在随机位置保持平衡能在随机位置保持平衡O3判断物体平衡种类的一般操作判断物体平衡种类的一般操作对由重力与支持力作用下的平衡对由重力与支持力作用下的平衡 设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置*或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化,
2、根据重心是升高、根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；为比较扰动前后物体的受力与态势为比较扰动前后物体的受力与态势,要作出直观明晰的图示要作出直观明晰的图示;由于对微扰由于对微扰元过程作的是元过程作的是“低细节低细节”的描述的描述,故常需运用合理的近似这一数学处理手故常需运用合理的近似这一数学处理手段段 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对扰动后新或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的平衡态属于哪一种支点的力臂，从而判断物体原
3、来的平衡态属于哪一种*依问题的具体情况，择简而从依问题的具体情况，择简而从*4 如图所示如图所示,同一个熟鸡蛋的圆、同一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为尖两端的曲率半径分别为a、b且且长轴的长度为长轴的长度为l,蛋蛋圆的一端可以在圆的一端可以在不光滑的水平面不光滑的水平面上稳定直立上稳定直立.求求:蛋尖的一端蛋尖的一端可以在一个半球可以在一个半球形的碗内稳定地形的碗内稳定地直立直立,碗的半径碗的半径r需需满足的条件满足的条件.考察质心位置的高度变化考察质心位置的高度变化蛋圆在水平面处稳定平衡蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足应满足BAbaClRRla 低细节低细节描述描述 cos2C MNMC
4、M+蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足微扰情况下微扰情况下、为小量，为小量，cos2RrR +1 cos2rR 22 sin2R 222R bRrRb 整理得整理得1bbR 1bbla 碗的半径碗的半径 b laabrl 续解续解MNO-M CAC B蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足NMNMNMrb 2 2 2NM cosCM 续解续解 sinC M续解续解6考察质心位置侧移量考察质心位置侧移量蛋处于稳定平衡的条件是蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支点重力对扰动后新支点N的力矩可使蛋返的力矩可使蛋返回原位，即满足回原位，即满足低细
5、节低细节描述描述 sinC MMN Rr rRrb bRrRb 1bbR 1bbla 碗的半径碗的半径 b laabrl 222201sincossinab 01sin 0 0 0 0重力对重力对 的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置!O 不稳定平衡不稳定平衡abxx 笔不会因滚动而破坏平衡笔不会因滚动而破坏平衡!11B1BOA Ca过笔质心的横截过笔质心的横截面面 sin60COa cos60OBa 0tancosOBCO 临界状态下临界状态下续解续解重力作用线重力作用线12 飞檐问题：飞檐问题：如图所示如图所示,建造屋顶边缘时建造屋顶边缘时,用长度为用长度为
6、L的长方形砖块的长方形砖块,一块压着下面一块压着下面一块并伸出砖长的一块并伸出砖长的1/8,如果不用水泥粘如果不用水泥粘紧紧,则最多可以堆几层同样的砖刚好不则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒翻倒?这样的几层砖最多可使屋檐这样的几层砖最多可使屋檐“飞飞”出多长出多长?127GL 若共堆若共堆n层、每块伸出层、每块伸出1/8的砖的砖而恰未翻倒而恰未翻倒8L8L8L 18LLLn 全全C全全nG728L 7n 123n最上最上1层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒,最多伸出最多伸出2L最上最上2层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒,最多伸出最多伸出2G4L3G最上最上3层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒,最多伸出最多伸出2L24LL
7、 G262GLxGGL x6L246LLL G以此类推，以此类推，7层砖的最大伸出层砖的最大伸出max111124614LL 13如图所示如图所示,一矩形导电线圈可绕其中心轴一矩形导电线圈可绕其中心轴O转动转动.它处于与轴垂直的匀强它处于与轴垂直的匀强磁场中磁场中,在磁场的作用下在磁场的作用下,线框开始转动线框开始转动,最后静止的平面位置是图中的最后静止的平面位置是图中的AOBBBOCBODBO不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡14 图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来的线联结起来,问每一种情况各属哪种平衡问
8、每一种情况各属哪种平衡?随机平衡随机平衡稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡 给两小球线绳系统一给两小球线绳系统一扰动扰动,从受力角度考察受从受力角度考察受扰动后扰动后,两小球重力沿绳两小球重力沿绳方向力的合力指向方向力的合力指向,从而从而判断平衡种类判断平衡种类!15llmLm 如图所示装置如图所示装置,它是由一个长它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为两个下垂的、长为l的细木杆的细木杆,以及在木杆的末端装有质量同为以及在木杆的末端装有质量同为m的的小重球而组成小重球而组成.木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为木钉及木杆的质量可忽略，
9、木杆与木钉间夹角为，此装置放在硬质木柱上此装置放在硬质木柱上,则则l、L、间应当满足间应当满足_关关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置只能以系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置只能以O点为支点摆点为支点摆动而不致倾倒动而不致倾倒 为满足题意即系统为满足题意即系统处于稳定平衡处于稳定平衡,给系统一扰动给系统一扰动,两两小球重力对小球重力对O的力矩应能使系统的力矩应能使系统回到原位回到原位!原平衡位置时原平衡位置时coslL 2mg受一微扰后受一微扰后能回到原位能回到原位coslL 16 如图所示如图所示,长度为长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一、粗细均匀的杆，一端靠在
10、铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式(x)（杆总是位于垂（杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）直于墙面的竖直平面内）为满足题意即杆为满足题意即杆处于随遇平衡处于随遇平衡,应使杆的重心应使杆的重心始终在始终在x轴轴!OyxC(0,)(x,y)22222xyL+表面的横截线满足表面的横截线满足 222212xyLL+该表面为椭球面的一部分该表面为椭球面的一部分17 如图所示如图所示,两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的
11、小环能沿着一光滑的轻绳滑动的小环能沿着一光滑的轻绳滑动.绳的绳的两端固定于直杆的两端两端固定于直杆的两端,杆与水平线成角度杆与水平线成角度.在此杆上又套一轻小环在此杆上又套一轻小环,绳穿过绳穿过轻环并使轻环并使m1、m2在其两边在其两边.设环与直杆的接触是光滑的设环与直杆的接触是光滑的,当系统平衡时当系统平衡时,直杆直杆与轻环两边的绳夹角为与轻环两边的绳夹角为.试证：试证：2112tantanmmmm m2m1同一光滑绳上张力同一光滑绳上张力处处相同处处相同设为设为FT,m1gFT两小环平衡两小环平衡,分析受力如图分析受力如图:m2gFT 90 90 由力矢量三角形由力矢量三角形:122cos
12、 902cos 90Tmgm gF 12sinsinmm 21sin cossin cossin cossin cosmm 2112tantanmmmm 18 一根质量为一根质量为m的均匀杆，长为的均匀杆，长为L，处于竖直的位置，一端可绕固定的水，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动有两根水平轻弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所平轴转动有两根水平轻弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数示，问弹簧的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定平衡？为何值时才能使杆处于稳定平衡？为使杆为使杆处于稳定平衡处于稳定平衡,给杆一扰动给杆一扰动,弹簧拉力对弹簧拉力对O的力矩应的力
13、矩应大于大于杆重力矩杆重力矩!mg FT即即22TLFLmg 其中其中 TFkL 得得4mgkL FT19如图所示如图所示,一块厚一块厚d的木板位于半径为的木板位于半径为R的圆柱上的圆柱上,板的重心刚好在圆板的重心刚好在圆柱的轴上方柱的轴上方.板与圆柱的一根摩擦因数为板与圆柱的一根摩擦因数为.试求板可以处于稳定平衡试求板可以处于稳定平衡状态的条件状态的条件.RCC 令板从原平衡位置偏转一小角度令板从原平衡位置偏转一小角度M M板板处于稳定平衡处于稳定平衡条件是条件是重心升高重心升高!2dR 2dcosR 以圆柱轴为参照以圆柱轴为参照,原板重心高度原板重心高度coscos2dR 扰动后重心高度扰
14、动后重心高度sinR 应有应有cossincos22ddRRR 21 2sinsin222ddRRR 2sin2sin22dRR 考虑到考虑到 很很小小,s s i i n n2dR 且且1tan 20 如图所示如图所示,用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的球冠围成的外的球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度形，像一粒豆子浮子的厚度h2R，质量为，质量为m1沿浮子对称轴向浮子插沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长入一细辐条，穿过整个厚度辐条长lh，质量为，质量为m2当将浮子辐条向上当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的
15、状态是稳定的吗？地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的状态是稳定的吗？先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：Cm1gm2g2l2hx2121222mlhlhm g xm gxxmm 由由Cl21222Cmhlhmml 故故浮子偏转小角度浮子偏转小角度低细节低细节描述描述21222CmhLhlRmm =当当1222mLRmRh =当当浮子为浮子为不稳定平衡不稳定平衡!1222mLRmRh 当当浮子为浮子为稳定平衡稳定平衡!至题至题9CC续解续解ClR若若 CClR若若=ClR若若 OCmmhR 3 2300g21 6 84g D 有一
16、长为有一长为0.2 m、截面积为、截面积为2 cm2的均匀细棒，密度为的均匀细棒，密度为5102 kg/m3 (1)在细棒下端钉上一小铁片在细棒下端钉上一小铁片(不计体积不计体积),让细棒竖立在水面让细棒竖立在水面,若细棒露出若细棒露出水面部分的长为水面部分的长为0.02 m,则小铁片质量为多少则小铁片质量为多少?(2)不拿去浸在水中的小铁片不拿去浸在水中的小铁片,在上端要截去多少长度在上端要截去多少长度,恰好使上端面与水恰好使上端面与水面齐平面齐平?(3)要使细棒竖在水面是稳定平衡要使细棒竖在水面是稳定平衡,下端小铁片至少要多重下端小铁片至少要多重?分析此时受力：分析此时受力：CMLSg m
17、g0.9LSg 水水0.9LSgmgLSg 水水 0.9mLS 水水 340.9 0.5100.2 2 10 kg 16g 此时态势为：此时态势为：mgC11L Sg 1L Sg 水水11L SgmgL Sg 水水 1mLS 水水33416 10m=0.5 102 1016cm 4 cmL 低细节低细节描述描述系统为系统为稳定平衡稳定平衡条件是条件是浮心高于合重心浮心高于合重心!22MLMmMmS 水水即即 340.020.020.10.022 102 10mm min8gmC总至题至题11C总C总C总不稳定平衡不稳定平衡随机平衡随机平衡稳定平衡稳定平衡续解续解ab 两个相同长方体处于图示位置
18、问当两个相同长方体处于图示位置问当角为多少时它们才可能平衡？角为多少时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为长方体与水平面间摩擦因数为，长方体长，长方体长b宽宽a长方体间无摩擦长方体间无摩擦 分析受力：分析受力：G0Ff G0fG F 0fG 1tanab 系统系统可能平衡可能平衡条件是条件是在此条件下在此条件下,对右物块由力矩平衡对右物块由力矩平衡 sincoscos2cosbGF bG b G sin coscos sin2cos cos tan2tan 1tan2ab 在此条件下在此条件下,对左物块由力矩平衡对左物块由力矩平衡cos2aGF b sinsin 122tanab 111
19、tanmin tan2,2tanaaabbb sin2cosbG 在互相垂直的斜面上放置一匀质杆在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB,设各接触面的摩擦角均为设各接触面的摩擦角均为(tg),求平衡时杆求平衡时杆AB与斜面与斜面AO交角交角的范围已知斜面的范围已知斜面BO与水平与水平面交角为面交角为 ABO三力杆平衡时的几何位置特点三力杆平衡时的几何位置特点:不稳定平衡不稳定平衡杆两端约束力与重力三力汇交杆两端约束力与重力三力汇交当当=时时GABOfA=0 fB=0续解续解结论结论:1O平衡时杆平衡时杆AB与斜面与斜面AO交角交角的范围为的范围为 22 当当时时GOABG-O 90,O AG O A
20、G 90AO G AO G90902 O GAGO GAG=2 2 杆平衡位置与左斜面的夹角杆平衡位置与左斜面的夹角续解续解 4个半径均为个半径均为R的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内.该该4球球球球心恰在同一个水平面上心恰在同一个水平面上,现将相同的第现将相同的第5个球放在前述个球放在前述4球之上球之上,而此系统而此系统仍能维持平衡仍能维持平衡,求碗的半径为多少求碗的半径为多少？几何描述几何描述上球对下各球压力由对称性得上球对下各球压力由对称性得 C AE4G24GN=GNT各球三力构成闭合三角形各球三力构成闭合三角形45 sinsin 45NG =1tan5 由力三角形与几何三角形相似求碗半径由力三角形与几何三角形相似求碗半径!碗半径碗半径r由几何三角形由几何三角形2sinsin45rRR =12 13rRmax动态分析动态分析minsi12 1326nrrR =结论结论:使系统平衡碗半径使系统平衡碗半径 12 1312 1326RRr D CB AE俯视图PP ABCDE剖面图球心与切点空间位置球心与切点空间位置 C AEPGTN续解续解2RRr minr C AE碗半径增大碗半径增大,平衡破坏平衡破坏!碗半径减小碗半径减小,平衡可维持至此平衡可维持至此!续解续解 C AEP
