1、第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼
2、出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物.模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征.1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米.甲乙两地相距甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的
3、速度是多少?x=20y=5求解求解航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米）千米）.数学模型数学模型(Mathematical Model)和和数学建模（数学建模（Mat
4、hematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学表述数学表述.建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问
5、题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术技术”.数学数学“由研究到工业领域的由研究到工业领域的技术转化技术转化，对加强，对加强经济竞争力具有重要意义经济竞争力具有重要意义”.“计算和建模计算和
6、建模重新成为中心课题，它们是数学重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径科学技术转化的主要途径”.数学建模的重要意义数学建模的重要意义数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正
7、方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地只脚同时着地.模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性.xBADCOD C B A 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置.四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数.四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B
8、,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f(),g()是是连续函数连续函数对任意对任意,f(),g()至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位
9、置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗造的证明方法给出一种简单、粗造的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换互换.由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数的据连续函数的基本性质基本性质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件哪些是本质的假设条件哪些是本质的,哪些是非
10、本质的哪些是非本质的?考察四脚连线呈长方形的椅子考察四脚连线呈长方形的椅子(习题习题4)和和 f(),g()的确定的确定1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任在河的任一岸一岸,一旦随从的人数一旦随从的人数比商人多比商人多,就杀人越货就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前
11、提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)过程的决策过程的决策D 允许允许决策决策集合集合uk,
12、vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律D=(u,v)u+v=1,2 状态状态因决策而改变因决策而改变模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按按转移律转移律 sk
13、+1=sk+(-1)kdk 由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).模型构成模型构成商人和随从人数增加或小船容量加大商人和随从人数增加或小船容量加大;商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河智力游戏智力游戏多步决策过程多步决策过程(数学模型数学模型)易于推广易于推广:规格化方法规格化方法考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况.多步决策模型多步决策模型:恰当地设置状态和决策恰当地设置状态和决策,确定状态确定状态转移律及目标转移律及目标(目标函数目标函数).便于求解便于求解(计算机编程等计算机编程等)背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 198
14、7 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长1.3.3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1(0 x(t)时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增
15、长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长与常用公式的一致与常用公式的一致指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测.不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长
16、规律世纪后多数地区人口增长规律.不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程.1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设)0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数
17、量）)1()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt()()110tx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm.根据统计数据利用根据统计数据利用线性最小二乘法线性最小二乘法作拟合作拟合阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)1(mxxr
18、xdtdxsxrymxrstxxxdtdxy,/例：美国人口数据例：美国人口数据(百万百万)1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 tx数据数据(t,x)数据数据(x,y)用最小二乘法估计用最小二乘法估计r,sr,xm模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口年美国人口/)1990(1)1990(1990()1990()2000(mxxrxxxxx误差不到误差不到3%阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1用
19、美国用美国18601990年数据年数据(去掉个别异常数据去掉个别异常数据)与实际数据与实际数据(2000年为年为281.4)比较比较051015200501001502002503001790年为零点=274.5Logistic 模型的应用模型的应用模型应用模型应用加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0预报美国预报美国2010年的人口年的人口 经济领域中的增长规律经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量耐用消费品的售量).).种群数量模型种群数量模型(鱼塘中的鱼群鱼塘中的鱼群,森林中的树木森林中的树木
20、).预报人口的增长预报人口的增长指数增长模型指数增长模型阻滞增长模型阻滞增长模型 参数估计和模型检验是建模的重要步骤参数估计和模型检验是建模的重要步骤.线性最小二乘法是参数估计的基本方法线性最小二乘法是参数估计的基本方法.修改假设修改假设 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律.将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理分析没
21、有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析来学习。以下建模主要指机理分析.二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数.1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题模模型型假假设设
22、针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想象力发挥想象力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析.模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、
23、适用性检验模型的合理性、适用性.模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题.选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答.将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对回实际对象象.用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答.实
24、践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模型的强健性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态、人口、交通、经济、生态、数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、初等数学、微分方程、规划、统计、表现特性表现特性描述、优化、预报、决策、描述、优化、预报、决策、建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术，不如说是一门，不如说是一门艺术艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力想象力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型.亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目.
