1、5 5.2 2平行关系的性质平行关系的性质1.直线与平面平行的性质定理文字语言:如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.符号语言:l,l,=blb.图形语言:作用:证明两条直线平行.做一做1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN平面PAD,则()A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能解析:由于MN平面PAD,而平面PAC经过直线MN且与平面PAD相交于直线PA,由线面平行的性质定理得MNPA.故选B.答案:B2.平面与平面平行的性质定理文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.符
2、号语言:,=a,=bab.图形语言:作用:证明直线与直线平行.做一做2平面平面,平面平面,且=a,=b,=c,=d,则交线a,b,c,d的位置关系是()A.互相平行B.交于一点C.相互异面D.不能确定解析:由面面平行的性质定理,可知答案为A.答案:A思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)如果三个平面,满足,且平面与这三个平面相交,交线分别为a,b,c,则有abc成立.()(2)若直线a与平面不平行,过直线a的平面与平面的交线为l,则a与l不平行.()(3)若直线a与平面平行,则直线a一定平行于平面内所有的直线.()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究
3、三易错辨析探究探究一直线与平面平行的性质及其应用直线与平面平行的性质及其应用【例1】如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:APGH.探究一探究二探究三易错辨析证明:连接AC交BD于点O,连接MO.四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点.又M是PC的中点,APOM.OM平面BMD,AP平面BMD,AP平面BMD.平面PAHG平面BMD=GH,AP平面PAHG,APGH.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析变式训练1如图所示,=CD,=EF,=AB,AB.求证:CDEF.证
4、明:AB,AB,=CD,ABCD,同理ABEF,由公理4,得CDEF.探究一探究二探究三易错辨析探究探究二平面与平面平行的性质及其应用平面与平面平行的性质及其应用【例2】如图所示,已知,点P是平面,外的一点(不在与之间),直线PB,PD分别与,相交于点A,B和C,D.(1)求证:ACBD;(2)若PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求PD的长.探究一探究二探究三易错辨析分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,这样就转化为平面问题.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析变式训练2在正方体ABCD-A1B1C
5、1D1中,作截面EFGH(如图所示)交C1D1,A1B1,AB,CD分别于点E,F,G,H,则四边形EFGH的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形探究一探究二探究三易错辨析解析:由于正方体中平面ABB1A1平面DCC1D1,又截面EFGH与平面ABB1A1、平面DCC1D1分别相交于GF,EH,由面面平行的性质定理知GFEH;同理可得EFGH,故四边形EFGH一定是平行四边形,故选A.答案:A探究一探究二探究三易错辨析探究探究三平行关系的综合问题平行关系的综合问题【例3】如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PEED=21,在棱PC上是否存在一点F,使
6、BF平面AEC?并证明你的结论.探究一探究二探究三易错辨析分析:可从“若两个平面平行,则一个平面内的任一直线都与另一个平面平行”这一结论入手考虑,作过点B与平面AEC平行的平面,与PC的交点就是要找的点.探究一探究二探究三易错辨析解:存在.当F是棱PC的中点时,BF平面AEC,证明如下:取PE的中点M,连接FM,BF,则FMCE.因为FM平面AEC,CE平面AEC,所以FM平面AEC.由EM=PE=ED,知E是MD的中点,连接BM,BD,设BDAC=O,则O为BD的中点,连接OE,则BMOE,因为BM平面AEC,OE平面AEC,所以BM平面AEC.由FMBM=M,得平面BFM平面AEC.因为B
7、F平面BFM,所以BF平面AEC.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析变式训练3如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD平面PBC=l.(1)求证:BCl;(2)MN与平面PAD是否平行?证明你的结论.(1)证明:因为BCAD,AD平面PAD,BC平面PAD,所以BC平面PAD.又平面PAD平面PBC=l,BC平面PBC,所以BCl.(2)解:MN平面PAD.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析在立体证明中错套平面几何定理而致误 典例如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中
8、点.求证四边形BED1F是平行四边形.错解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ADD1平面B1BCC1,由面面平行的性质定理得D1EFB,同理,D1FEB,故四边形EBFD1为平行四边形.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析1 2 3 4 5 1.如果直线a平行于平面,则下列说法正确的是()A.平面内有且只有一条直线与a平行B.平面内有无数条直线与a平行C.平面内不存在与a平行的直线D.平面内任一条直线都与a平行答案:B1 2 3 4 5 2.若平面平面,a,b,则a与b一定是()A.平行直线B.异面直线C.相交直线D.无公共点的直线解析:
9、ab或a与b异面,故a与b无公共点.答案:D 1 2 3 4 5 3.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边上及其内部运动,则M满足条件时,有MN平面B1BDD1.解析:连接FH,由题意知,HN平面B1BDD1,FH平面B1BDD1,且HNFH=H,所以平面NHF平面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时,有MN平面B1BDD1.答案:M线段HF 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD=a,截面EFGH与AB,CD都平行,则截面EFGH的周长是.1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1B1与BC的中点,求证:EF平面A1ACC1.1 2 3 4 5 证明:取B1C1的中点G,连接EG,GF.因为E,G分别是A1B1,B1C1的中点,所以EGA1C1.因为EG平面A1ACC1,A1C1平面A1ACC1,所以EG平面 A1ACC1.同理,因为G,F分别是B1C1,BC的中点,所以GFC1C.因为GF平面A1ACC1,C1C平面A1ACC1,所以GF平面A1ACC1.因为EGGF=G,所以平面EFG平面A1ACC1.又EF平面EFG,所以EF平面A1ACC1.
