1、2常用逻辑用语 P1523不等式 P2214一元二次函数与一元二次不等式 P2881集合第一章预备知识1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念第2课时集合的表示1.2集合的基本关系1.3集合的基本运算 第2课时全集与补集第1课时交集与并集1集合一、集合的概念一般地,我们把指定的某些对象的称为集合.通常用大写英文字母A,B,C,表示.集合中的叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,表示.名师点析1.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是描述性的说明.2.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.3.组成集合的对象可
2、以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物等.全体 每个对象微思考是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?提示:可以.比如把初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.二、元素与集合的关系 点析1.aA与aA取决于元素a是否在集合A中,这两种情况中必有且只有一种成立.2.符号“”“”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性.aA aA 微练习已知集合A中的元素x满足x-1 ,则下列各式正确的是()A.3A,且-3AB.3A,且-3AC.3A,且-3AD.3A,且-3A答案:D
3、三、集合中元素的三个特性 确定性 互异性无序性点析1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.3.无序性的作用是方便定义集合相等,当两个集合相等时,其元素一定相同,但不一定依次对应相等.微练习1已知集合S中的三个元素a,b,c分别是ABC的三条边长,则ABC一定不是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形微练习2已知aR,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是.答案:D解析:由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故ABC一定不是等腰
4、三角形.a2 解析:根据集合中元素的互异性可知a-11,即a2.四、几种常用的数集及其记法 点析常用数集之间的关系 实数集R 微练习用符号“”或“”填空:(1)1N+;(2)-3N;探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合的概念集合的概念例1给出下列各组对象:我们班比较高的同学;无限接近于0的数的全体;比较小的正整数的全体;平面上到点O的距离等于1的点的全体;正三角形的全体;的近似值的全体.其中能够组成集合的有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个分析判断一组对象能否组成集合,就看判断标准是否明确.答案:B解析:不能组成集合,因为没有明确的判断标准;可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点
5、”和“正三角形”都有明确的判断标准.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 一般地,确认一组对象a1,a2,a3,an(a1,a2,an均不相同)能否构成集合的过程为:探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(多选题)下列各组对象能组成集合的是()A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数答案:AC 解析:选项A,C中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.探究一探究二探究三素养形成当堂检测元素与集合的关系元素与集合的关系例2(1)下列所给关系正确的个数是()R;Q;0Z;|-1|N*.A.1B.2
6、C.3D.4(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.0是不是集合A中的元素?若-5A,求实数a的值.若1A,求实数a的取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分析(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.(2)将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式.(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是
7、集合A中的元素.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)答案:C解析:根据各个数集的含义可知,正确,不正确.故选C.(2)解:将x=0代入方程,得02-a0-5=-50,所以0不是集合A中的元素;若-5A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.若1A,则12-a1-50,解得a-4.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素组成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中
8、的元素具有什么特征.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)下列关系正确的是()(1)答案D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合中元素的特性及其应用集合中元素的特性及其应用例3已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3A,求a的值.分析由-3A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中得到a=-1或a=-,需分
9、类讨论检验是否满足集合中元素的互异性.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2142+514=46212.所以该集合中不可能只含有一个元素.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类整合思想、函数方程思想分类整合思想、函数方程思想由集合相等求参数由集合相等求参数典例已知集合A=a,a+b,a+2b,B=a,ac,ac2,若A=B,求c的值.分析要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,
10、此题应根据相等的各个集合的元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式.解:根据题意,分两种情况进行讨论:当a=0时,集合B中的三个元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故a0.c2-2c+1=0,即c=1,此时B中的三个元素均为a,c1,此时无解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的情况,所以解题后需要进行检验和修正.有些数学问题需要根据题目的要求和特点分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决问题的数学方法就是分类讨论的方法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列给出的对象,能组成集合的是()A
11、.很大的数B.无限接近零的数C.聪明的人D.方程x2=2的实数根答案:D解析:选项A,B,C中给出的对象都是不确定的,所以不能组成集合;选项D中方程x2=2的实数根为x=-或x=,具有确定性,所以能组成集合.探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.aA,且bA B.aA,且bAC.aA,且bA D.aA,且bA答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是()A.梯形 B.平行四边形C.矩形 D.菱形答案:C解析:因为集合中的元素具有互异性,所以ab,即四边形对角线不相等,故选C.探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.
12、用符号“”或“”填空:(1)1A,2A,3A(其中A表示由所有质数组成的集合);解析:(1)由2,3为质数,1不是质数,得1A,2A,3A.探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.根据集合的概念,我们知道:1.不等式2x+315的所有自然数解组成集合A;2.不等式2x+3-1与t|t-1表示同一集合.()(4)集合(x,y)|x0,y0,x,yR是指第一象限内的点集.()提示:(1)(2)(3)(4)二、集合的分类1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:含有的集合叫作有限集,含有的集合叫作无限集.2.把不含有任何元素的集合叫作,记作
13、.名师点析(1)集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.(2)空集中不含有任何元素,0不是空集,因为它含有元素0.有限个元素 无限个元素空集 微思考空集是有限集还是无限集?提示:空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.三、区间及其表示1.设a,b是两个实数,且,我们作出规定:这里的实数a,b称为区间的端点.a,b称为,(a,b)称为,a,b),(a,b称为 .在数轴上表示区间时,用实心点表示区间的端点,用空心点表示区间的端点.aa,xb,xb的实数x的集合分别表示为如下情况.无穷大 名师点析1.区间左端点的
14、值小于右端点的值.2.有完整的区间外围记号.3.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.微练习将下列集合用区间及数轴表示出来:(1)x|x2;(2)x|x3;(3)x|-1x5.解:(1)x|x2用区间表示为(-,2),用数轴表示如下:(2)x|x3用区间表示为3,+),用数轴表示如下:(3)x|-1x5用区间表示为-1,5),用数轴表示如下:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用列举法表示集合用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交
15、点组成的集合.分析先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为-1,1.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为s,e.(3)正整数有1,2,3,所求集合用列举法表示为1,2,3,.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合.(2)“”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.探究一探究二探究三探究四
16、素养形成当堂检测变式训练1用列举法表示下列集合:(1)15的正因数组成的集合;(2)不大于10的正偶数组成的集合;解:(1)1,3,5,15;(2)2,4,6,8,10;(3)(-3,0).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用描述法表示集合用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-23.(3)不等式x-23的解是x5,则不等式x-23的解组成的集合用描述法表示为x|x1.综上,实数k的取值范围为k|k=0或k1.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测第三次数学危机第三次数学危机数学史
17、上的第三次危机,是在康托的一般集合理论的边缘发现悖论产生的.由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且集合论已成了数学的基础,因此集合理论中悖论的发现自然地引起了对数学整个基本结构的有效性的怀疑.其中最著名的就是罗素于1919年给出的形式通俗化的“罗素悖论”,它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.那么,“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么这就不符合他的原则.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测罗素悖论使整个数学大厦动摇了.承认无穷集合,承认无穷基数,就好
18、像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质.尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失.现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的.所以,第三次危机表面上解决了,实质上以其他形式更深刻地延续着.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.已知集合A=,则下列关系式不成立的是()A.0A B.1.5AC.-1A D.6A 答案:D解析:由题意知A=0,1,2,3,4,5,故选D.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.集合xN+|x5的另一种表示法是()A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4C.0,1,2,3
19、,4,5D.1,2,3,4,5答案:B解析:N+为正整数集,所以集合xN+|x5表示小于5的正整数组成的集合.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.集合-1,1用描述法可以表示为.4.集合A=(x,y)|x+y=6,x,yN用列举法表示为.答案:答案不唯一,如x|x|=1 答案:A=(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.分别用描述法和列举法表示下列集合:(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;(2)大于1且小于5的所有整数组成的集合.解:(1)集合用描述法表示为x|x2-x-2=0;由于方程x2-x
20、-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为-1,2.(2)集合用描述法表示为x|1x5,xZ;用列举法表示为2,3,4.一、子集1.Venn图为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.名师点析1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.2.用Venn图表示集合的优点是直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.1.2集合的基本关系2.子集 任何一个 AB(或BA)空集 AC 微思考在子集的定义中,能否认为“集合A是由集合B中的部分元素组成的集合”?提示:不能.若AB,则A有以下三种
21、情况:A=;A=B;A是由B中的部分元素组成的集合.微练习(1)已知集合P=-1,0,1,2,Q=-1,0,1,则()A.PQB.PQC.QPD.QP(2)已知集合A=-1,3,2m-1,B=3,m2,若BA,则实数m=.解析:由BA,知m2A,且m23,又m2-1,所以m2=2m-1,解得m=1,经验证符合集合元素的互异性.答案:(1)C (2)1 二、集合相等 名师点析1.因为AB,所以集合A的元素都是集合B的元素;又因为BA,所以集合B的元素也都是集合A的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B的元素是完全相同的.2.证明或判断两个集合相等,只需证AB与BA同时成立即可.A=B 微练
22、习已知集合A=1,-m,B=1,m2,且A=B,则m的值为.解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.答案:0 三、真子集 AB AB AC 名师点析1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:AB;存在元素x,满足xB且xA.2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.微练习若集合P=x|x1,集合Q=x|x0,则集合P与集合Q的关系是()A.PQB.QPC.P=QD.不确定答案:B解析:x0
23、x1,反之不成立.所以QP.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测写出给定集合的子集写出给定集合的子集例1(1)写出集合a,b,c,d的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是多少?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分析(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有1个、2个、3个、4个元素这五种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为;含有一个元素的子集为a,b,c,d;含有两个元素的子集为a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d;含有三个元素的子集为
24、a,b,c,a,b,d,b,c,d,a,c,d.含有四个元素的子集为a,b,c,d.其中除去集合a,b,c,d,剩下的都是a,b,c,d的真子集.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是2n.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-1个非空子集,有2n-2个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂
25、检测变式训练1若1,2,3A1,2,3,4,5,则满足条件的集合A的个数为()A.2B.3C.4D.5答案:B解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同时集合A又是集合1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和1,2,3,4,5.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合之间关系的判断集合之间关系的判断例2已知集合A=x|1x4,则集合A与B是什么关系?答案:集合A与B之间不具有包含关系.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测AB 反思感悟 将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.探究一探究二探究三探究四素养形
26、成当堂检测A.A=BCB.AB=CC.ABCD.BCA答案:B aZ时,6a+1表示被6除余1的数;bZ时,3b-2表示被3除余1的数;cZ时,3c+1表示被3除余1的数;所以AB=C.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测集合相等关系的应用集合相等关系的应用例4已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,且A=B,求实数x,y的值.分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测由集合间的关系求参
27、数的范围由集合间的关系求参数的范围例5已知集合A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系;(2)若BA,求实数a的取值范围.分析(1)由a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其是否存在包含关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)若a=-1,则B=x|-5x-3.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,BA.(2)由已知BA.当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然BA.当B时,
28、2a-3a-2,解得a1.由已知BA,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a1,所以实数a的取值范围为-1a1.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(2)涉及“AB”或“AB,且B”的问题,一定要分A=和A两种情况进行讨论,其中A=的情况容易被忽略,应引起重视.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究(1)例5(2)中,是否存在实数a,使得AB?若存在,求出实
29、数a的取值范围;若不存在,请说明理由.(2)若集合A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且BA,求实数a的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)不存在.因为A=x|-5x2,所以若AB,则B一定不是空集.(2)当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立.当B时,2a-3a-2,解得a1.由已知B A,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-32或a-2-5,解得a 或a-3.又因为a1,所以a-3.综上,实数a的取值范围为a1或a-3.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参
30、问题中的应用对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数,若AB或A=B,则集合B与集合A具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.(1)分类讨论是指:AB在未指明集合A非空时,应分A=和A两种情况来讨论;因为集合中的元素是无序的,由AB或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.(2)数形结合是指对A这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测特别提醒 此类问题易错点有三个:(1)忽略A=的情况,没有分类
31、讨论;(2)在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心点;(3)没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性;所求参数能否取到端点值需要单独验证.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测典例已知集合A=x|1ax2,B=x|x|1,是否存在实数a,使得AB?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.分析对参数a进行讨论,写出集合A,B,借助数轴,求出a的取值范围.解:B=x|-1x1,当a=0时,A=,显然AB.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检
32、测1.集合x,y的子集个数是()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:(方法一)集合x,y的子集有,x,y,x,y,共有4个.(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.下列正确表示集合M=-1,0,1和N=x|x2+x=0关系的Venn图是()答案:B解析:由N=-1,0,知NM,故选B.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知集合C=x|x是奇数,D=x|x是整数,则CD.(填“”“”或“=”)4.已知集合A=x,2,集合B=3,y.若A=B,则x=,y=.解析:一个数如果是奇数,它一定是整数;反过来,整数未必是奇数.所以CD.解析:
33、A=B,A,B中元素相同.x=3,y=2.答案:答案:32 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.已知集合P=x|-2x-1,B=x|x-2,B=x|x1,则AB=()A.x|x-2 B.x|-2x1C.x|x-2 D.x|x1(3)已知集合A=1,3,m,B=3,4,AB=1,2,3,4,则实数m=.答案:(1)C(2)A(3)2 探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合集合的交集与的交集与并集并集运运算算例1(1)设集合A=x|x2-2x-3=0,B=x|x2=1,则AB=()A.1 B.1,3 C.-1,1,3D.-1,1(2)已知集合A=x|x2,B=x1,则AB=()A.x|x2
34、B.x|1x2C.x|x1D.R分析(1)先解一元二次方程得集合A,B,再根据集合并集的定义求结果;(2)用数轴表示集合A,B,根据定义求解.解析:(1)A=-1,3,B=-1,1,AB=-1,1,3.(2)在数轴上表示出集合A,B,则则AB=R.答案:(1)C(2)D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)已知集合A=xN|1x3,B=2,3,4,5,则AB=()A.2,3 B.2,3,4,5C.2D.1,2,3,4,5(2)设集合A=xN+|x2,B=2,6,则AB=()A.2 B.2,6C.1,2,6D.0,1,2,6答案:(1)D(2)C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测
35、例2(1)已知集合A=1,3,5,7,B=2,3,4,5,则AB=()A.3B.5C.3,5 D.1,2,3,4,5,7(2)设集合M=x|-3x2,N=x|1x3,则MN=()A.1,2)B.1,2C.(2,3D.2,3(3)(2019天津)设集合A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x3,则(AC)B=()A.2 B.2,3C.-1,2,3D.1,2,3,4答案:(1)C(2)A(3)D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)直接由交集定义可得AB=3,5;(2)在数轴上表示集合M,N,如图:MN=x|1x2.(3)AC=1,2,(AC)B=1,2,3,4,故选D.
36、探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 求两个集合交集、并集的方法技巧当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2若集合M=xR|-3x1,N=xZ|-1x2,则MN=()A.0 B.-1,0C.-1,0,1D.-2,-1,
37、0,1,2答案:B解析:N=-1,0,1,2,M=xR|-3x1,则MN=-1,0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知集合的交集、并集求参数已知集合的交集、并集求参数例3已知aR,集合A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9.若9AB,则实数a的值为.分析9AB说明9A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.解析:9AB,9A,且9B,2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3.当a=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,符合题意;当a=3时,A=-4,5,9,B=-2,-2,9,集合B不满足集合中元素的互异性,故
38、a3;当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,符合题意.综上可得实数a的值为5或-3.答案:5或-3 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究例3中,将“9AB”改为“AB=9”,其余条件不变,求实数a的值及AB.解:AB=9,9A.2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3.当a
39、=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,由于AB=-4,9,不符合题意,故a5;当a=3时,A=-4,5,9,B=-2,-2,9,集合不满足集合中元素的互异性,故a3;当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,且AB=9,符合题意.综上可得a=-3.此时AB=-8,-4,-7,4,9.探究一探究二探究三素养形成当堂检测例4集合A=x|-1x1,B=x|xa.(1)若AB=,求a的取值范围;(2)若AB=x|x1,求a的取值范围.分析利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件，利用数形结合的方法列出关于参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得.探究一探究二探究三素养形成当堂检
40、测解:(1)A=x|-1x1,B=x|xa,且AB=,在数轴上表示出集合A,B,如图所示.数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,a的取值范围为a-1.(2)A=x|-1x1,B=x|xa,且AB=x|x1,在数轴上表示出集合A,B,如图所示,数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.a的取值范围为-1-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测集合的交集、并集性质的应用集合的交集、并集性质的应用例5设集合M=x|-2x5,N=x|2-tx2t+1,tR.若MN=M,则实数t的取值范围为.分析把MN=M转化为NM,利用数轴表示出两个集合,建立端点间的不等
41、关系式求解.综上可知,实数t的取值范围是t|t2.答案:t|t2 探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究将例5条件中“MN=M”改为“MN=M”,其余不变,求实数t的取值范围.解:由MN=M,得MN,故N.用数轴(略)表示两个集合,故实数t的取值范围为t4.探究一探究二探究三素养形成当堂检测例6设集合A=x|x2-2x=0,B=x|x2-2ax+a2-a=0.(1)若AB=B,求a的取值范围;(2)若AB=B,求a的值.分析先化简集合A,B,再由已知条件得AB=B和AB=B,转化为集合A,B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:由x2-2x=0,得x
42、=0或x=2.A=0,2.(1)AB=B,BA,B=,0,2,0,2.当B=时,=4a2-4(a2-a)=4a0,a0;综上所述,得a的取值范围是a|a=1或a0.(2)AB=B,AB.A=0,2,而B中方程至多有两个根,A=B,由(1)知a=1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 利用交集、并集运算求参数的思路(1)涉及AB=B或AB=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利
43、用数轴得到不同集合之间的关系.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3已知集合M=x|2x-4=0,集合N=x|x2-3x+m=0,(1)当m=2时,求MN,MN;(2)当MN=M时,求实数m的值.解:(1)由题意得M=2.当m=2时,N=x|x2-3x+2=0=1,2,MN=2,MN=1,2.(2)MN=M,MN.M=2,2N,2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分
44、类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例 设集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-5=0.(1)若AB=2,求实数a的值;(2)若AB=A,求实数a的取值范围.解:(1)集合A=x|x2-3x+2=0=1,2,若AB=2,则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.当a=-3时,B=2;当a=-1时,B=-2,2,均满足AB=2.综上,实数a
45、的值为a=-3或a=-1.(2)A=x|x2-3x+2=0=1,2,B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0,对应的=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).AB=A,BA.探究一探究二探究三素养形成当堂检测当0,即a0,即a-3时,只有B=1,2,才能满足条件,由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且12=a2-5.方法点睛 将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其不要忽略无解的情况,即B为空集的情况.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设集合A=xN+|-1x2,B=2,3,则AB=()A.
46、-1,0,1,2,3B.1,2,3C.-1,2 D.-1,3答案:B解析:集合A=1,2,B=2,3,则AB=1,2,3.2.已知集合A=x|-3x3,B=x|x1,则AB=()A.x|x1B.x|x3C.x|-3x1D.x|-3x3答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知集合A=0,1,B=a-2,2.若AB=1,则AB=()A.0,1,2B.1C.0,1,2,3D.1,2答案:A解析:由AB=1,得1=a-2,所以a=3.则B=1,2.所以AB=0,1,2.4.已知集合A=0,1,2,8,B=-1,1,6,8,那么AB=.答案:1,8 探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.已知
47、集合A=x|m-2xm+1,B=x|1x5.(1)若m=1,求AB;(2)若AB=A,求实数m的取值范围.解:(1)由m=1,得A=x|-1x2,AB=x|-1x5.(2)AB=A,AB.显然A.全集与补集1.全集在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作,常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合.名师点析全集不是固定不变的,它是一个相对概念,是依据具体问题来选择的.例如,我们在研究数集时,通常把实数集R作为全集;当我们只讨论大于0且小于5的实数时,可选x|0 x5为全集.通常把给定的集合作为全集.全集 第2课时全集与补集2.补集 U A 名师点析1.补集是相对于
48、全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素一定都能在全集中找到.2.补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.3.符号UA有三层意思:A是U的一个子集,即AU;UA表示一个集合,且UAU;UA是由U中不属于A的所有元素组成的集合,即UA=x|xU,且xA.4.若xU,则xA或xUA,二者必居其一.微思考集合的补集运算与实数的减法运算有什么联系?提示:集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比:微练习(1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1
49、,3,5,6,则UA=()A.1,3,5,6 B.2,3,7C.2,4,7 D.2,5,7(2)已知全集U为R,集合A=x|x1,或x5,则UA=.(3)已知全集U=0,1,2,A=x|x-m=0,若UA=0,1,则m=.答案:(1)C(2)x|1x5(3)2解析:(1)由A=1,3,5,6,U=1,2,3,4,5,6,7,得UA=2,4,7.故选C.(2)集合A=x|x1,或x5的补集是UA=x|1x5.(3)(方法1)由题意知A=m=2,所以m=2.(方法2)根据补集的性质U(UA)=A,得A=2,即m=2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测补集的基本运算补集的基本运算例1(1)已知全集为
50、U,集合A=1,3,5,7,UA=2,4,6,UB=1,4,6,则集合B=;(2)已知全集U=x|x5,集合A=x|-3x5,则UA=.分析(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出集合B,也可借助Venn图求解.(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(1)2,3,5,7(2)x|x-3,或x=5解析:(1)(方法一)A=1,3,5,7,UA=2,4,6,U=1,2,3,4,5,6,7.又UB=1,4,6,B=2,3,5,7.(方法二)满足题意的Venn图如图所示.由图可知B=2,3,5,7.(2)将全集U和集合A分别表示在数
